1、第七章应力和应变分析 强度理论7.1 概述 前面,在研究轴向拉伸(或压缩)、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题时已经知道,这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应力,并建立了相应的强度条件:maxmax,式中,工作应力max或max由相关的应力公式计算;材料的许用应力或应用直接试验的方法(如拉伸试验或扭转试验),测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得,没有也毋须考虑材料失效(断裂或屈服)的原因。7.1 概述 由构件的应力分析可知,在受力构件的同一截面上,各点处的应力一般是不同的。而通过受力构件内的同一点处,不同方位截面上的应力一般也是不同的。2cossin22Fkkp x拉压杆斜截面上应
2、力:bfehxsin2cos2 受扭圆杆斜截面上应力:P铸铁压缩铸铁压缩低碳钢低碳钢铸铁铸铁7.1 概述 在一般情况下,受力构件内的一点处既有正应力,又有切应力(如对称弯曲中,构件横截面上距中性轴为某一距离的任一点处)。若需对这类点的应力进行强度计算,则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件,而需综合考虑正应力和切应力的影响。事实上,构件在拉压、扭转、弯曲等基本变形情况下,并不都是沿构件的横截面破坏的。例如,在拉伸试验中,低碳钢屈服时在与试件轴线成45的方向出现滑移线;铸铁压缩时,试件却沿着与轴线成接近45的斜截面破坏。这表明杆件的破坏还与斜截面上的应力有关。7.1 概述 一方面要研究通过该点
3、各不同方位截面上应力的变化规律,从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。也就是说,需研究受力构件内一点处的应力状态。另一方面,由于该点处的应力状态较为复杂,而应力的组合形式又有无限多的可能性,因此,就不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。为了研究受力构件内某一点处的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。由于单元体的边长为无穷小量，故可以认为单元体各个面上的应力均匀分布，且任意一对平行平面上的应力大小、性质完全相同。当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过
4、该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。AAAAPA 截取单元体的原则是：三对平行平面上的应力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构件在各种基本变形时横截面上的应力分布及计算前面已学过，故单元体的三对平行平面中通常总有一对平行平面是构件的横截面。应力的标注及正负：应力的标注及正负：负；拉应力为正；压应力为方向的面上的正应力。：表示外法线方向为 xx xx表示与x轴垂直的面上的剪应力。其有xy和xz之分。本书中的x实际上是指xy。主单元体、主平面、主应力：、主单元体(Principal Element)：各侧面上剪应力均为零的单元体。、主平面(Principal Plane)：剪应力
5、为零的截面。、主应力(Principal Stress）：主平面上的正应力。、主应力排列规定：按代数值大小，321 、三向应力状态（Three-Dimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。、二向应力状态（Plane State of Stress）：两个主应力不为零的应力状态。、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。xB xz zxA x x7.1 概述等价等价0000 xyyxzxzyz，单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般应力分量为零的面的外法线为Z。这时有：平面应力状态的立
6、体图平面应力状态的平面图xy x xy yo7.1 概述下图所示承受内压的薄壁容器，试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式。解：1、容器的横截面的正应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程42DpDm4pDm7.2 二向和三向应力状态的实例2、环向应力：Dlplt22pDt用纵截面将容器截开，取长为 的一段进行研究,受力如图c所示l若单元体有一对平面上的应力等于零,即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内,则称为平面应力状态。平面应力状态的普遍形式如图所示,即在其他两对平面上分别有正应力和切应力(x,x和y,y)。abxdxyyxyxyyxcxyyyyyxxxxabcd7.
7、3 二向应力状态分析-解析法设一平面应力状态如图所示。为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力,可应用截面法。7.3.1 斜截面上的应力xyyyyyxxxxabcdefn设斜截面ef的外法线n与x轴间的夹角为,简称为截面,并规定从x轴到外法线n逆时针转向的方位角为正值。截面上的应力分量用和表示。对正应力,规定以拉应力为正,压应力为负;对切应力,则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正,反之为负。这与以前对正应力和切应力的正负号规定是一致的。7.3 二向应力状态分析yyxxbef假想地沿斜截面ef将单元体截分为二,留下左边部分的体元ebf作为研究对象。设斜截面ef的面积为dA,斜截
8、面上的应力和均为正值。考虑作用在体元各面上力的平衡,对于斜截面的法线n参考轴列出的平衡方程为0,d(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0NxxyyFAAAAA7.3 二向应力状态分析-解析法d(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0 xxyyAAAAA221 cos21 cos2cos,sin,2sincossin222由切应力互等定理,xy,则上式可简化为 22cossin2sincosxyx又由三角关系:将其代入前式,可得 cos2sin222xyxyx7.3 二向应力状态分析-解析法0,d(dcos)sin(dcos)
9、cos(dsin)cos(dsin)sin0TxyyFAAAAA对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为由切应力互等定理,xy,则上式可简化为 22()sincos(cossin)xy由三角关系化简得 sin2cos22xyx7.3 二向应力状态分析-解析法sin2cos22xyxcos2sin222xyxyx利用这两个公式,就可以从单元体上的已知应力x、y、x和y,求得任意斜截面上的正应力a和切应力a。并且由此两式出发,还可求得单元体的极值正应力和极值切应力。所以,这两个方程也称为应力转换方程。7.3 二向应力状态分析-解析法sin2cos22xyxcos2sin222xyxyx求正应力的极值令
10、:d2sin2cos2 0d2xyx 比较可知,极值正应力所在的平面,就是切应力为零的平面。这个切应力等于零的平面,叫做主平面,主平面上的正应力,叫做主应力。也就是说,在通过某点的各个平面上,其中的最大正应力和最小正应力就是该点处的主应力。以0表示主平面的法线n与x轴间的夹角,由上式可得 02tan2xxy以0和0+90确定两个互相垂直的平面,这表明,两个主平面是相互垂直的;同样,两个主应力也必相互垂直。在一个主平面上的主应力为最大正应力max;另一个主平面上的主应力则为最小正应力min。02tan2xxy00+90两主平面上的最大正应力和最小正应力为:2max2min22xyxyx当xy时,
11、由上式直接求出的0角对应最大正应力max的方向;若xy,则0对应最小正应力min的方向。02tan2xxy2max2min22xyxyx从一点处以不同方位截取的诸单元体中,有一个特殊的单元体,在这个单元体侧面上只有正应力而无切应力。这样的单元体称为该点处的主单元体。主单元体的侧面称为主平面(通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的主平面)。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向叫主方向,即主应力的方向。7.3 二向应力状态分析-解析法一点处切应力等于零的截面称为主平面,主平面上的正应力称为主应力。主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值。可以证明,一点处必定存在这样一个
12、单元体,其三个相互垂直的面均为主平面。三个相互垂直的主应力分别记为1,2和3且规定按代数值大小的顺序排列,即123。在平面应力状态中有一个主应力为零。暂假设其他两个主应力均大于零,故记为1和2,即三个主应力按代数值大小的顺序排列。若求得的两个主应力一为拉应力而另一为压应力,则前者应为1而后者为3,另一主应力20。同理,若求得的两主应力都是压应力,则它们应分别为2和3,而10。7.3 二向应力状态分析-解析法例:图示矩形截面简支梁,试分析任一横截m-m上各点的主应力,并进一步分析全梁的情况。解:1.截面上各点主应力xyqq(x)Oabcdemm在截面m-m上,各点处的弯曲正应力与切应力可分别按第
13、四章的公式计算。在截面上、下边缘的a和e点处于单向应力状态;中性轴上的c点处于纯剪切状态;而在其间的b和d点则同时承受弯曲正应力和弯曲切应力。mmmax22min()22xyxyx02tan2xxy 可知,梁内任一点处的主应力及其方位角可由下式确定:221223201(4)021(4)0202tan2(a)(b)式(a)和(b)表明,在梁内任一点处的两个主应力中,其一必为拉应力,而另一则必为压应力。2.主应力迹线mm根据梁内各点处的主应力方向,可在梁的xy平面内绘制两组曲线。在一组曲线上,各点的切向即该点的主拉应力方向;在另一组曲线上,各点的切向则为该点的主压应力方向。由于各点处的主拉应力与主
14、压应力相互垂直,所以,上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的主应力迹线。F0.5F0.5F跨度中点受力简支梁的主应力迹线如图所示。图中,实线代表主拉应力迹线,虚线代表主压应力迹线。在梁的轴线上,所有迹线与梁轴x均成 45夹角;而在梁的上、下边缘,由于该处弯曲切应力为零,因而主应力迹线与边缘相切或垂直。例:简支梁如图所示。已知m-n截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa,=50MPa。确定A点的主应力及主平面的方位。mnAAABq解:70,0,50 xyx 2max2min22xyxyx227070502226 MPa-96 MPa12226 MPa,0,-96 MPaA70,0,
15、50 xyx 02tan2xxy2 501.429(70)0 027.562.5因为xy,所以0-62.5对应max的方向。1x62.5y312226 MPa,0,-96 MPa例:图示单元体,已知 x-40 MPa,y60 MPa,x-50 MPa。试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。xyxy30nefx-40MPa,y60MPa,x-50MPa。-300(1)求ef截面上的应力58.3MPa30sin2cos22xyx30cos2sin222xyxyx40604060cos(60)(50)sin(60)22 18.3MPaxyxy30nef(2)求主应力和主单元体的方位022
16、(50)tan214060 xxy 因为xy,所以067.5对应于1x-40MPa,y60MPa,x-50MPa。-3000452135 022.567.5 2max2min80.7 MPa60.7 MPa22xyxyx180.7 MPa20360.7 MPa 例 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体C C求极值应力0yxxtTWmax22min22xyxyx（）3210C x y x y破坏分析低碳钢低碳钢002tan245xxy 2max2min2xyx 11tan2002xyx（剪坏）（拉坏）铸铁铸铁由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元体上的应力x,x和y,y(-
17、x)时,任一截面上的应力和均以2为参变量。从上两式中消去参变量2后,即得222222xyxyx由上式可见,当斜截面随方位角变化时,其上的应力,在直角坐标系内的轨迹是一个圆,其圆心位于横坐标轴(轴)上,该圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔(O.Mohr)应力圆。7.4 二向应力状态分析-图解法222222xyxyx2xy22()2xyxO应力圆圆心位于横坐标轴上。横坐标为2xy半径为22()2xyxC7.4 二向应力状态分析-图解法应力圆作法yyyyxxxxabcd在-坐标系内,选定比例尺;O量取OB1x,已知应力x,x和y,y(-x);xB1B1D1x得D1点;量取OB2y,B2D2y得D2点;y
18、B2连接D1D2两点的直线与 轴相交于C点,以C为圆心,CD1 或CD2为半径作圆;CyD2D1xyyyyxxxxabcd该圆的圆心C点到坐标原点的距离为OxB1D1xyyD2B2C2xyOC22()2xyx半径为该圆就是对应于该单元体应力状态的应力圆。D1点的坐标为(x,x),因而D1点代表单元体x平面(即横截面)上的应力。利用应力圆求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD1按方位角的转向转动2,得到半径CE。圆周上E点的 坐标就依次为斜截面上的正应力,切应力。E2OxB1D1xyyD2B2CE点的横坐标为OFOCCF0cos(22)OCCE00cos2cos2sin2sin2OCCEC
19、E1()2xyOC010cos2cos21()2xyCECD010sin2sin2xCECDFOxB1D1xyyD2B2CE22000cos2cos2sin2sin2cos2sin222xyxyxOFOCCECE0011(),cos2(),sin222xyxyxOCCECE同样可证E点的纵坐标为sin2cos22xyxEFFOxB1D1xyyD2B2CE220应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标;OxB1D1(x,x)xyyD2(y,y)B2CE2xyyyyyxxxxabcden单元体上任意A,B两个面的外法线之间的夹角若为b,则在应力圆
20、上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2b,且两者的转向一致。从应力圆上可见,A1和A2两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy平面各截面上正应力中的最大值和最小值,在这两个截面上的切应力(即A1,A2两点的纵坐标)均等于零。OxB1D1xyyD2B2C2A21A17.4 二向应力状态分析-图解法在图示的应力圆上,A1和A2两点的纵坐标均等于零,而横坐标分别为主应力1和2。由图可见,A1和A2两点的横坐标分别为11OAOCCA21OAOCCA式中,为应力圆圆心的横坐标,为应力圆半径。于是,可得两主应力值为OC1CAOxB1D1xyyD2B2C2A21A122111()()422xy
21、xyx22211()()422xyxyxOxB1D1xyyD2B2C2A21A1由于圆上D1点和A1点分别对应于单元体上的x平面和1主平面,D1CA1为上述两平面间夹角0的两倍,所以单元体上从x平面转到1主平面的转角为顺时针转向,按规定应为负值。因此,由应力圆可得从而解得0tan(2)1()2xxy从而解得表示主应力1所在主平面位置的方位角为022arctan()xxy由于A1A2为应力圆的直径,因而2主平面与1主平面相垂直。OxB1D1xyyD2B2C2A21A120确定主平面方位由CD1顺时针转20到CA1。所以单元体上从x轴顺时针转0(负值)即到1对应的主平面的外法线。0确定后,1对应的
22、主平面方位即确定。yyyyxxxxabcdx01122例:从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x-1MPa,y-0.4 MPa,x-0.2 MPa,y0.2 MPa,绘出相应的应力圆并确定此单元体在30和-40两斜面上的应力。yyyyxxxxx-1,y-0.4,x-0.2,y0.2yyyyxxxx解:(1)画应力圆OB1x-1MPa,B1D1x-0.2MPa,定出D1点;以D1D2为直径绘出的圆即为应力圆。OB2y-0.4MPa,B2D2y0.2MPa,定出D2点;OB2B1CD1D2(-0.4,0.2)(-1,-0.2)OB2B1CD1D2(-0.4,0.2)(-1,-0.2)将半径CD1
23、逆时针转动260到半径CE,E点的坐标就代表=30斜截面上的应力。(2)确定=30斜截面上的应力E601 x20.x40.y20.y3030300.68 MPa 300.36 MPa OB2B1CD1D2(-0.4,0.2)(-1,-0.2)将半径CD1顺时针转动2-80到半径CF,F点的坐标就代表=-40斜截面上的应力。(3)确定=-40斜截面上的应力F-801 x20.x40.y20.y4040400.95 MPa 400.26 MPaxy300.68 MPa 300.36 MPa 400.95 MPa 400.26 MPa-4030例:两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺
24、寸示于图中。试绘出截面C上a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力。1.6 m2 mAB250 kNC解:首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图1.6 m2 mAB250 kNCFS图200 kN50 kNM图80 kNm200 kN50 kNMmax=MC=80 kNmFS max=FS C左 =200 kN*S,zzzF SMyII d3346120 300111 2701212mm88 10zI*3120 15(1507.5)256 000 mmzaS135 mmay*S,zzzF SMyII d46mm88 10zI 3*256 000 mmzaS135 mmay 横截面
25、C上a点的应力为122.5 MPaCaazMyI*S64.6 MPazazaF SI dFS max=200 kN,MC=80 kNm122.5 MPa64.6 MPa064.6 MPaxxyy yyxxxx绘出a点处单元体。以D1D2为直径作应力圆。OB1CD2(0,-64.6)D1(122.5,64.6)由y,y定出D2点由x,x定出D1点OB1CD2(0,-64.6)D1(122.5,64.6)A113A1,A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1和3。A222111()150.4 MPa22xxxOAOCCA22322()27.7 MPa22xxxOAOCCA A1点对应于单元体上1
26、所在的主平面。022arctan()64.6arctan()46.461.35xxy 20023.2 1150.4 MPa327.7 MPa 023.2 64.6 64.6 122.5 122.5 64.6 64.6 327.7 MPa1150.4 MPax23.2y150 mmby 0b6680 0000.1588 10134.6 10 Pa=134.6 MPaCbbzMyIb点的单元体如图所示。134.6 134.6 xyOD1(134.6,0)D2(0,0)123134.6 MPa,0MC=80 kNm1yyxx180.7 MPa20360.7 MPa 022.567.5 367.51x
27、-40MPa,y60MPa,x-50MPa。-300 x画出下面单元体的应力圆，并写出主应力及主平面夹角（轴与大的主应力方向夹角）。)(a)(b )(c1)(d000321、31)(e200321、)(f点圆）、(2000321例 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150322tanMPa952cos2sin20yxxyxxyyx，得：由解法1解析法：分析建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?xMPa201202222minmaxxyyxyx）（MPa325MPa9560600MPa20MPa120321 300)(max0，xyx4532532595150 xyo60 1 2 0045325325951502020o(MPa)(MPa)CAB解法：、建立应力坐标系如图)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点、AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆AB4532532595150AB 1 2 0、主应力及主平面如图0MPa20MPa120321 300 o(MPa)(MPa)2020AB 3 3C2 0 2 2 1 1
