1、自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 -传递函数传递函数1.传递函数的定义和性质2.传递函数的零点和极点3.典型环节的传递函数4.典型元部件的传递函数 微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量也大。也大。对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实
2、现系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。的。问题的提出：问题的提出：在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。改变或校正装置的加入对系统性能的影响。因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之间的关系，所以为简化分析
3、，设系统的初始动态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条件为零。条件为零。传递函数传递函数-系统的复数域数学模型系统的复数域数学模型 拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型控制系统在复数域中的数学模型传递函数。传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，传递函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究系统的结构或参数变化对系统且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。性能的影响。经典控制论中广泛应用的经典控制论中广泛应用的频率法和根轨频率法和根轨迹法迹法，就是以传递函数为基础的，就是以传递函数为基础的，传递函数传递函数
4、是经典控制理论中最基本和最重要的概念是经典控制理论中最基本和最重要的概念。1 1.传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 定义定义 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为定义为初始条件为零时零时,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记记为为G(S),G(S),即即:)()()(sRsCsG设线性定常系统的设线性定常系统的n n阶线性常微分方程为阶线性常微分方程为)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 设设
5、r(t)r(t)和和 c(t)c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在 t=0 t=0 时的值均为零时的值均为零,即即零初始零初始条件条件,对上式中各项分别求拉氏变换对上式中各项分别求拉氏变换,令令C(s)=Lc(t),C(s)=Lc(t),R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得，可得 s s 的代数方程为的代数方程为)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn式中式中mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(于是于是,由定义得系统的传递函数为由定义得系统的传递函数为)()()()()(11101110sNsMasa
6、sasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm ui(t)uo o(t)CRLi(t)例：例：试求试求 RLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数解解:该网络微分方程已求出该网络微分方程已求出,如式如式)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo 在零初始条件下在零初始条件下,对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换,令令 U0(s)=LU0(t),U i(s)=LUi(t)得得:)()()1(2sUsURCsLCsio由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得网络传递函数为11)()()(2RCsLCssUsUsGio 性质性质 传递函数是复变量传递函数是复变量 s
7、的有理真分式函数的有理真分式函数,具有复变函数的所有具有复变函数的所有 性质性质.有有mn且所有系数均为实数且所有系数均为实数.传递函数是一种用传递函数是一种用系统参数系统参数表示输出量与输入量之间关表示输出量与输入量之间关系的表达式系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数它只取决于系统或元件的结构和参数,而与而与输入输入量的形式无关量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息也不反映系统内部的任何信息.因此因此,可以用下可以用下图的方块图表示一个具有传递函数图的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统的线性系统.传递函数的图示传递函数的图示G(s)R(s)C(s)说明：传递函数是物理系统
8、的数学模型,但不能反应系统的物理性质，不同的物理系统可以有相同的传递函数；传递函数只适用于线性定常系统;传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条控制系统的零初始条件有两方面的含义件有两方面的含义:一是指输入量是在一是指输入量是在t0时才作用于系统时才作用于系统,因此在因此在t=0-时输时输入量及其各阶导数均为零入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于系统之前二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态系统处于稳定的工作状态,即输出量及其各阶导数在即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零时的值也为零.现实的工程控制现实的工程控制系统多属此类情况系统多
9、属此类情况.物理意义物理意义 (4)传递函数的建立传递函数的建立方法方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。）取输出与输入的拉氏变换之比。例1 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。(1)由KVL，得()()()iou tRi tu t()()odu ti tCdt又因为消去中间变量 i(t)()()()oiodu tu tRCu tdt标准化()()()ooidu tRCu t
10、u tdt解：()()()ooidu tRCu tu tdt(2)两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得()()()ooiRCsUsUsU s(3)取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比()1()()1oiUsG sU sRCs电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数(重要)运算(复)阻抗()()()()()()U su ti t RU sRI sRI s电阻()1()()()()()du tU si tCI sCsU sdtCsI s电容()()()()()()di tU su tLU sLsI sLsdtI s电感1()()()R sRC sL sLsC
11、s 例例2 对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：把图中各量用复阻抗表示解：把图中各量用复阻抗表示221222122221122111()111()()111()11oiRC sC sRC sC sC sUsU sRRC sC sC sRRC sC s21122112212()1()()()1oiUsG sU sRC R C sRCR CRC s根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式复阻抗复阻抗+分压定理分压定理课堂习题：78页：2-6,2-9（c）2.2.传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 传递函数的分子
12、多项式和分母多项式经传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后因式分解后,可写为如下形式可写为如下形式njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()(式中式中,-称为传递函数的称为传递函数的零点零点;),2,1(mizi-称为传递函数的称为传递函数的极点极点.),2,1(njpj系数系数K*=b0/a0称为传递系数或称为传递系数或根轨迹增益根轨迹增益.传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,也可以写为如下因子连乘积的形式也可以写为如下因子连乘积的形式)1()12)(1()1()12)(1
13、()(2222122221sTsTsTsTassssbsGjnim式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。3.3.典型环节的传递函数典型环节的传递函数4.4.典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数 为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元部件的数学模型及其特性。部件的数学模型及其特性。电位器电位器 电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置的装置.在控制系统中在控制系统中,单个电位器用作为信号变换装单个电位器用作为信号变换装置置,如图
14、如图(a)所示所示;一对电位器可组成误差检测器一对电位器可组成误差检测器,如如图图(b)所示所示.电位器及其特性电位器及其特性 空载时空载时,单个电位器的电刷角位移单个电位器的电刷角位移(t)与输出电压与输出电压u(t)的关系的关系曲线如图曲线如图(c)所示所示.图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差,理论分理论分析时可用析时可用直线近似直线近似.由图可得输出电压为由图可得输出电压为)()(1tKtu对上式求拉氏变换对上式求拉氏变换,可得电位器的传递函数为可得电位器的传递函数为1)()()(KssUsG上式表明上式表明,电位器的传递函数是一个常值电位器的传递函
15、数是一个常值,故称故称比例元件比例元件,可用图可用图(d)所示所示的方块图来表示的方块图来表示.用一对用一对相同相同的电位器组成误差检测器时的电位器组成误差检测器时,其输出电压为其输出电压为)()()()()()(121121tKttKtututu式中式中 K1 是单个电位器的传递系数是单个电位器的传递系数,是两个电位器电刷角位移是两个电位器电刷角位移之差之差,称称误差角误差角.)(t 在使用电位器时要注意在使用电位器时要注意负载效应负载效应，即指在电位器输出端接有负载即指在电位器输出端接有负载时所产生的影响。时所产生的影响。1)()()(KssUsG 测速发电机测速发电机 测速发电机是用于测
16、速发电机是用于测量角速度测量角速度并将它并将它转换成电压量转换成电压量的装置的装置.在在控制系统中常用的有直流和交流测速发电机控制系统中常用的有直流和交流测速发电机,如图所示如图所示.图图(a)是永磁式是永磁式直流测速发电机的原理线路图直流测速发电机的原理线路图,其输出电压与转子角速度的关系为其输出电压与转子角速度的关系为dttdKtKtutt)()()(图图 测速发电机示意图测速发电机示意图 式中式中 Kt 是测速发电机输出斜率是测速发电机输出斜率,表示单位角速度的输出电压表示单位角速度的输出电压.在在零初始条件下零初始条件下,对上式拉氏变换可得直流测速发电机的传递函数对上式拉氏变换可得直流
17、测速发电机的传递函数为为sKssUsGt)()()(或或tKssUsG)()()(分别用方块图表示如下分别用方块图表示如下:sKt U(s)(s Kt U(s)(s 测速发电机的方块图测速发电机的方块图 电枢控制直流伺服电动机电枢控制直流伺服电动机 直流伺服电动机在控制系统中广泛用作直流伺服电动机在控制系统中广泛用作执行机构执行机构,用来对被用来对被控对象的机械运动实现快速控制控对象的机械运动实现快速控制.根据例根据例2-9可用下列方块图表可用下列方块图表示三种情况下的直流伺服电动机示三种情况下的直流伺服电动机.(4)无源网络无源网络 为了改善控制系统的性能为了改善控制系统的性能,常在系统中引
18、入无源网络作为校正元件常在系统中引入无源网络作为校正元件.无源网络通常是由电阻、电容和电感组成无源网络通常是由电阻、电容和电感组成.求无源网络的传递函数求无源网络的传递函数,可用前述的方法可用前述的方法,即列写网络微分方程，进即列写网络微分方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用复数阻抗法复数阻抗法.用复数阻抗法表示用复数阻抗法表示电阻电阻时仍为时仍为 R，电容的复数阻抗为电容的复数阻抗为 1/Cs，电感的复数阻抗为电感的复数阻抗为 Ls.。图图2-1的的RLC无源网络用复数无源网络用复数阻抗表示后的电路如图阻抗表示后的电路如图2-10所示所示.图中图中Z1=R+Ls,Z2=1/Cs.由图可直由图可直接写出电路的传递函数为接写出电路的传递函数为Z1Z2uiuo 复阻抗表示的复阻抗表示的RLC电路电路作业：P78 2-7，2-8，2-9(a)此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
