1、第第8节立体几何中的向量方法节立体几何中的向量方法(二二)求空间角求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知知 识识 梳梳 理理2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin _ _.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 _.|cosa，n|(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|
2、_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cosn1，n2|常用结论与微点提醒1.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin|cosa，n|，不要误记为cos|cosa，n|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊诊 断断 自自 测测解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为，则sin|cos a，n|；(
3、3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135 C.45或135 D.90答案C答案304.已知正方体ABCDA1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为_.答案905.(2018郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面
4、PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45解析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PNBC1，MNAB1，AB1与BC1所成的角是MNP或其补角.AB2，BCCC11，法三将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图(3)，连接AD1，B1D1，则AD1BC1.图(3)(2)设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD，等
5、边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.解析法一取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ或其补角即为所求，设BCCACC12，法二以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，答案C(1)证明作PGBD交CD于G，连接AG.在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E为AC的中点，DEAE2，又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)解以D为坐标原点
6、，直线DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】如图，在六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DADHDB4，AECG3.(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.(1)证明连接AC，由AE綉CG
7、可知四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC，而ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF，因为BDBFB，BD，BF平面BDHF，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF.(2)解设ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綉AE，从而OP平面ABCD，又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF2.考点三用空间向量求二面角考点三用空间向量求二面角(多维探究多维探究)命题角度命题角度1计算二面角的大小计算二面角的大小【例31】(2
8、017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值.(1)证明BAPCDP90，PAAB，PDCD，又ABCD，PDAB，又PDPAP，PD，PA平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)解取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，AB綉CD，四边形ABCD为平行四边形，OE綉AB.由(1)知，AB平面PAD，OE平面PAD，又PO，AD平面PAD，OEPO，OEAD，又PAPD，POAD，PO，OE，AD两两垂直，设n(x，y，z)为平面PBC
9、的法向量，APD90，PDPA，又知AB平面PAD，PD平面PAD，PDAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，PD平面PAB，命题角度命题角度2已知二面角的大小求值已知二面角的大小求值因为四边形ADNM是矩形，MAAD，平面ADNM平面ABCD且交线为AD，所以MA平面ABCD，又DE平面ABCD，所以DEAM.又AMABA，AM，AB平面ABM，所以DE平面ABM，又DE平面DEM，所以平面DEM平面ABM.(2)解在线段AM存在点P，理由如下：由DEAB，ABCD，得DECD，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD且交线为AD，所以ND平面ABCD.以D为原点，DE，DC，
10、DN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系.规律方法1.利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.2.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用单独求.(3)注意判断二面角的平
11、面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.(2)(一题多解)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小.解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，因此CBP30.图1因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGC取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以，EMC为所求二面角的平面角.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos 12012，法二以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2设m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量.
