1、第第2323章章 图形的相似图形的相似23.1 23.1 成比例线段成比例线段第第1 1课时课时 成比例线段成比例线段1课堂讲解课堂讲解成比例线段成比例线段比例的性质比例的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 你还记得比例尺吗？请说出比例尺的意义和你还记得比例尺吗？请说出比例尺的意义和公式公式.复复习习回回顾顾1知识点知识点成比例线段成比例线段试一试试一试如下格点图可知，如下格点图可知，_，_这样这样 与与 之间有什么关系？之间有什么关系？知知1 1导导ABABBCBCABABBCBC知知1 1讲讲1.对于给定的四条线段对于给定的四条线段a、b、c、d，如
2、果其中两条线段，如果其中两条线段 的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 （或（或a:b=c:d），那么，这四条线段叫做成比例线段，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段这里四条线段简称比例线段这里四条线段a，b，c，d是有先后顺是有先后顺 序的序的要点精析：要点精析：(1)两条线段的长度之比：在同一单位长度下，两条线段两条线段的长度之比：在同一单位长度下，两条线段 长度的比值叫两条线段的长度之比长度的比值叫两条线段的长度之比acbd知知1 1讲讲(2)成比例线段是有顺序的，如果说成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比是成比 例线段，那
3、么得到的比例式是例线段，那么得到的比例式是 ，其中，其中a，d 叫做比例外项，叫做比例外项，b，c叫做比例内项叫做比例内项 特殊比例线段，如果特殊比例线段，如果bc，即，即a:bb:d，那么，那么b 叫做叫做a，b的比例中项的比例中项acbd 例例1 1 判断下列线段判断下列线段a a、b b、c c、d d是否是成比例线是否是成比例线 (1)a(1)a4 4，b b8 8，c c5 5，d d1010；(2)a(2)a2 2，b b ，c c ，d d .知知1 1讲讲 2 1555 3解：解：(1)线段线段a、b、c、d是成比例线段是成比例线段 (2)这四条线段是成比例线段这四条线段是成比
4、例线段,ab4182,cd51102,acbd,ac22 555,bd2 152 555 3,abcd总总 结结知知1 1讲讲 判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法单位并按长度的大小排序，然后，方法1 1：判断前两条线段：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法的比是否与后两条线段的比相等；方法2 2：判断最长的线段：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等若相与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段等，
5、则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段可简记为：不是成比例线段可简记为：“一排一排(排顺序排顺序)、二算、二算(算比算比值或乘积值或乘积)、三判、三判(判断是否成比例判断是否成比例)”)”这三步曲这三步曲1如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分(比例尺比例尺1 4 000 000)，2 按图可估测杭州在嘉兴的南偏西按图可估测杭州在嘉兴的南偏西_度方向度方向3 上，到嘉兴的实际距离约为上，到嘉兴的实际距离约为_知知1 1练练 2 下列各组线段下列各组线段(单位：单位：cm)中，是成比例线段的是中，是成比例线段的是 ()A1，2，3，4 B1，2，2，4 C3，5，9
6、，13 D1，2，2，33 已知线段已知线段a4，b16，线段，线段c是是a、b的比例中项，的比例中项，那么那么c等于等于()A10 B8 C8 D8知知1 1练练 2知识点知识点比例的性质比例的性质知知2 2讲讲比例的基本性质：比例的基本性质：(1)(1)如果如果 ，那么，那么adadbcbc；(2)(2)如果如果adadbcbc，那么，那么 .acbdacbd请试着证明这两请试着证明这两个结论。这两个个结论。这两个命题间有什么关命题间有什么关系？系？知知2 2讲讲例例2 已知已知 ，求证：，求证：(1)；(2)(ab).acbdabcdbdacabcd证明：证明：(1)，等式两边同加上等式
7、两边同加上1，得，得 ，.acbdacbd11abcdbd(2)(2)，adadbcbc，等式两边同减去等式两边同减去acac，得，得 adadacacbcbcacac，acacadadacacbcbc，a(ca(cd)d)c(ac(ab)b)由由abab，且，且 ，知，知cdcd，从而，从而a ab0b0，且且c cd0d0，上式两边同除以，上式两边同除以(a(ab)(cb)(cd)d)，得得 .知知2 2讲讲acabcdacbdacbd想一想：根据比例的想一想：根据比例的基本性质基本性质 ，你还可以得到其他哪你还可以得到其他哪些类似的结论？些类似的结论？acbd知知2 2讲讲(1)(1)合
8、比性质：合比性质：；(2)(2)等比性质：等比性质：acbdabcdbdacemk bdfnbdfn0.acemabdfnb知知2 2讲讲例例3 3 已知已知 ，求的值，求的值 ab34abab导引：根据已知得导引：根据已知得 ，然后代入求值；也，然后代入求值；也 可以通过设参数的方法，即设可以通过设参数的方法，即设a a3k3k，b b 4k4k，然后代入求值，然后代入求值ab34解法一：由已知得解法一：由已知得 .故：故：ab34bbbababbbb 3774447311444解法二：因为解法二：因为 ，所以设，所以设a a3k3k，b b4k4k，则则知知2 2讲讲ab34abkkkab
9、kkk 347734总总 结结知知2 2讲讲 利用比例的基本性质进行相关计算时，常用的利用比例的基本性质进行相关计算时，常用的方法有两种：一是用含有其中一个字母的代数式表示方法有两种：一是用含有其中一个字母的代数式表示出另一个字母，然后运用代入法求值；二是运用参数出另一个字母，然后运用代入法求值；二是运用参数法，即根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未法，即根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是知数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的基本性质求解时的一种常用的方法运用比例的基本性质求解时的一种常用的方法知知2 2讲讲例例4 4
10、已知已知 求求 的值的值,abc 0345abcab23导引：从分式的角度解答此题：由于分式中导引：从分式的角度解答此题：由于分式中a a，b b，c c 的值无法求出，因此需用非常规方法巧解，的值无法求出，因此需用非常规方法巧解，先根据已知条件用含一个字母的代数式表示先根据已知条件用含一个字母的代数式表示 另外两个字母，然后代入分式中求值；从比另外两个字母，然后代入分式中求值；从比 例的角度解决此题：根据条件中多个比值相例的角度解决此题：根据条件中多个比值相 等，可设出比值，用比值表示等，可设出比值，用比值表示a a，b b，c c，然后，然后 求出分式的值求出分式的值解：方法一：由解：方法
11、一：由 得得 由由 得得 原式原式=方法二：设方法二：设 则则a a3k3k，b b4k4k，c c5k.5k.原式原式=知知2 2讲讲,ab34.ab 43,ac35.ac 53.aaaaa 454522733334141533,abck345.kkkkk645731215总总 结结知知2 2讲讲 利用比例的性质求代数式的值的方法：利用比例的性质求代数式的值的方法：当一个题中出现多个未知数时，常巧用的方法为当一个题中出现多个未知数时，常巧用的方法为“消元法消元法”求代数式的值；当条件中出现多个比值相求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时，用等时，用“中间量法中间量法”巧设出比值是首选的方法
12、巧设出比值是首选的方法 1 若若 ，则，则 的值为的值为()A1 B.C.D.2 已知已知 则则 的的 值为值为_知知2 2练练 yx34xyx475474,cba 0456bca第第2323章章 图形的相似图形的相似23.1 23.1 成比例线段成比例线段第第2 2课时课时 平行线分线段平行线分线段 成比例成比例1课堂讲解课堂讲解平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的推论平行线分线段成比例的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距
13、相等的平行线组成的如图的如图23.1.223.1.2，在作业本上任意画一条直线，在作业本上任意画一条直线m m与相邻的三条平与相邻的三条平行线交于行线交于A A、B B、C C三点，得到两条线段三点，得到两条线段ABAB、BCBC，那么可以发现所，那么可以发现所得的这两条线段相等，即得的这两条线段相等，即ABABBC.BC.如图如图23.1.323.1.3，再任意画一条直，再任意画一条直线线n n与这组平行线相交，得到两条线段与这组平行线相交，得到两条线段DEDE和和EFEF，我们同样可以发，我们同样可以发现所得的这两条线段相等，即现所得的这两条线段相等，即DEDEEF.EF.图图23.1.2
14、23.1.2图图23.1.323.1.3由此，我们可以得到由此，我们可以得到 .试用学过的知识说试用学过的知识说明明AB=BC,DE=EFAB=BC,DE=EFABDEBCEF1知识点知识点平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实做一做做一做选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m m、n n与它们相交如果与它们相交如果m m、n n这两条直线平这两条直线平行行(如图如图23.1.4)23.1.4)，观察并思考这时所，观察并思考这时所得的得的ADAD、DBDB、FEFE、ECEC这四条线段的这四条线段的长度有什么关系；长度有
15、什么关系；知知1 1导导图图23.1.423.1.4如果如果m m、n n这两条直线不平行这两条直线不平行(如图如图23.1.5)23.1.5)，你再观，你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系在类似的关系图图23.1.523.1.5知知1 1讲讲1.1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一 组平行线所截，所得的对应线段成比例组平行线所截，所得的对应线段成比例 数学表达式如图：数学表达式如图：l3l4l5l3l4l5，可简记为：可简记为：,.ABDEABDE BCEFBCEFACD
16、FACDF,.上上上上 上上上上 下下下下下下下下 全全全全 全全全全知知1 1讲讲要点精析：要点精析：(1)(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关；这组平行线上的线段无关；(3)(3)当上比下的值为当上比下的值为1 1时，说明这组平行线间的距时，说明这组平行线间的距 离相等离相等 例例1 1 如图，如图，l1l2l3l1l2l3，ABAB4 4，DEDE3 3，EF EF 6.6.求求 BCBC的长的长知知1 1讲讲 解：解：l1
17、l2l3，(平行线分线段成比例平行线分线段成比例)AB4，DE3，EF6，BC8.ABDEBCEFBC436，总总 结结知知1 1讲讲 利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长式，构造出方程，解方程求出待求线段长1如图，如图，ADBECF，直线，直线l1、l2与这三条平行线与这三条平行线2 分别交于点分别交于点A、B、C和
18、点和点D、E、F，已知，已知AB1，3 BC3，DE2，则，则EF的长为的长为()4 A4 B5 C6 D8知知1 1练练 2如图，如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别，两条直线与这三条平行线分别3 交于点交于点A、B、C和和D、E、F.已知已知 则则4 的值为的值为()5 A.B.C.D.知知1 1练练 ABBC32，DEDF322315352知识点知识点平行线分线段成比例的推论平行线分线段成比例的推论知知2 2导导思考思考1：如图：如图23.1.6，当图，当图23.1.5中的点中的点A与点与点F重合重合 时，就形成一个三角形的特殊情形此时，时，就形成一个三角形的特殊情形此时，AD
19、、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样这四条线段之间会有怎样 的关系呢？的关系呢？图图23.1.623.1.6知知2 2导导如图如图23.1.623.1.6，在，在ABCABC中，中，DEBCDEBC，过点，过点A A作作DEDE的平行的平行线，那么根据平行线分线段成比例的基本事实，可以线，那么根据平行线分线段成比例的基本事实，可以得到得到 再根据比例的有关性质，就有再根据比例的有关性质，就有 和和 等结论等结论,ADAEDBEC,ADAEABAC,DBECABAC知知2 2导导思考思考2 2：如图：如图23.1.723.1.7，当图，当图23.1.523.1.5中的直线中的直线m m、n
20、n相相 交于第二条平行线上某点时，是否也有类交于第二条平行线上某点时，是否也有类 似的成比例线段呢？似的成比例线段呢？图图23.1.723.1.7由此，即有如下结论：由此，即有如下结论：知知2 2讲讲,ADAEDBEC,ADAEABAC,DBCEABAC推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或或 两边的延长线两边的延长线)，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例 数学表达式：如图，数学表达式：如图，DEBCDEBC，知知2 2讲讲要点精析：要点精析：(1)(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一
21、组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角 形一边上的一种特殊情况形一边上的一种特殊情况(2)(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段知知2 2讲讲 例例2 如图，如图，E为为 ABCD的边的边CD延长线上的一点延长线上的一点,连结连结 BE，交，交AC于点于点O，交，交AD于点于点F.求证：求证：.BOEOFOBO证明：证明：AF BCAF BC，(平行线分线段成比例平行线分线段成比例)ABCE.ABCE.(平行线分线段成比例平行线分线段成比例).BOCOFOAOEOCOBOAOBOEOFOBO 1 如图，如
22、图，ABC中，点中，点D、E分别在边分别在边 AB、BC上，上，DEAC.若若BD4，DA2，BE3，则则EC _.知知2 2练练 2 如图，在如图，在ABC中，中，FGDEBC，已知，已知DF3，AGEC2，则下列四个等式中一定正确的是，则下列四个等式中一定正确的是 ()AFGDE6 BDBGE6 CFG DE2 3 DCE DB3 2知知2 2练练 平行线除了具备构造平行线除了具备构造“三线八角三线八角”得角相等或互补的得角相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线段功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线段成比例的基本思路是：成比例的基本思路是：1 1善于从较复杂的几何
23、图形中分离出基本图形：善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“型型”或或“型型”，得到相应的比例式；，得到相应的比例式；2.2.平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线一般从分点或中点出发作平行线第第2323章章 图形的相似图形的相似23.2 23.2 相似图形相似图形1课堂讲解课堂讲解相似图形的定义相似图形的定义 相似多边形的性质相似多边形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如
24、下面两张照片，右边的照片是一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的尽管它们大小不同，但形由左边的照片放大得来的尽管它们大小不同，但形状相同状相同我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形(similar figures)1知识点知识点相似图形的定义相似图形的定义1.定义：两个形状相同的平面图形叫做相似图形定义：两个形状相同的平面图形叫做相似图形 要点精析：要点精析：(1)“形状相同形状相同”是判断相似图形的唯一条件；是判断相似图形的唯一条件；(2)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可相似图形之间的关系：两个图形相似，
25、其中一个图形可 以看作由另一个图形放大或缩小得到以看作由另一个图形放大或缩小得到2易错警示：易错警示：(1)两个图形相似是指它们的形状相同，与它两个图形相似是指它们的形状相同，与它 们的位置无关们的位置无关(2)全等图形是一种特殊的相似图形，不全等图形是一种特殊的相似图形，不 仅形状相同，大小也相同仅形状相同，大小也相同知知1 1导导例例1图中的相似图形有哪些？图中的相似图形有哪些？知知1 1讲讲知知1 1讲讲本题依据相似图形的定义求解观察这些图形，虽本题依据相似图形的定义求解观察这些图形，虽然图然图(6)与图与图(12)、图、图(8)与图与图(11)极为相似，但是它极为相似，但是它们的形状不
26、相同图们的形状不相同图(6)“拉长拉长”而不是整体放大变成而不是整体放大变成了图了图(12)，图，图(8)“压缩压缩”而不是整体缩小变成了图而不是整体缩小变成了图(11)，所以它们不是相似图形而图所以它们不是相似图形而图(1)与图与图(9)、图、图(2)与图与图(4)、图、图(3)与图与图(10)、图、图(5)与图与图(7)的形状完全相同，的形状完全相同，所以它们是相似图形所以它们是相似图形导引：导引：解：相似图形有：图解：相似图形有：图(1)和图和图(9)，图，图(2)和图和图(4)，图，图(3)和图和图(10)，图，图(5)和图和图(7)总总 结结知知1 1讲讲 (1)两个图形相似是指它们
27、的形状相同，与它们的位两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位 置无关；置无关；(2)全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同大小也相同1 下列四组图形中，不是相似图形的是下列四组图形中，不是相似图形的是()知知1 1练练 2 下列说法：下列说法：放大放大(缩小缩小)的图片与原图片是相似图形；的图片与原图片是相似图形；比例尺不同的中国地图是相似图形；比例尺不同的中国地图是相似图形；放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图放电影时胶片上的图像和它映射到屏
28、幕上的图 象是相似图形；象是相似图形；平面镜中，你的像与你本人是相似图形平面镜中，你的像与你本人是相似图形 其中正确的说法有其中正确的说法有()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个知知1 1练练 2知识点知识点相似多边形的性质相似多边形的性质知知2 2导导图图23.2.1是大小不同的两张地图，当然，它们是相似是大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形设在大地图中有的图形设在大地图中有A、B、C三地，在小地图三地，在小地图中相应的三地记为中相应的三地记为A、B、C，试用刻度尺量一量，试用刻度尺量一量两张地图中两张地图中A(A)与与B(B)两地之间的图上距离和两地之间的图上距离和B(B)与与C
29、(C)两地之间的图上距离，用量角器量一量两地之间的图上距离，用量角器量一量ABC和和ABC的大小的大小问问 题（一）题（一）知知2 2导导AB_cm，BC_cm；AB_cm，BC_cm；ABC_，ABC_.我们可以得到我们可以得到ABCABCABC.ABC.但是，但是，两张地图中两张地图中ABAB和和ABAB、BCBC和和BCBC的长度的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段线段ABAB、BCBC的长度与线段的长度与线段ABAB、BCBC的的长度相比，都长度相比，都“同
30、样程度同样程度”地缩小了计算地缩小了计算可得可得 知知2 2导导 _，_ABA BBCB C再算算再算算你发现了什么？你发现了什么？,ACA C如果在这两张地图中如果在这两张地图中 那么会出现那么会出现什么情况？什么情况？,ABBCA BB C 知知2 2导导 我们能发现我们能发现 即即ABAB、ABAB、BCBC、BCBC这四条线段是成比例线段这四条线段是成比例线段 实际上，上面两张相似的图形中的对应线段都实际上，上面两张相似的图形中的对应线段都是成比例的，对应角都是相等的是成比例的，对应角都是相等的 这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？ABBCA
31、 BBC 知知2 2讲讲1.定义：两个边数相同的多边形，如果各边对应定义：两个边数相同的多边形，如果各边对应 成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相 似似 要点精析：要点精析：判定相似多边形的条件：判定相似多边形的条件：(1)各角对应相等；各角对应相等；(2)各边对应成比例各边对应成比例 知知2 2讲讲2相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等对应角相等 作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和 角的度数角的度数 例例2 在图所示的两个相似四边形中，求
32、边在图所示的两个相似四边形中，求边 x的长的长 度和角度和角的大小的大小 知知2 2讲讲分析：利用相似多边形的性质和多边形的内角和公分析：利用相似多边形的性质和多边形的内角和公 式就可以得到所需结果，在利用相似多边形式就可以得到所需结果，在利用相似多边形 的性质时，必须分清对应边和对应角的性质时，必须分清对应边和对应角 知知2 2讲讲两个四边形相似，两个四边形相似，x27.根据对应角相等，可得根据对应角相等，可得 360(7783116)84.x181218解：解：总总 结结知知2 2讲讲 利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住住“对应对应”二字，找
33、准对应边和对应角是解决问题二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键需要注意的是对应边是比相等，而对应角的关键需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等是直接相等知知2 2讲讲 思考思考 两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？角形呢？两个等边三角形呢？1 放大镜中的多边形与原多边形的关系是放大镜中的多边形与原多边形的关系是()A形状不同，大小不同形状不同，大小不同 B形状相同，大小相同形状相同，大小相同 C形状相同，大小不同形状相同，大小不同 D形状不同，大小相同形状不同，大小相同知知2 2练练 2 若一个三角形三边之比为若一个
34、三角形三边之比为3 5 7，与它相似的三，与它相似的三 角形的最长边的长为角形的最长边的长为21，则最短边的长为，则最短边的长为()A15 B10 C9 D3知知2 2练练 1.相似多边形的定义可作为判断两个多边形是否相相似多边形的定义可作为判断两个多边形是否相 似的判定，即在多边形中，只有似的判定，即在多边形中，只有“边数相同边数相同”“角分别相等角分别相等”“”“边成比例边成比例”这三个条件同时成立这三个条件同时成立 时，才能说明这两个多边形是相似多边形时，才能说明这两个多边形是相似多边形2.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关相似比的值与两个多边形的前后顺序有关3.相似比为相似比为1的两
35、个相似多边形是全等多边形的两个相似多边形是全等多边形第第2323章章 图形的相似图形的相似23.3 23.3 相似三角形相似三角形第第1 1课时课时 相似三角形相似三角形1课堂讲解课堂讲解相似三角形及相关概念相似三角形及相关概念 平行线判定两三角形相似平行线判定两三角形相似2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1、平行线分线段成比例定理及其推论是什么？、平行线分线段成比例定理及其推论是什么？2、什么是相似图形？相似多边形？、什么是相似图形？相似多边形？复复习习提提问问1知识点知识点相似三角形及相关概念相似三角形及相关概念 知知1 1讲讲1.定义：如果两个三角形中
36、，各角对应相等，各边对应成定义：如果两个三角形中，各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似比例，那么这两个三角形相似2.数学表达式：如图下图，在数学表达式：如图下图，在ABC和和ABC中，中，AABBCCABBCACkA BB CAC ，ABCABC要点精析：要点精析：(1)判定两个三角形相似的必备条件：判定两个三角形相似的必备条件：各角对应相等，各边对应成比例；各角对应相等，各边对应成比例；(2)两三角形相似又为解题提供了条件；两三角形相似又为解题提供了条件；(3)相似三角形具有传递性：即若相似三角形具有传递性：即若ABCABC，ABCABC，则，则ABCABC；知知1 1讲讲 这
37、里，将对应顶点这里，将对应顶点写在对应的位置上，写在对应的位置上，这样可以比较容易这样可以比较容易地找到相似三角形地找到相似三角形的对应角和对应边的对应角和对应边.2.相似比的定义：相似三角形对应边的比称为相似比相似比的定义：相似三角形对应边的比称为相似比3.要点精析：要点精析：(1)相似比的值与两个三角形的前后顺序有关相似比的值与两个三角形的前后顺序有关4.(2)相似比为相似比为1的两个相似三角形为全等三角形反过来的两个相似三角形为全等三角形反过来5.两个全等三角形可以看作是相似比是两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形的相似三角形知知1 1讲讲 全等三角形是全等三角形是相似三角形的
38、相似三角形的特例特例例例1 如图，已知如图，已知OACOBD，且，且OA4，AC2，OB2，CD.求：求：(1)OAC与与OBD的相似比；的相似比；(2)BD的长的长知知1 1讲讲导引：导引：(1)由由OACOBD及及CD，可找出两个三角形的对应边，即，可找出两个三角形的对应边，即可求出相似比；可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可以列出比例式求根据相似三角形对应边成比例，可以列出比例式求出出BD的长的长知知1 1讲讲解：解：(1)OACOBD，CD，线段线段OA与线段与线段OB是对应边，是对应边，OAC与与OBD的相似比为的相似比为 (2)OACOBD，42.2OABD,ACOA
39、BDOB 221.4OBBDACOA 知知1 1讲讲总总 结结 相似三角形的定义具有两重性，即：若两个三角形相似三角形的定义具有两重性，即：若两个三角形的各角对应相等且各边对应成比例，则这两个三角形相的各角对应相等且各边对应成比例，则这两个三角形相似；反之，若两个三角形相似，则它们的对应角相等且似；反之，若两个三角形相似，则它们的对应角相等且对应边成比例因此相似三角形的定义既是相似三角形对应边成比例因此相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法警示：求相似比的性质，也是相似三角形的判定方法警示：求相似比时，不要忽视相似比的顺序性时，不要忽视相似比的顺序性 1下列说法中错误的
40、是下列说法中错误的是()2A两个全等三角形一定相似两个全等三角形一定相似3B两个直角三角形一定相似两个直角三角形一定相似4C两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例5D相似的两个三角形不一定全等相似的两个三角形不一定全等知知1 1练练 2如图，如图，ABCDEF，相似比为，相似比为 1 2.若若3 BC1，则，则EF的长是的长是()4 A1 B2 C3 D4知知1 1练练 2知识点知识点平行线判定两三角形相似平行线判定两三角形相似知知2 2导导 如图，在如图，在ABC中，中，D为边为边AB上的任一点，作上的任一点，作DEBC，交边，交边AC于点于点E，用
41、刻度尺和量角器量一量，看，用刻度尺和量角器量一量，看看看ADE与与ABC的边角之间有什么关系，进而判断这的边角之间有什么关系，进而判断这两个三角形是否相似两个三角形是否相似做一做做一做知知2 2导导 显然，显然，ADEABC，AEDACB，AA.又由平行线分线段成比例的基本事又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得实，可推得 通过度量，还可通过度量，还可以发现以发现 因而有因而有ADEABC.我们可以用演绎推理证明这一结论我们可以用演绎推理证明这一结论,ADAEABAC,DEADBCAB 如果取点如果取点D为为边边AB的中点，的中点，那么可以发那么可以发现现ADE和和ABC的相的相似比为似比为
42、k1.2 过点过点D作作AC的平行线交的平行线交BC于点于点F，(平行线分线段成比例平行线分线段成比例)，知知2 2导导已知：如图，已知：如图，DEBC,并分别交并分别交AB、AC于点于点D、E.求证：求证：ADEABC.证明：证明：DEBC，ADEB，AEDC，(平行线分线段成比例平行线分线段成比例)，ADAEDBEC.ADAEABAC FCDABFBD.FCADBCAB.FCADAEBCABAC知知2 2导导ADEABC(相似三角形的定义相似三角形的定义)DEBC，DFAC，四边形四边形DFCE是平行四边形，是平行四边形，DEFC.又又ADEB，AEDC，AA，.DEADAEBCABAC
43、知知2 2讲讲 1.用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边直线，和其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交所构成的三角形相交所构成的三角形与原三角形相似与原三角形相似2.数学表达式：如图，数学表达式：如图，DEBC ABCADE.知知2 2讲讲 要点精析：要点精析：(1)定理中定理中“和其他两边相交和其他两边相交”是指和其他两边是指和其他两边所在直线相交所在直线相交 (2)根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 BCDE，图，图(1)(2)很像大写字母很像大写字母A，
44、故我们称之为，故我们称之为“A”型相似；图型相似；图(3)很像大写字母很像大写字母X，故我们称之为，故我们称之为“X”型相型相似似(也像阿拉伯数字也像阿拉伯数字“8”)知知2 2讲讲 2、作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理：、作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理：它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例对应边成比例知知2 2讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边AB的三等分点，的三等分点，DEBC，DE5.求求BC的长的长解：解：DEBC，ADEABC(平行于三角形平行于三角形 一边的直线，和其他两
45、边相交所一边的直线，和其他两边相交所 构成的三角形和原三角形相似构成的三角形和原三角形相似)，BC3DE15.13DEADBCAB，知知2 2讲讲总总 结结利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角形利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角形被平行线所截形成被平行线所截形成“A”型或型或“X”型的图形，并且型的图形，并且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线例构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长段的长 1
46、如图，点如图，点P是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边AB上一点，上一点，2 射线射线CP交交DA的延长线于点的延长线于点E，则图中相似的三，则图中相似的三3 角形有角形有()4 A0对对 5 B1对对 6 C2对对 7 D3对对知知2 2练练 2在在ABC中，中，DEBC，AE EC2 3，DE3 4，则，则BC等于等于()4 A10 B8 C9 D6知知2 2练练 利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的
47、线段有的线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的线段有的在平行线上时，可直接利用平行线截三角形相似的对应在平行线上时，可直接利用平行线截三角形相似的对应边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证行论证第第2323章章 图形的相似图形的相似23.3 23.3 相似三角形相似三角形第第2 2课时课时 相似三角形的判相似三角形的判 定定利用角利用角 的关系的关系1课堂讲解课堂讲解用两角对应相等判定两三角形相似用两角对应相等判定两三角形相似 判定两
48、直角三角形相似判定两直角三角形相似2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 我们现在判定两个三角形是否相似，必须要我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？1知识点知识点用两角对应相等判定两三角形相似用两角对应相等判定两三角形相似知知1 1导导 你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是边与角分类考察的几种
49、不同情况吗？它们是:两边一角，两角两边一角，两角一边，三角，三边一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要从这几种情况出发，我们得到了一些重要的判定三角形全等的方法的判定三角形全等的方法.那么，对于相似三角形的判定，是否那么，对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分也存在类似的分 类与判定方法呢？类与判定方法呢？回回 顾顾我们在判断两个三角我们在判断两个三角形全等时，使用了哪形全等时，使用了哪些方法？判定三角形些方法？判定三角形相似是否有类似的方相似是否有类似的方法？法？让我们先从最常见的三角尺开始让我们先从最常见的三角尺开始.观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（观察你和同伴的直角
50、三角尺，同样角度（30与与 60，或，或45与与45)的三角尺看起来是相似的的三角尺看起来是相似的.这样从直这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就三个角对应相等时，它们就“应该应该”相似了相似了.确实是这样确实是这样吗？吗？知知1 1导导 如图如图23.3.6,任意画两个三角形（可以画在教科书最后所任意画两个三角形（可以画在教科书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻用刻 度尺量一量度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比两个三角形的对应
