1、引理引理1 1 设设A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数12nxxx 证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0.A ,AAAA 其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，iixx12,nxxx 令令0 ()A ()A 又由又由A实对称，有实对称，有0()AA()A 0()()A ()A 0()0 12120nnx xx xx x 由于是非零复向量，必有由于是非零复向量，必有 故故 00.0.R 考察等式，考察等式，00 引理引理2 2 设设A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上nR(
2、),nARA定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下：A (),(),AA则对任意有则对任意有,nR 或或()().AA 1210001,.,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA A证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，nR则在基则在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即A12,.,n 任取任取1122,nnnxyxyRxy1 122.nnyyy1 122.nnxxx即即 (),()AX Y A()XAY 12(,.,),nX 12(,.,),nY 于是于是1212()(,.,)(,.,),nnXAX AA1212()(,.,)(,.,),nnYAY AA又又 是标准正交基
3、，是标准正交基，12,.,n X AY ()X A Y ,()A ,()A().A 即有即有 (),()A A (),A又注意到在又注意到在 中中 ,XYnR1 1定义定义 (),(),V AA则称为则称为对称变换对称变换A设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 A1）n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的：2 2基本性质基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换 一组标准正交基一组标准正交基11(,.)(,.)nnA A事实上，设事实上，设,n n
4、ARAA 12,.,n 为为V的的定义定义V的线性变换：的线性变换：A则即为则即为V的对称变换的对称变换A 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵()n nijAaR 12,n 为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，事实上，设为事实上，设为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换，A为为在这组基下的矩阵，即在这组基下的矩阵，即A1212(,)(,)nnA A或或1122()iiininaaaA1,1,2,nkikkain 于是于是 1(),nijkikjka A1(,)nkikjka (,)jijja jia 1,(),nijikjkka
5、 A1(,)nkjikka (,)ijiia ija,1,2,ijjii jn即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 (),()ijij AAA2）（）（引理引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 ,W ,W 任取任取即即(),W A().W A证明：设是对称变换，证明：设是对称变换，W为的不变子空间为的不变子空间 AA要证要证(),W A即证即证().W A(),W A由由W是是 子空间，有子空间，有 A (),()0AA因此因此故故 也为的不变子空间也为的不变子空间W A1 1(引理引理4 4)
6、实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量,则则(),AA是正交的是正交的 正交基下的矩阵，正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准上对称变换的在标准nRA,是是A的两个不同特征值的两个不同特征值，(),AA由由 (),()AA又又,(,)0 即即 正交正交,(定理定理7 7)对对 总有正交矩阵总有正交矩阵T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag (,)(,),有有(,)(,).即即证：设证：设A为为 上对称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵nR
7、A由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可An=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即1 1 1111(),|1 A假设假设n1时结论成立，对时结论成立，对 设其上的对称变换设其上的对称变换A,nR设子空间设子空间1(),LW 显然显然W是是 子空间，子空间，A,dim1nWWRWn (),(),W AA则则 也是也是 子空间，且子空间，且 W A又对有又对有,W
8、 ,()A ,()W A所以是所以是 上的对称变换上的对称变换WW A由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W A23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W 从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向量nR即结论成立即结论成立3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设,n nARAA (i)求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足 ;12,rn nn1riinn (ii)对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 i()0
9、iEA X 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：12,iiin它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i iV 正交基正交基12,.iiin把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV(iii)因为因为 互不相同，互不相同，12,.r 且且1dim,iriWn 11112112,rnrrrn就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基()ijVVij所以所以则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且11112112,rnrrrn将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形1T
10、 ATTAT 例例1设设 0111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形T AT 解：先求解：先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 211 1101011 3(1)(3)A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,11 23.2011 101010011111 31 11(1)1 010 11 其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组11 ()0EA X111 11 1111 111111 1EA得其基础解得其基础解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)111 10 00 00
11、00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0)2122111(,)11(,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再单位化，得再单位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，11 也即是特征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基1V 再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组23 311 1131131 1311113EA1
12、111022002200202 30EA X444413111 13111131 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基础解得其基础解 4(1,1,1,1),再单位化得再单位化得 4111 1(,)222 2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234,4R都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 1234111122612111122612(,)211026123100212T 使得使得 11.13T AT 成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使，使12(,)nT ATdiag 而且对于
13、正交矩阵而且对于正交矩阵T,还可进一步要求还可进一步要求1.T 事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T12(,),1nT ATdiagT 取正交矩阵取正交矩阵(1,1,1),Sdiag则则 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S12111111n 12(,)ndiag 如果不计较主对角线上元素的如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与排列的次序，与实对称矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的
14、矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n(i)A为正定的为正定的0n(ii)A为半正定的为半正定的0n(iii)A为负定（半负定）的为负定（半负定）的 110(0)(iv)A为不定的为不定的10 且且 0n 实对称矩阵实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）特征值的个数（重根按重数计）n秩秩(A)是是0作为作为A的特征值的重数的特征值的重数.1解析几何中主轴问题解析几何中主轴问题将将 上有心上有心 二次曲线或
15、二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标2R3R的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.2任意任意n元实二次型的正交线性替换化标准形元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换正交线性替换如果线性替换如果线性替换X=CY的矩阵的矩阵C是正交矩阵，则称之为是正交矩阵，则称之为正交线性替换正交线性替换.1211(,),nnnijijijjiijf x xxx xi j2）任一任一n元实二次型元实二次型 都可以通过正交的线性替换都可以通过正交的线性替换 变成平方和变成平方和 XCY 221122.nnnyyy其中平方项的系数其中平方项
16、的系数 为为A的全部特征值的全部特征值12,n 例例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 222112233121323222a xa ya za xya xza yz1232220b xb yb zd（1）20.X AXB Xd（2）则（则（1）式可以写成）式可以写成 令令 111213121222323313233,aaabxAaaaBbXyzbaaa 对（对（2）中的）中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且（且 ）3 3AAR 1C 确定的坐标变换公式确定的坐标变换公式 111213121222311313233cccxxycccyzzccc 123(
17、,),C ACdiag 曲面（曲面（1）的方程化成）的方程化成 这样由（这样由（2）知道经过由）知道经过由 的坐标轴旋转，的坐标轴旋转，1XCX 222*11213 11121312220 xyzb xb yb zd或或1XCX 其中其中 *123123,bbbb b bC 这时，再按这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的是否为零，作适当的坐标轴的123,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程如当如当全不为零时，作平移全不为零时，作平移 123,*1121*2122*3123bxxbyybzz 曲面方程（曲面方程（1）可以化为）可以化为 222*12223 20,xyzd*312123.bbbdd其中其中
