1、导数大题的常用找点技巧和常见模型 引子： （2017 年全国新课标 1理21）已知 2 2 xx f xaeaex. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个零点，求a的取值范围. 解析： （1） 2 '221211 xxxx fxaeaeeae 若0a，则 '0fx 恒成立，所以 f x在 R 上递减； 若0a ，令 '0fx ，得 11 ,ln x ex aa . 当 1 lnx a 时， '0fx ，所以 f x在 1 ,ln a 上递减； 当 1 lnx a 时， '0fx ，所以 f x在 1 ln, a 上递增. 综上，当0a时，
2、 f x在 R 上递减；当0a 时， f x在 1 ,ln a 上递减，在 1 ln, a 上递增. （2） f x有两个零点，必须满足 min0f x，即0a ，且 min 111 ln1ln0f xf aaa . 构造函数 1lng xxx ，0x. 易得 1 '10gx x ，所以 1lng xxx 单调递减. 又因为 10g，所以 1111 1ln01101gga aaaa . 下面只要证明当01a时， f x有两个零点即可，为此我们先证明当0x时，lnxx. 事实上，构造函数 lnh xxx，易得 1 '1hx x ， min 11h xh，所以 0h x ，即lnx
3、x. 当01a时， 2 22 2 2 110 aeae aa f eee ， 2 333333 ln121ln11 ln10 a faa aaaaaa ， 其中 1 1ln a ， 31 lnln a aa ，所以 f x在 1 1,ln a 和 13 ln,ln a aa 上各有一个零点. 故a的取值范围是0,1. 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面： 22 33 202030ln1 xxxxxxx a aeaexaeaeeaeaex aa ； 另一方面：0x时， 2 20201 xxx aeaexaexx（目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成
4、一次函数）ln1xx，lnxx，ln 1xx （放缩成双撇函数） 11 ln1 2 xxx x ， 11 ln01 2 xxx x ， 1 ln1xxx x ， 1 ln01xxx x ， （放缩成二次函数） 2 ln xxx， 2 1 ln 110 2 xxxx ， 2 1 ln 10 2 xxxx （放缩成类反比例函数） 1 ln1x x ， 21 ln1 1 x xx x ， 21 ln01 1 x xx x ， ln 1 1 x x x ， 2 ln 10 1 x xx x ， 2 ln 10 1 x xx x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1 x ex， x ex， x eex
5、， （放缩成类反比例函数） 1 0 1 x ex x ， 1 0 x ex x ， （放缩成二次函数） 2 1 10 2 x exxx ， 23 11 1 26 x exxx ， 第三组：指对放缩 ln112 x exxx 第四组：三角函数放缩 sintan0xxx x ， 2 1 sin 2 xxx， 22 11 1cos1sin 22 xxx . 第五组：以直线1yx为切线的函数 lnyx， 1 1 x ye ， 2 yxx， 1 1y x ，lnyxx. 几个经典函数模型 经典模型一：经典模型一： ln x y x 或或 ln x y x . 【例 1】讨论函数 lnf xx
6、ax的零点个数. （1） 1 a e 时，无零点. 1 'fxa x ， max 11 ln10f xf aa . （2） 1 a e 时，1 个零点. 11 'fx xe ， max ln10f xf ee . （3）当 1 0a e 时，2 个零点. 10fa （目测） ， 111 ln10 11111 aa f aaaaa ，其中 1 1 1 e a .（放缩） 10f eea . 22 11111 ln0faa aaaaa ，其中 2 2 1 ee a .（用到了 1 ln1xxx x ） （4）当0a时，1 个零点. 1 '0fxa x ，单调递增. 10fa
7、 ， 11 22 1111 10 aa aa a feaaeaa aaeea . 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： lnf xxax） ： 1. 讨论 lnf xxm x的零点个数（令xt， 2 m a） ； 2. 讨论 lnf xxmx的零点个数（令 1 a m ） ； 3. 讨论 lnf xxxmx的零点个数（考虑 f x g x x ） ； 4. 讨论 ln x f xmx x 的零点个数（考虑 g xx f x，令 3 2 tx， 3 2 ma） ； 5. 讨论 2 lnf xxmx的零点个数（令 2 tx，2ma） ； 6. 讨论 x f xaxe的零点个数（令
8、 x et）. 经典模型二：经典模型二： x e y x 或或 x e y x 【例 2】讨论函数 x f xeax的零点个数. （1）0a时，1 个零点. '0 x fxea， x f xeax单调递增. 且 010fa ， 1 1 10 a fe a ，所以在 1 ,0 a 上有一个零点； （2）0a 时，无零点. 0 x f xe恒成立； （3）0ae时，无零点. min ln1 ln0f xfaaa； （4）ae时，2 个零点. 1 1 10 a fe a ， 10fea ，2ln2ln20faa aaa e. 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： x f
9、xeax） ： 1. 讨论 2x f xemx的零点个数（令2xt， 2 m a） ； 2. 讨论 x x em f x xe 的零点个数（去分母后与 1 等价） ； 3. 讨论 x f xem x的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； 4. 讨论 2x f xemx的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ； 5. 讨论 1x f xemx 的零点个数（乘以系数 e，令ema） ； 6. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数（令 t xe，转化成 2） 7. 讨论 1x f xemxm 的零点个数（令1xt ， 2 m a e ） ； 经典模型三：经典模型三：lnyxx或或 x yxe
10、 【例】讨论函数 ln a fxx x 的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 2 '0 xa fx x ， ln a fxx x 单调递增. 10fa ， 1 1ln 110 111 aa faa aaa . （2）0a 时，1 个零点（ 0 1x ）. （3） 1 a e 时，无零点. 2 ' xa fx x ， min ln10f xfaa （4） 1 a e 时，1 个零点. 0 1 x e . min 11 ln10f xf ee （5） 1 0a e 时，2 个零点. 22 111 ln0f aaaa aaa ， 1 10fea e ， 10fa
11、， 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： ln a fxx x ） ： 1.讨论 1 lnfxax x 的零点个数； 2. 讨论 lnf xmxx的零点个数（考虑 f x g x x ，令xt） ； 3. 讨论 x a f xx e 的零点个数（令 x et） ； 4. 讨论 x a f xe x 的零点个数； 练习题练习题 1. 已知函数 2 21 x f xxea x有两个零点，求a的取值范围. 2. 设函数 2 ln x f xeax，讨论 f x的导函数 ' fx的零点的个数. 3. 已知函数 2 1 x f xxeax有两个零点，求a的取值范围. 4.已知函数 2 1 2 x m f xexmx. 当0m时，试讨论 yf x的零点的个数.
