1、湖南省常德市湖南省常德市 2020 届高三高考模拟考试（一）届高三高考模拟考试（一） 数学（文）数学（文） 考生注意：本试题分第考生注意：本试题分第卷和第卷，共三大题，满分卷和第卷，共三大题，满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟 第卷（选择题）第卷（选择题） 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1已知集合0,2 ,2, 1,0,1,2 ,AB 则AB （ D ） A.2 , 0 B. 2
2、 , 1 C. 0 D.2 , 1 , 0 , 1-2- ， 2 已知ba ,为实数，i为虚数单位， 若 i i bia 2 ， 则ba（ B ） A 3 B 1 C1 D3 3针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查， 其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5 ，女生喜欢抖音的人 数占女生人数 3 5 ，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有 （ C ）人 附表： 2 0 P Kk 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附： 2 2 n adbc K abcdacbd A20 B40 C60
3、D80 4聂爱华)平面向量a与b的夹角为120 ,(2,0),| 1ab ，则|2 |ab（ C ） A4 B3 C2 D3 5已知函数xxxfcos|sin|)(，则下列结论中错误的是（ D ） A)(xf为偶函数 B)(xf的最大值为 2 1 C xf在区间 , 2 上单调递增 D xf的最小正周期为2 6 6三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 互相垂直，PAPB1，M 是线段 BC 上一动点，若直线 AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 6 2 ， 则三棱锥PABC的外接球的表面积是( B ) A2 B.4 C.8 D.16 7等比数列 n a的各项均为正数，已知向量 54 ,n
4、a a， 78 ,ma a，且 4m n ，则 2122211 logloglog(aaa B ) A5 B 2 11 C 2 13 D 2 2log 5 8已知圆x 2+y22x+2y+a0 截直线 x+y40 所得弦的长度小于 6，则实数a的取值范围 为（ D ） A B C （15，+） D （15，2） 9已知在ABC中， 4 3 B ，1AB，角A的平分线2AD ，则AC（ C ） A. 3 B. 32 C. 13 D. 33 10设定义在R上的函数 ( )yf x满足任意tR都有 1 (2) ( ) f t f t ，且(0,4x时， ( ) ( ) f x fx x ，则6 (2
5、017)f，3 (2018)f，2 (2019)f的大小关系是（ A ） A6 (2017)3 (2018)2 (2019)fff B3 (2018)6 (2017)2 (2019)fff C2 (2019)3 (2018)6 (2017)fff D2 (2019)6 (2017)3 (2018)fff 11已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为， 直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是( D ) A2 B 6 2 C 2 10 5 D 2 12已知函数 2 1 ln10 210 xx f x xxx ，函数 g
6、xf xxm在定义域内恰有三 个不同的零点，则实数m的取值范围是（ A ） A 513 , 11, 44 B. 13 1, 4 C 13 1, 4 D 5 13 , 44 第卷第卷 （非选择题）（非选择题） 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。分。把答案填在题中的横线上。 13已知 130cos220cos20sinm ，则m= 3 14如图，圆柱 1 OO中，两半径OA， 1 O B等于 1，且 1 OAO B，异面直线AB与 1 OO所 成角的正切值为 2 4 ，则该圆柱 1 OO的体积为_4_ 15已
7、知在正项等比数列 n a 中，存在两项 nm aa , 满足 1 2aaa nm 且 456 32aaa ，则 nm 41 的最小值是_ 4 9 _ 16给出下列五个命题： 已知直线a、b和平面，若/a b，/b，则/a； 平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线； 双曲线 22 22 10,0 xy ab ab ， 则直线 b yxm a mR与双曲线有且只有一个公 共点； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； 过2,0M的直线l与椭圆 2 2 1 2 x y交于 1 P、 2 P两点， 线段 12 PP中 点为P，设直线l斜率为
8、1 k0k ，直线OP的斜率为 2 k，则 12 k k等 于 1 2 . 其中，正确命题的序号为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第第 17-21 题为必做题题为必做题,每个考生都必须作答每个考生都必须作答.第第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足1 1 a，且)(21 * 1 Nnaa nn . （1）求证：数列1 n a为等比数列； （2）求数列 n a的前n
9、项和 n S. 【解析】 （1）方法 1：证明：由)(21 * 1 Nnaa nn ，得 ) 1(21 1 nn aa 3 分 即2 1 1 1 n n a a 又21 1 a .5 分 数列1 n a是以2为首项，2为公比的等比数列6 分 方法 2：证明：由已知得 2 1 ) 1(2 1 22 1 1 1 n n n n n n a a a a a a . 3 分 又21 1 a 5 分 数列1 n a是以2为首项，2为公比的等比数列. .6 分 （2）由（1）知， n 21 n a 12n n a .7 分 则 nn aaaaS. 321 ) 12(.) 12() 12( n21 n)2.
10、22( n 21 n n 21 )21 (2 .10 分 22 1 n n .12 分 18.（本小题满分 12 分） 某学校为了了解学生对3.12 植树节活动节日的相 关内容，学校进行了一次 10 道题的问卷调查，从该校 学生中随机抽取 50 人，统计了每人答对的题数，讲统 计结果分成)2,0， )4,2，)6,4，)8,6，10,8 0 0 8 10 4 6 2 答对题数 频率 组距 0.04 0.10 0.02 0.22 0.12 五组，得到如下频率分布直方图 （1）若答对一题得 10 分，答错和未答不得分，估计这 50 名学生成绩的平均分； （2）若从答对题数在)4,0内的学生中随机抽
11、取 2 人，求恰有 1 人答对题数在)4,2内的 概率 【解】 （1）答对题数的平均数为 2)10. 0922. 0712. 0504. 0302. 01 ( 35. 6 3 分 所以这 50 人的成绩平均分约为5 .6335. 610分 5 分 （2）答对题数在2,0内的学生有250202. 0人，记为BA , 答对题数在4,2内的学生有450204. 0人，记为dcba, 从答对题数在)4,0内的学生中随机抽取 2 人的情况有),(,),(,),( ,),(cAbAaABA ),(,),( ,),( ,)(,),(,),(,),(,),(,),(,),( ,),(dcdbcbdacabad
12、BcBbBaBdA， 共 15 种 9 分 其中恰有 1 人答对题数在)4,2内的情况有 8 种 10 分 所以恰有 1 人答对题数在 )4,2 内的概率 15 8 P 12 分 19 （本小题满分 12 分） 在三棱锥PABC中， 底面ABC与侧面PAB均为正三角形，2AB ，6PC ，M为 AB的中点 （）证明：平面PCM 平面PAB； （）N为线段PA上一点，且 3 4 CMN S，求三棱锥PCMN的体积 解法一（）ABC 是边长为2的正三角形，M为AB的中点，所以CMAB，1 分 3CM 同理， 3PM ，又6PC ， 因为 222 CMPMPC，所以CMPM4 分 又ABPMM，所以
13、CM 平面PAB，5 分 又CM 平面PCM， 所以平面PCM 平面PAB6 分 （）由（）得CM 平面PAB， 所以CMMN，CMN 为直角三角形， 所以 13 24 CMN SCM NM ，且 3CM ，8 分 解得 3 2 MN 在AMN 中，由 222 cos 2 ANAMMN A AN AM ， 2 22 3 1 2 cos60 2 AN AN 解得 1 2 AN ，即 3 2 PN 10 分 即 3 4 PN PA , 3333 3 3 4888 PNMPAMPAB SSS ， 1 3 P CMNC PMNPMN VVSCM 13 33 3 388 12 分 解法二： （）同解法一
14、 （）由（）可得CM 平面PAB， 所以CMNM，7 分 即 31 3 42 NM， 3 2 NM ， 所以 1 2 NMAM PMPA ， 得ANMAPM， 则90ANMAMP ， 所以NMPA，又CMPA，NMCMM 所以PA平面CNM，9 分 在Rt PNM中， 22 3 2 PNPMNM， 10 分 所以 111333 3 332228 P CMNCMN VSPN 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab ， 1 10F （， ）为其左焦点， 3 (1, ) 2 P在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； (2)若A、B是椭圆C上不同的
15、两点，以AB为直径的圆过原点O, 求AB的最大值.（改 编） 解： （1）设椭圆的右焦点为 2 1,0F,根据椭圆的定义： 12 24PFPFa 2a 又1,3cb 椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （4 分） （2）当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知45AOxBOx ， 不妨设 22 2 ,1,21, 437 xy A x yx则此时 4 21 7 AB . 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为 1122 ,ykxm A x yB xy 联立 22 1 43 xy ykxm 222 43)84120kxkmxm（ 由 2222 644(43)(412)0k mkm 得 22
16、 430km ， （*） 由韦达定理有 2 1212 22 8412 , 4343 kmm xxx x kk ，因为以AB为直径的圆过原点O, 所以0OA OB 即 22 22 12121212 2 71212 (1)()0 34 mk x xy ykx xkm xxm k 即 2 2 1212 7 k m 满足（*）式.设AB的中点是,P x y，则 12 2 4 , 234 xxkm x k 22 43 3434 kmm ykm kk 22 2222 222 2 2 (169)2 (169) 12 12)43 22 3434347 34 kmkkkmm ABOP kkkk （ （） 22
17、2 (169)(12 12) 2 2 7 347 kk k 当且仅当 22 16912 12kk 时等号成立，即 3 2 k ，又因为 4 217 7 ，所以 AB 的最大值为 7 . （12 分） 21 （本小题满分 12 分） （本小题满分 12 分） 已知直线l：) 1( xky与函数xxfln)(. (1) 若) 1()(xkxf恒成立，求 k 的取值的集合。 (2) 若0 12 xx，求证： 1212 12 2)()( xxxx xfxf 。 【解析】令 )0)(1()()(xxkxfxg 则依题意恒成立0) 1(ln)(xkxxg 所以当ex 时也成立，则0 1 1 0) 1(ln
18、)( e kekeeg 又 k xk x xg 1 00 1 )( ， k xxg 1 0)( ； 所以上递减上递增，在，在 , 11 0)( kk xg， 所以01ln 11 ln) 1 ()( max kkk k k kk gxg 令)0(1ln)(xxxxh 则100)(, 10 1 1 1 )( xxhx x x x xh 所以上递增，上递减，在在11 , 0)(xh， 所以0) 1 ()( hxh，故101ln)(kkkkh的解为 所以满足题意的 K 的取值的集合为1 （2）证明：要证 1212 12 2)()( xxxx xfxf ， 即证 1212 12 2lnln xxxx x
19、x 令 t x x 1 2 则1, 0 12 txx 即可转证： 1 2 1 ln 1 2 1 2 1 2 x x x x x x ，即证 1 2 1 ln tt t 因为 1t 所以即证 ) 1(2ln) 1ttt（ 即证 ) 1(022lnlnttttt 令 ）（) 1(22lnln)(Ftttttt 则 1 11 ln1 1 ln2 11 ln)(F ttt t tt ttt 由（1）中结论易知01 11 ln, 0) 1 ( ttt h即即得0)(Ft 所以上递增在, 122lnln)(Fttttt 所以02121ln1ln122lnln)(Fttttt 式得证）式得证。所以原不等即（
20、. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分. 22 （本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合曲线C的极 坐标方程是 2 2 6 12sin ，直线l的极坐标方程是 cos20 4 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2） 设点2,0P， 直线l与曲线C相交于点M、N， 求 11 PMPN 的值 【详解】（1） 曲线C化为： 222 2sin6， 将 222 siny xy 代
21、入上式， 即 22 36xy， 整理得曲线C的直角坐标方程 22 1 62 xy .由 cos20 4 ，得 22 cossin20 22 ，将 cos sin x y 代入上式，化简得 20xy， 所以直线l的直角坐标方程20xy. （2）由（1）知，点2,0P在直线l上，可设直线的参数方程为 3 2cos 4 3 sin 4 xt yt （t为参数） ， 即 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，代入曲线C的直角坐标方程，得 22 11 2 2436 22 ttt ， 整理，得 2 210tt ，所以 2 24 160 ， 1 2 10t t ， 由题意知， 12 121 2 1
22、111t PNtPtt tM t 6 6 11 . 23 （本小题满分 10 分） 设函数|4| 12|)(xxxf. （1）解不等式0)(xf； （2）若|2|4|3)(mxxf对一切实数x均成立，求m的取值范围. 解：（1）当4x时，5412)(xxxxf，原不等式即为05 x， 解得4, 45xxx； 当4 2 1 x时，33412)(xxxxf，原不等式即为033x， 解得41, 4 2 1 1xxx； 当 2 1 x时，5412)(xxxxf，原不等式即为05 x， 解得5, 5xx； 综上，原不等式的解集为1|xx或5x.5 分 （2）9| )82(12|4|2| 12|4|3)(
23、xxxxxxf. 当4 2 1 x时，等号成立. |4|3)(xxf的最小值为9，要使|2|4|3)(mxxf成立，故9|2|m， 解得m的取值范围是： 117m .10 分 参考答案参考答案 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。分。 1D 2B 3C 4C 5D 6B 7B 8D 9C 10A 11D 12A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 3 14 4 15 4 9 16 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分
24、. 17 【解析】 （1）方法 1：证明：由 )(21 * 1 Nnaa nn ，得 ) 1(21 1 nn aa 3 分 即2 1 1 1 n n a a 又21 1 a .5 分 数列1 n a是以2为首项，2为公比的等比数列6 分 方法 2：证明：由已知得 2 1 ) 1(2 1 22 1 1 1 n n n n n n a a a a a a . 3 分 又21 1 a 5 分 数列1 n a是以2为首项，2为公比的等比数列. .6 分 （3）由（1）知， n 21 n a 12n n a .7 分 则 nn aaaaS. 321 ) 12(.) 12() 12( n21 n)2.22
25、( n 21 n n 21 )21 (2 .10 分 22 1 n n .12 分 18. 【解析】 （1）答对题数的平均数为 2)10. 0922. 0712. 0504. 0302. 01 ( 35. 6 3 分 所以这 50 人的成绩平均分约为5 .6335. 610分 5 分 （2）答对题数在2,0内的学生有250202. 0人，记为BA , 答对题数在4,2内的学生有450204. 0人，记为dcba, 从答对题数在)4,0内的学生中随机抽取 2 人的情况有),(,),(,),( ,),(cAbAaABA ),(,),( ,),( ,)(,),(,),(,),(,),(,),(,),
26、( ,),(dcdbcbdacabadBcBbBaBdA， 共 15 种 9 分 其中恰有 1 人答对题数在)4,2内的情况有 8 种 10 分 所以恰有 1 人答对题数在 )4,2 内的概率 15 8 P 12 分 19【解析】 解法一 （）ABC 是边长为2的正三角形，M为AB的中点， 所以CMAB， 1 分 3CM 同理， 3PM ，又6PC ， 因为 222 CMPMPC，所以CMPM4 分 又ABPMM，所以CM 平面PAB，5 分 又CM 平面PCM， 所以平面PCM 平面PAB6 分 （）由（）得CM 平面PAB， 所以CMMN，CMN 为直角三角形， 所以 13 24 CMN
27、SCM NM ，且 3CM ，8 分 解得 3 2 MN 在AMN 中，由 222 cos 2 ANAMMN A AN AM ， 2 22 3 1 2 cos60 2 AN AN 解得 1 2 AN ，即 3 2 PN 10 分 即 3 4 PN PA , 3333 3 3 4888 PNMPAMPAB SSS ， 1 3 P CMNC PMNPMN VVSCM 13 33 3 388 12 分 解法二： （）同解法一 （）由（）可得CM 平面PAB， 所以CMNM，7 分 即 31 3 42 NM， 3 2 NM ， 所以 1 2 NMAM PMPA ， 得ANMAPM， 则90ANMAMP
28、 ， 所以NMPA，又CMPA，NMCMM 所以PA平面CNM，9 分 在Rt PNM中， 22 3 2 PNPMNM， 10 分 所以 111333 3 332228 P CMNCMN VSPN 12 分 20 【解析】 （1）设椭圆的右焦点为 2 1,0F ,根据椭圆的定义： 12 24PFPFa 2a 又1,3cb 椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （4 分） （2）当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知45AOxBOx ， 不妨设 22 2 ,1,21, 437 xy A x yx则此时 4 21 7 AB . 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为 1122 ,ykxm
29、A x yB xy 联立 22 1 43 xy ykxm 222 43)84120kxkmxm（ 由 2222 644(43)(412)0k mkm 得 22 430km ， （*） 由韦达定理有 2 1212 22 8412 , 4343 kmm xxx x kk ，因为以AB为直径的圆过原点O, 所以0OA OB 即 22 22 12121212 2 71212 (1)()0 34 mk x xy ykx xkm xxm k 即 2 2 1212 7 k m 满足（*）式.设AB的中点是,P x y，则 12 2 4 , 234 xxkm x k 22 43 3434 kmm ykm kk
30、 22 2222 222 2 2 (169)2 (169) 12 12)43 22 3434347 34 kmkkkmm ABOP kkkk （ （） 22 2 (169)(12 12) 2 2 7 347 kk k 当且仅当 22 16912 12kk 时等号成立，即 3 2 k ，又因为 4 217 7 ，所以 AB 的最大值为 7 . （12 分） 21 【解析】令 )0)(1()()(xxkxfxg 则依题意恒成立0) 1(ln)(xkxxg 所以当ex 时也成立，则0 1 1 0) 1(ln)( e kekeeg 又 k xk x xg 1 00 1 )( ， k xxg 1 0)(
31、 ； 所以上递减上递增，在，在 , 11 0)( kk xg， 所以01ln 11 ln) 1 ()( max kkk k k kk gxg 令)0(1ln)(xxxxh 则100)(, 10 1 1 1 )( xxhx x x x xh 所以上递增，上递减，在在11 , 0)(xh， 所以0) 1 ()( hxh，故101ln)(kkkkh的解为 所以满足题意的 K 的取值的集合为1 （3）证明：要证 1212 12 2)()( xxxx xfxf ， 即证 1212 12 2lnln xxxx xx 令 t x x 1 2 则1, 0 12 txx 即可转证： 1 2 1 ln 1 2 1
32、 2 1 2 x x x x x x ，即证 1 2 1 ln tt t 因为 1t 所以即证 ) 1(2ln) 1ttt（ 即证 ) 1(022lnlnttttt 令 ）（) 1(22lnln)(Ftttttt 则 1 11 ln1 1 ln2 11 ln)(F ttt t tt ttt 由（1）中结论易知01 11 ln, 0) 1 ( ttt h即即得0)(Ft 所以上递增在, 122lnln)(Fttttt 所以02121ln1ln122lnln)(Fttttt 式得证）式得证。所以原不等即（. 22 【解析】 （1）曲线C化为： 222 2sin6，将 222 siny xy 代入上
33、式，即 22 36xy， 整理得曲线C的直角坐标方程 22 1 62 xy .由 cos20 4 ，得 22 cossin20 22 ，将 cos sin x y 代入上式，化简得 20xy， 所以直线l的直角坐标方程20xy. （2）由（1）知，点2,0P在直线l上，可设直线的参数方程为 3 2cos 4 3 sin 4 xt yt （t为参数） ， 即 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，代入曲线C的直角坐标方程，得 22 11 2 2436 22 ttt ， 整理，得 2 210tt ，所以 2 24 160 ， 1 2 10t t ， 由题意知， 12 121 2 1111
34、t PNtPtt tM t 6 6 11 . 23 【解析】 （1）当 4x 时， 5412)(xxxxf ，原不等式即为 05 x ， 解得4, 45xxx； 当4 2 1 x时，33412)(xxxxf，原不等式即为033x， 解得41, 4 2 1 1xxx； 当 2 1 x时，5412)(xxxxf，原不等式即为05 x， 解得5, 5xx； 综上，原不等式的解集为1|xx或5x.5 分 （2）9| )82(12|4|2| 12|4|3)(xxxxxxf. 当4 2 1 x时，等号成立. |4|3)(xxf的最小值为9，要使|2|4|3)(mxxf成立，故9|2|m， 解得m的取值范围是： 117m .10 分
