1、知识点1.长(正)方体表面积：表面积：6个面的面积之和叫作它的表面积。长方体表面积=(长宽+长高+宽高)2正方体表面积=棱长棱长62.长(正)方体表面积单位：平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2)3.长(正)方体表面积应用：制作无盖盒子，无盖鱼缸、抽屉、游泳池、粉刷教室有时并不需要计算6个面，具体问题具体对待。4.长(正)方体体积：体积：物体所占空间大小。长方体体积=长宽高=底面积高=横截面的面积长正方体体积=棱长棱长棱长=底面积棱长=横截面的面积棱长5.长(正)方体体积单位：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、立方米(m3)6.解决问题的步骤：(1)认真审题，分析长方体(
2、正方体)实物的特征。(2)明确问题，需要求的是什么，用哪个知识解决。(3)寻找条件，列式计算。(4)检查写出答案。7.关注的细节(1)是求棱长、表面积还是体积。若是求表面积，要明确求哪几个面的面积。(2)有没有单位需要换算，进行统一情况。(3)棱长和、表面积、体积计算公式要熟练。常用的体积单位有：立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。1cm31dm31m3棱长是1cm的正方体，体积是1cm3棱长是1dm的正方体，体积是1dm3棱长是1m的正方体，体积是1m3一个指甲盖大小的体积大约是1立方厘米。一个粉笔盒体积大约是1立方分米。一个洗衣机体积大约是1立方米。单位名称相邻两
3、个单位间的进率长度米(m)、分米(dm)、厘米(cm)101米=10分米 1分米=10厘米面积平方米(m2)、平方分米(dm2)、平方厘米(cm2)1001平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米体积立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)10001立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米一个橡皮的体积约是10立方厘米；一支钢笔约长18厘米；一辆卡车的体积约是40立方米；一本书的封面约是2平方分米；一部手机的体积约是33立方厘米。1.图形组合问题2.图形切割问题1.有3个正方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的正方体的总面积少了64平方厘米，
4、原来每个正方体的表面积是多少平方厘米？解 析3个正方体拼成一个新的长方体，橙色的4个面全部拼在长方体的内部，在求长方体的表面积时不再考虑。3个正方体的表面积-长方体的表面积=橙色4个面面积橙色4个面面积=64平方厘米拼成的长方体的表面积比原来的正方体的总面积少了64平方厘米。644=16(平方厘米)每个橙面面积16平方厘米。每个正方体有6个面 166=96(平方厘米)每个正方体表面积是96平方厘米。2.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，他们的表面积最多会减少多少平方分米？解 析把4块正方体粘成一个长方体。所有的橙色面都会进入长方体的内部，在表面积中不再计算。减少的表面积就是这6个橙色
5、面的面积。每个正方体的棱长都是2分米。226=24(平方分米)他们的表面积会减少24平方分米。组合方法一：把4块正方体粘成一个长方体。所有的橙色面都会进入长方体的内部，在表面积中不再计算。缺少表面积就是这8个橙色面的面积。每个正方体的棱长都是2分米。228=32(平方分米)这样摆列，表面积会减少32平方分米。12341234隐藏的面越多，表面积减少的越多，第二种组合方法表面积最多会减少32平方分米。组合方法二：3.下面立体图形是由16块1cm3的小正方体木块拼摆而成，哪一个立体图形的表面积最小？164+2=66(面)这样摆放，露在外面的面有66个面。解 析82+162+22=52(面)这样摆放
6、，露在外面的面有52个面。44+162=48(面)这样摆放，露在外面的面有48个面。84+42=40(面)这样摆放，露在外面的面有40个面。最后一种摆放，露在外面的面最少，而隐藏在内部的面最多，表面积最小。用若干个小正方体拼一个长方体：1.组合只会使拼成的长方体表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题。2.用若干个小正方体拼一个长方体，藏起来的面越多则长方体表面积越小。3.若干个小正方体拼成一个长条时，长方体表面积最大。4.若干个小正方体拼成正方体时，正方体表面积最小。5.若干个小正方体如果无法拼成正方体，考虑将拼成的长方体的长、宽、高的数值尽可能接近，拼成的长方体表面积将会最小。6.小正方体
7、的棱长是a，无论沿哪个面组合，都将减少两个正方形的面积2a2。7.若干个小正方体不论以什么方式组合，组合后图形的体积都等于原来各部分的体积之和。4.将两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少，至多需要包装纸多少？解 析将两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装。要需要包装纸最少，两个长方体组合后，表面积最小。要需要包装纸最多，两个长方体组合后，表面积最大。粉色面的面积最大，当两个长方体的这个面重叠后，减少的面积最多，组合图形的表面积最小。(63+62+32)2=72(cm2)至少需要包装纸72cm2。黄色面的面积最小，当两个长方体的这个面重叠后，减少的面积最
8、少，组合图形的表面积最大。(123+121+31)2=126(cm2)至多需要包装纸126cm2。用若干个小长方体拼一个长方体：1.若干个小长方体不论以什么方式组合，组合后图形的体积都等于原来各部分的体积之和。2.若干个小长方体不论以什么样的方式拼一个长方体，大长方体的表面积比起若干个小长方体的表面积和都有减少。3.若干个小长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多，大长方体的表面积最少。4.若干个小长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少，大长方体的表面积最多。5.两个小长方体组合将减少两个完全相同的面，三个小长方体组合减少四个完全相同的面，依次类推。5.用36个棱长是1c
9、m的小正方体拼成一个表面积尽可能小的长方体，这个长方体的表面积是多少？解 析36个棱长是1cm的小正方体。用36个棱长是1cm的小正方体拼成一个长方体。所有小正方体的体积和是：11136=36(cm3)大长方体的体积是36cm3。若干个小正方体不论以什么方式组合，组合后图形的体积都等于原来各部分的体积之和。要使大长方体表面积尽可能小。长宽高=36(cm3)36=334长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、3cm。考虑将拼成的长方体的长、宽、高的数值尽可能接近，拼成的长方体表面积将会最小。长宽高=36(cm3)(33+34+34)2=66(cm3)这个长方体的表面积是66cm3。1.有一个长方
10、形形状的木料长8厘米，宽6厘米，高5厘米，中间挖出一个长和宽都是2厘米的长方体的孔，你能算出它的体积和表面积吗？解 析 橙色长方体的体积=长方形形状木料的体积-中间挖去的长方体孔的体积中间挖去的长方体孔高度与长方形形状木料高度一样。865-225=220(立方厘米)它的体积是220立方厘米。将一个长方体或正方体任意的切割，剩下部分的体积=原来长方体的体积-切割掉部分的体积。完整长方形形状木料的表面积是：(86+65+85)2=236(平方厘米)在长方形形状木料的中间挖出一个长和宽都是2厘米的长方体的孔。22=4(平方厘米)这个长方形形状木料的上下两个面的表面积都要减去中间孔的4平方厘米的面积。
11、25=10(平方厘米)这个长方形形状木料的内部增加了4个10平方厘米的黄色面。图形的表面积=完整长方形木料的表面积-减少的表面积+增加的表面积236-42+104=268(平方厘米)它的表面积是268平方厘米。2.一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的体积是多少平方厘米？解 析一个长方体，高减少3厘米，就成为一个正方体。长方体的表面积比正方体的表面积多蓝色的四个面。蓝色4个面面积=96平方厘米964=24(平方厘米)每个蓝色长方形面积24平方厘米表面积比原来减少了96平方厘米。每个蓝色长方形宽3厘米。243=8(厘米)每个蓝色长方形的长
12、是8厘米，长方体的长是8厘米。橙色部分是正方体，可知长方体的宽也是8厘米。3+8=11(厘米)可知长方体的高也是11厘米。8811=704(立方厘米)原来长方体的体积是70立方厘米。3.把一个长是24厘米的长方体截成两个大小和形状完全相同，但长只有原来长方体一半的两个小长方体，这时计算得出大长方体的表面积比两个小长方体的表面积的和少了46平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？解 析一个长是24厘米的长方体截成两个大小和形状完全相同小长方体。两个小长方体的比大长方体多出两个橙色的面。大长方体的表面积比两个小长方体的表面积的和少了46平方厘米。两个橙色的面的面积是46平方厘米。462=23(平
13、方厘米)1个橙色的面的面积是23平方厘米。大长方体的长是24厘米。根据公式计算体积=横截面的面积长大长方体的横截面面积是23平方厘米。2423=552(立方厘米)原来长方体的体积是552立方厘米。把一个长方体切一刀，截成两个长方体，增加两个完全相同的面。把一个长方体沿相同的方向切两刀，截成三个长方体，增加四个完全相同的面。把一个长方体沿相同的方向切三刀，截成四个长方体，增加六个完全相同的面。把一个长方体沿相同的方向切n刀，截成(n+1)个长方体，增加2n个完全相同的面。4.把一个长28cm、宽16cm、高8cm的大长方体切成两个小长方体，下图中表面积增加最多的切法是哪一种？解 析大长方体切一刀
14、变成两个小长方体。切割后表面积比原来增加了两个切割面的面积。要使表面积增加最多，就选择平行于长方体中面积最大的面来切。即平行于最大面切割时，增加了两个最大的面，即表面积增加的最大。粉色的的面是最大面，平行于粉色面的切割方法，表面积增加最多。若平行于最小面切割时，增加了两个最小的面，即表面积增加的最小。正方体所有的面都相同，所以无论沿那个面切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2。5.把一个表面积是100cm2的长方体照下图切三刀，切成了多少个小长方体？切后的表面积比原来增加了多少cm2？解 析长方体表面积是100cm2。设这个长方体红色面的面积为a，蓝色面的面积为b，黄色面的面积为c，
15、单位均是cm2。(a+b+c)2=100(cm2)平行于蓝面切一刀，增加2个和蓝面一样大小的面，增加的表面积是2b。平行于黄面切一刀，增加2个和黄面一样大小的面，增加的表面积是2c。平行于红面切一刀，增加2个和红面一样大小的面，增加的表面积是2a。照图切三刀。切成了8个小长方体，上面4个，下面4个。一共增加的的表面积：2b+2c+2a(a+b+c)2=100(cm2)切后的表面积比原来增加了100cm2。6.一个长6厘米，宽2厘米，高5厘米的长方体，被切去一个棱后，如下图所示，剩下部分的表面积和体积各是多少？解 析长方体，被切去一个角后。对残缺长方体表面的黄色、粉色部分进行移动。可以发现被切去
16、一个棱的长方体表面比完整长方体少了蓝色的两个面。长6厘米，宽2厘米，高5厘米完整长方体的表面积：(62+65+25)2=104(平方厘米)2个蓝色小正方形的面积：112=2(平方厘米)104-2=102(平方厘米)剩下部分的表面积102平方厘米。将剩下的部分分成两个长方体。552=50(立方厘米)橙色立方体体积50立方厘米。142=8(立方厘米)蓝色立方体体积8立方厘米。50+8=58(立方厘米)剩下部分的体积是58立方厘米。=方法一：方法二：剩下的部分的体积=完整的长方体体积-粉色长方体体积652-112=58(立方厘米)7.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的两个顶点处挖去2个棱长是1厘米的
17、正方体，如下图所示，剩下物体的表面积和体积各是多少？解 析正方体从它的两个顶点处挖去2个小正方体。对残缺正方体的表面进行移动，内部黄色、粉色和蓝色部分移动到外表面。通过图示可以看到正好将正方体的一个顶点补完整。另一个小正方体如此操作也可将正方体的另一个顶点补完整。剩下物体的表面积与完整的正方体的表面积一样。446=96(平方厘米)剩下物体的表面积是96平方厘米。剩下的部分的体积=完整的正方体体积-缺失的黄色正方体体积2444-1112=62(立方厘米)剩下的部分的体积是62立方厘米。1.对正方体或长方体进行切割后，总表面积（包括剩下部分和切掉部分）是增大的。2.对正方体或长方体进行切割后，剩下
18、部分表面积的变化是不确定的，可能会减少，不变或是增加。8.一根长40厘米，宽和高都是12厘米的长方体木料，从它的两端锯下2个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？从长方体木料的两端锯下2个最大的正方体。解 析从长方体中锯下最大的正方体，正方体的棱长是长方体长、宽、高中最小的数值。每个正方体的棱长是12厘米。锯完剩下的木料表面比原来完整的长方体木料少了黄色部分。每一端黄色部分有1212的面前、后、上和下，共四个。两端共少了这样的8个面。12128=1152(平方厘米)它的表面积减少了1152平方厘米。不包括左右两个面，因为切割后的小正方体仍然有这两个面。9.一个长方体长为1.5分米，宽为
19、0.5分米，高为1分米，锯三刀之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？解 析一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高为1分米，锯三刀之后可以锯成6个完全相同的正方体。长方体的长是宽的3倍，高是宽的2倍，可以考虑锯成的每个小正方体的棱长是0.5分米。平行于蓝面切一刀，平行于黄面切两刀，可以得到6个棱长为0.5分米的小正方体。0.50.56=1.5(平方分米)每个正方体的表面积是1.5平方分米。平行于蓝面切一刀，增加2个和蓝面一样大小的面，增加的表面积是：1.50.52=1.5(平方分米)1.5+2=3.5(平方分米)这时表面积之和比原来增加3.5平方分米。平行于黄面切两刀，增加4个和黄面一样大小的面，增加的表面积是：10.54=2(平方分米)
