1、第二十八章第二十八章 圆圆28.1 28.1 圆的概念及性质圆的概念及性质1课堂讲解课堂讲解u圆的定义圆的定义 u圆的对称性圆的对称性u与圆有关的概念与圆有关的概念u同圆的半径相等同圆的半径相等2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？成正方形，会怎样？如图：如图：E、B表示车轮边缘上的两点，它们到轴心表示车轮边缘上的两点，它们到轴心O的距离大小如何？的距离大小如何？OO 这样会导致会导致什么后果？这样会导致会导致什么后果？如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够
2、平如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？稳地滚动？如图：如图：A、B表示车轮边缘上任意两点，则它们到表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心轴心O的距离：的距离：_.一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们圈套住离他们2m远的目标，远的目标，有如图两种方案供选择，你的选择是有如图两种方案供选择，你的选择是_，理由：理由：_。1知识点知识点圆的定义圆的定义知知1 1导导 在实际生活中，电动自行车的车轮、皮带传动轮、在实际生活中，电动自行车的车轮、皮带传动轮、茶几面和管道的横截茶几面和管道的横截 面等，都给我们一种圆的形象面等，都给我们
3、一种圆的形象.电动车车轮电动车车轮皮带传动轮皮带传动轮茶几面茶几面管道的横截管道的横截 面面知知1 1导导思考：思考：小惠与小亮合作，按下面的方法画圆小惠与小亮合作，按下面的方法画圆.首先，小惠把绳子的一端固定在首先，小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点操场上的某一点O处，小亮在绳子的另处，小亮在绳子的另一端拴上一小段竹签，然后，小亮将一端拴上一小段竹签，然后，小亮将绳子拉紧，再绕点绳子拉紧，再绕点O转一圈，竹签划出转一圈，竹签划出的痕迹就是圆的痕迹就是圆.观察小惠与小亮画圆的过程，你认为圆上任意一观察小惠与小亮画圆的过程，你认为圆上任意一点到圆心的距离相等吗？点到圆心的距离相等吗？知知1 1
4、导导结论结论 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做图形，叫做圆圆(circle)，这个定点叫做，这个定点叫做圆心圆心(center of a circle)，这条定长叫做圆的，这条定长叫做圆的半径半径(radius).如如下下图，它图，它是以点是以点O为圆心，为圆心，OA的长为半径的圆，记作的长为半径的圆，记作“O”，读作读作“圆圆O”.线段线段OA也称为也称为 O的半径的半径.(1)确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是半径圆心定其位置，半径定其大小半径圆心定其位置，半径定其大小 (2)圆是一条封
5、闭的曲线，曲线是圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周圆周”，而不，而不能认为是能认为是“圆面圆面”(3)“圆上的点圆上的点”指圆周上的点指圆周上的点知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）下列说法中，错误的有下列说法中，错误的有()经过点经过点P的圆有无数个；的圆有无数个；以点以点P为圆心的圆有为圆心的圆有无数个；无数个；半径为半径为3 cm且经过点且经过点P的圆有无数个；的圆有无数个；以点以点P为圆心，为圆心，3 cm为半径的圆有无数个为半径的圆有无数个A1个个 B2个个 C3个个D4个个知知1 1讲讲例例1导引：导引：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径
6、，只 满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无 数个，由此可知数个，由此可知正确；正确；半径确定，但圆心半径确定，但圆心 不确定，仍有无数个圆；不确定，仍有无数个圆；圆心和半径都确定的圆心和半径都确定的 圆有且只有一个圆有且只有一个(唯一唯一).A（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)确定圆的条件即圆心和半径，两者缺一确定圆的条件即圆心和半径，两者缺一不可；不可；(2)“点在圆上点在圆上”和和“圆过点圆过点”表示的意义都表示的意义都是：这个点在圆周上；是：这个点在圆周上；(3)圆将平面划分为三部圆将平面划分为三部分
7、：圆上、圆内、圆外分：圆上、圆内、圆外1 下列关于圆的叙述正确的是下列关于圆的叙述正确的是()A圆是一个面圆是一个面 B圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线 C圆是由圆心唯一确定的圆是由圆心唯一确定的 D圆是到定点距离等于或小于定长的点的集合圆是到定点距离等于或小于定长的点的集合知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）2 下列关于圆的叙述中正确的是下列关于圆的叙述中正确的是()A圆是由圆心唯一确定的圆是由圆心唯一确定的 B圆是一条封闭的曲线圆是一条封闭的曲线 C平面内到定点的距离小于或等于定长的所平面内到定点的距离小于或等于定长的所 有点组成圆有点组成圆 D圆内任意一点到圆心的距离都相等圆内任意一点到
8、圆心的距离都相等3 平面内已知点平面内已知点P，以，以P为圆心，为圆心，3 cm为半径作圆，为半径作圆，这样的圆可以作这样的圆可以作()A1个个 B2个个 C3个个 D无数个无数个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点圆的对称性圆的对称性知知2 2导导 圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心称中心.1圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的 对称轴对称轴 (1)圆的对称轴有无数条；圆的对称轴有无数条；(2)
9、不能说不能说“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”，而应该说，而应该说“圆的圆的 对称轴是直径所在的直线对称轴是直径所在的直线”或说成或说成“圆的对称轴圆的对称轴 是经过圆心的直线是经过圆心的直线”2圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心不仅圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心不仅 如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图 形都与原图形重合，即圆还具备旋转不变性形都与原图形重合，即圆还具备旋转不变性知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例2 如图所示，在如图所示，在 O中，将中，将AOB绕圆心绕圆心O顺时针顺时针 旋转旋转150，得到，得到
10、COD，指出图中相，指出图中相 等的量等的量导引：导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，按题中涉及的量有：弧、角、线段，按 圆的旋转不变性这一规律找相等的量圆的旋转不变性这一规律找相等的量解：解：相等的弧有：相等的弧有：相等的角有：相等的角有：AOBCOD，AOC BOD，ABCD；相等的线段有：相等的线段有：ABCD，OAOBOCOD.（来自（来自点拨点拨）,;ABCD ACBD BDADAC CDADAB 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，而且绕圆圆既是轴对称图形又是中心对称图形，而且绕圆心旋转任何一个角度都能与原图形重合，即圆具有旋心旋转任何一个角度都能与原图形重合，即圆具有旋转不变性转不
11、变性总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1 下列图形中，对称轴条数最多的是下列图形中，对称轴条数最多的是()A线段线段 B正方形正方形 C正三角形正三角形 D圆圆知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练2【中考中考徐州徐州】下列图案中，是轴对称图形但不】下列图案中，是轴对称图形但不 是中心对称图形的是是中心对称图形的是()3【中考中考凉山州凉山州】在线段、平行四边形、矩形、等】在线段、平行四边形、矩形、等 腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又 是中心对称图形的有是中心对称图形的有()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个（来自
12、（来自典中点典中点）3知识点知识点与圆有关的概念与圆有关的概念知知3 3导导 实际上，圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合实际上，圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.为进一步认识圆的有关性质，我们先了解关于圆的为进一步认识圆的有关性质，我们先了解关于圆的一些概念一些概念.圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦弦(chord).过圆心的弦叫做这个圆的过圆心的弦叫做这个圆的直径直径(diameter).圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧(circular arc)，简，简称弧称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这圆的直径将这个圆分
13、成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做样的一条弧叫做半圆半圆(semicircle).知知3 3导导 大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧(major arc)，小于半圆，小于半圆的弧叫做的弧叫做劣弧劣弧(minorarc).如图，点如图，点A，B，C，D在在 O上上.线段线段AB为为 O的一条弦，的一条弦，AC为为 O的直径的直径.直直径径AC所分的两个半圆分别为半圆所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆和半圆ABC.以以AB为端点的弧为端点的弧有两有两条，其中劣弧用条，其中劣弧用 来表示，来表示，读作读作“弧弧AB”，优弧用，优弧用 来表示，读作来表示，读作“弧弧ADB”.能够完全重合
14、的两个圆叫做能够完全重合的两个圆叫做等圆等圆.能够完全重合能够完全重合的两的两条弧叫做条弧叫做等弧等弧.ABADB知知3 3讲讲例例3 易错题易错题 以下命题：以下命题：半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆是弧，但弧不一定是半圆；过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；弦是直径；弦是直径；直径是圆中最长的弦；直径是圆中最长的弦；直径不是弦；直径不是弦；优弧大于劣弧；优弧大于劣弧；以以O为圆心可以画无数个圆为圆心可以画无数个圆.正确的个数为正确的个数为()A1 B2 C3 D4导引：导引：半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、优弧三种，故半圆是弧的一种
15、，弧可以分为劣弧、半圆、优弧三种，故 正确；正确；过圆上任意一点可以作无数条弦，故错误；直径过圆上任意一点可以作无数条弦，故错误；直径 是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错误；圆有无是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错误；圆有无 数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确；数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确；直径是圆中最长的弦，故错误；在同圆或等圆中，优弧直径是圆中最长的弦，故错误；在同圆或等圆中，优弧 大于劣弧，故错误；以一个点为圆心，若不指明半径，大于劣弧，故错误；以一个点为圆心，若不指明半径，可画出无数个大小不等的同心圆，故正确可画出无数个大小不等的同
16、心圆，故正确.（来自（来自点拨点拨）C 在圆的有关概念中有两个误区：在圆的有关概念中有两个误区：一一是是“半圆半圆”和和“弧弧”这两个概念之间的误区，半圆属于弧；这两个概念之间的误区，半圆属于弧；二二是是“弦弦”和和“直径直径”之间的误区，直径是最长的弦之间的误区，直径是最长的弦总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）知知3 3练练1 如图所示如图所示，已知，已知 O上有上有A，B，C三个点，以其三个点，以其中两个点为端点的弧共有中两个点为端点的弧共有_条，弦共有条，弦共有_条条（来自（来自点拨点拨）知知3 3练练2 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()弦是直径；弦是直径；半圆是
17、弧；半圆是弧；过圆心的线段是直过圆心的线段是直 径；径；半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；直径是圆中最长的弦直径是圆中最长的弦 A B C D3 下列说法中，错误的是下列说法中，错误的是()A直径相等的两个圆是等圆直径相等的两个圆是等圆 B长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧 C圆中最长的弦是直径圆中最长的弦是直径 D一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等（来自（来自典中点典中点）4知识点知识点同圆的半径相等同圆的半径相等知知4 4讲讲 (1)圆上各点到定点圆上各点到定点(圆心圆心O)的距离都等于定长的距离都等于定长(半径半径r)，即同圆的半径相等，
18、即同圆的半径相等 (2)到定点到定点O的距离等于定长的距离等于定长r的点都在同一个的点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上.（来自（来自点拨点拨）知知4 4讲讲例例4 如图所示，如图所示，BD，CE是是ABC的高求证：的高求证：E，B，C，D四点在同一个圆上四点在同一个圆上导引：导引：要证要证E，B，C，D四点在同一个四点在同一个 圆上，即需找出一个点，使这个圆上，即需找出一个点，使这个 点到点到E，B，C，D的距离相等，联想的距离相等，联想BC的中点的中点 F到到B，C的距离相等，因此连接的距离相等，因此连接DF，EF，需，需 证证DFEF
19、BC，利用直角三角形的性质，利用直角三角形的性质 易证易证（来自（来自点拨点拨）12知知4 4讲讲证明：证明：如图所示，取如图所示，取BC的中点的中点F，连接，连接DF，EF.BD，CE是是ABC的高，的高，BCD和和BCE都是直角三角形都是直角三角形 DF，EF分别为分别为RtBCD和和RtBCE斜边上斜边上 的中线，的中线，DFEF BCBFCF.E，B，C，D四点在以四点在以F点为圆心，点为圆心，BC为为 半径的圆上半径的圆上（来自（来自点拨点拨）1212知知4 4练练1已知，如图，已知，如图，OA，OB为为 O的半径，的半径，C，D分别分别 为为OA，OB的中点求证：的中点求证：ADB
20、C.（来自（来自点拨点拨）知知4 4练练2【中考中考毕节毕节】如图，点】如图，点A，B，C在在 O上，上，A 36，C28，则，则B()A100 B72 C64 D36（来自（来自典中点典中点）理解圆的定义要注意两层含义：理解圆的定义要注意两层含义：(1)圆上各点到圆心的距离都相等在圆所在的平圆上各点到圆心的距离都相等在圆所在的平 面内，到圆心距离等于半径的点必定在圆上；面内，到圆心距离等于半径的点必定在圆上；(2)当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一 周时，它的另一个端点的运动轨迹就是一个圆周时，它的另一个端点的运动轨迹就是一个圆1.必做必做:完成教材完成教材P147-P148练习练习T1-T2，P148-P149习题习题A组组T1-T2，B组组T1-T22.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
