1、1人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线角平分线的性质（的性质（1）ADBCEADCB1 人教版八年级数学(上)1 1.3.1 角平分线的性质（1）A D2 不利用工具，请你将一张用不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？有什么办法？AOBC活活 动动 1（对 折对 折）2 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成31、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平
2、分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动 2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？3 1、如图，是一个角平分仪，其中A B=A D,B C=D C。活动4p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE4 2、证明：A D B C E5 根据角平分仪的制作原理怎样
3、作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCE活活 动动 3NOMCENM5 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的6分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 6 分别以，为圆心大于 的长为半径作71 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把
4、它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动 4ABOCD7 1 平分平角A O B 活动4 A B O C D 实践应用(1)8探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得
5、出什么结论？活活 动动 5 (2)(2)猜想猜想:角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等.8 探究角平分线的性质 (1)实验：将A O9证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，
6、OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动 5(3)验证验证猜想猜想9 证明：O C 平分 A O B （已知）P A O B C E D 1 2 已知10(4)得到得到角角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动 5 利用此性质利用此性质怎样书写推理过怎样书写推理过程程?1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12用数学语言表述：1 0
7、 角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性11OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任上任意一点意一点,问问PE=PD?为什为什么么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直1 1 O A B E D 思考：如图所示O C 是A O B 的平分线,P 是12思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处
8、？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路1 2 思考：公路铁路13 如 图：在 如 图：在 A B C 中，中，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们 所 在 的 两 个 三 角 形 全 等们 所 在 的 两 个 三 角 形 全 等,即即 R t C D F RtEDB.现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性因为角的平分线
9、的性质质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！1 3 活动6 如图：在A B C 中，C=9 0 A14一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应再应用用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？本节课学习了那些知识？1 4 小结与作业一、过程小结：二、知识小结：151 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表注意作图痕迹和几何语言的表达达)及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的
10、两边的距离距离相等相等 3：角平分线的性质的应用：角平分线的性质的应用1 5 1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表16回味无穷w 定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等.w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,w P P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).).w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.小结 拓展OCB1A2PDE1 6 回味无穷定
11、理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.小结17BOACDPE1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，PD=PEPDOA，PEOB1 7 随堂练习B O A C D P E 1.如图，O C 是A O B 的平分线182.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA1 8 2.如图,在A B C 中，A C B C，A D 为B A C 的平分193.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E，则：，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA1 9 动脑筋3.在R t A B C 中，B D 平分A B C，20再再 见见2 0 再 见
