1、1CH 6 傅里叶积分变换 1 1、傅立叶积分傅立叶积分 3 3、傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅立叶变换傅立叶变换 2 2、4 4、卷积及、卷积及傅立叶变换的应傅立叶变换的应用用2 2009,Henan Polytechnic University2第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录 6.1 6.1 傅立叶（傅立叶（Fourier）积分）积分&1.1.主值意义下的反常积分主值意义下的反常积分&2.2.FourierFourier积分公式积分公式3 2009,Henan Polytechnic University3第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录1.主值意义下
2、的反常积分主值意义下的反常积分)(tf RRRdttf)(lim),()(tf定义定义1 1 设函数设函数 在实轴的任何有限区间上在实轴的任何有限区间上都可积都可积.若极限若极限 存在存在,则称在主则称在主值意义下值意义下 在区间在区间 上的反常积分上的反常积分收敛收敛,记为：记为：RRRdttfdttfVP)()(.lim4 2009,Henan Polytechnic University4第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录A由定义由定义(1)(1)函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛，函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛，在主值意义下收敛，在普通意义下未必收敛；在主
3、值意义下收敛，在普通意义下未必收敛；.)()()(),()()()()3(dttvidttudttftivtutftf则则，即即可可以以为为实实变变量量复复值值函函数数函函数数(2)若函数为偶函数则意义一致；若函数为偶函数则意义一致；5 2009,Henan Polytechnic University5第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例1).0,()(为为实实常常数数计计算算wdteItiw 解解:.20)1(2 2 2)(0)(0)(limlimiwReiwdtedteItiwRRtiwRtiw 6 2009,Henan Polytechnic University6第六
4、章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录2.Fourier积分公式积分公式)2(1l周周期期为为周周期期函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数）.)sin()(1 ,)cos()(1 )sincos(2)(10 dlnflbdlnflaxlnbxlnaaxfllnllnnnn 其其中中：.2in ,2cossincos:ieexlnseexlnxixexlnixlnixlnixlniix 由由欧欧拉拉公公式式7 2009,Henan Polytechnic University7第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录.2)(1 ,2)(1 )22(2)(10 dieeflbdeefla
5、ieebeeaaxflllnilninlllnilninnxlnixlninxlnixlnin 其中：其中：.)sin()(1 ,)cos()(1 )sincos(2)(10 dlnflbdlnflaxlnbxlnaaxfllnllnnnn 其其中中：8 2009,Henan Polytechnic University8第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录将系数代入得：将系数代入得：设设,lnwn ）1022)(122)(1(2)(nxiwxiwiwiwllxiwxiwiwiwllieedieefleedeeflaxfnnnnnnnn 里里叶叶级级数数：整整理理后后得得复复数数形
6、形式式的的傅傅.2,1,0,1,2)(21)()(-）（其其中中：ndeflcecxfnniwllnnxiwn 9 2009,Henan Polytechnic University9第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录数数非非周周期期函函数数的的傅傅里里叶叶级级 )20 lnllw 则则非周期非周期周期周期dwedefwedefedeflecxfiwxiwwwnnxiwiwwwlnxiwiwlllnxiwnlnnnnnnnn )(21 )(21(lim )(21(lim)(lim)(-01-10 2009,Henan Polytechnic University10第六章傅里叶积
7、分变换第六章傅里叶积分变换课程目录定义定义2 2：.)(21)(,)(21)(,)()(为傅里叶积分公式为傅里叶积分公式即称即称则则若设：若设：dwedxexftfdwewFtfdtetfwFiwtiwxiwtiwt 构构：傅傅里里叶叶积积分分公公式式三三角角结结.)(cos)(1)(0dwdxxtwxftf .)(sin)(2)(cos)(21 )(21)(21)()(dwdxxtwxfidwdxxtwxfdwdxexfdwedxexftfxtiwiwtiwx 的的偶偶函函数数关关于于w的的奇奇函函数数关关于于w11 2009,Henan Polytechnic University11第六
8、章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录定理定理1 1（傅里叶积分定理）：（傅里叶积分定理）：满足如下两个条件：满足如下两个条件：若函数若函数)(tf限限个个极极值值点点；类类间间断断点点，且且至至多多有有有有上上连连续续或或有有有有限限个个第第一一在在即即条条件件上上满满足足狄狄利利克克雷雷在在实实轴轴的的任任何何有有限限区区间间,)(,)(,)()batfDirichletbatfi.,)()的反常积分收敛的反常积分收敛在区间在区间tfii.)()(,)(21)0()0(21)(dtetfwFdwewFtftftfiwtiwt 其其中中且且的的傅傅里里叶叶变变换换存存在在，则则函函数数
9、 12 2009,Henan Polytechnic University12第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例1.求下列函数的傅里叶积分表达式求下列函数的傅里叶积分表达式.)1(0)1(1)(tttf解：解：)1.(cossin2sin11112121)(21011tdwtwdewwdeeiwdedtededxexfiwtiwtiwtiwtiwtiwtiwx)(tf.212)0()0()(1tftftft，13 2009,Henan Polytechnic University13第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录 6.2 6.2 傅立叶（傅立叶（Fourie
10、r）积分变换）积分变换&1.1.傅里叶积分变换的概念傅里叶积分变换的概念&2.2.单位脉冲函数单位脉冲函数14 2009,Henan Polytechnic University14第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录定义：定义：1.Fourier积分变换及逆变换积分变换及逆变换)(tf记记作作：1)(wF若函数为奇函数或偶函数若函数为奇函数或偶函数时，积分式可改为特殊三时，积分式可改为特殊三角结构角结构)(wF )(tf;)()()(变换变换的傅里叶的傅里叶为为Fouriertfdtetfiwt )(tf )(1-wF;)()()(21逆逆变变换换的的傅傅里里叶叶为为Fourie
11、rwFdwewFiwt 频谱函数15 2009,Henan Polytechnic University15第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例1.求下列函数的傅里叶变换求下列函数的傅里叶变换.);0()0(0)0()()1ttetft.)1(0)1(1)()2tttg解：解：.sin2111)(11wweiwdtedtetgiwtiwtiwt )(tg)2;10)1()(0)(0)(limlimiwReiwdtedtetiwRRtiwRtiw )(tf)116 2009,Henan Polytechnic University16第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目
12、录例例2.求下列函数的傅里叶变换及逆变换求下列函数的傅里叶变换及逆变换.)2(0)2()(ttEtf解：解：;2sin222 wwEdteEiwt )(wF )(tfdtetfiwt )(17 2009,Henan Polytechnic University17第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录 .2 0,2 2,2 cos2sin2 2sin221)0()0(210 ttEtEwtdwwwEdwewwEtftfiwt由傅里叶积分定理：由傅里叶积分定理：.2sin0120 dwwwtE时时，当当18 2009,Henan Polytechnic University18第六章傅
13、里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习：练习：求下列函数的傅里叶变换求下列函数的傅里叶变换.).0(0),0(2sin)(tttetft解：解：;)2(11)2(11210)211211(21 21 2)21()21(0)21()21(022)1(limlim wiwiiReiwieiwiidteeidtieeetiwitiwiRRtiwitiwiRitittiw )(tf19 2009,Henan Polytechnic University19第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录2.2.函数的概念函数的概念 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数除了用
14、到指数衰减函数外外,还常常会碰到还常常会碰到单位脉冲函数单位脉冲函数.因为在许多物理因为在许多物理现象中现象中,除了有连续分布的物理量外除了有连续分布的物理量外,还会有集中还会有集中在一点的量（点源）在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量或者具有脉冲性质的量.例例如如瞬间作用的冲击力瞬间作用的冲击力,电脉冲电脉冲等等.在电学中在电学中,我们我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生研究这类问题就会产生我们
15、要介绍的脉冲函数我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数有了这种函数,对于许多对于许多集中在一点或一瞬间的量集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样就能够像处理连续分布的量那样,用统一用统一的方式来加以解决的方式来加以解决.20 2009,Henan Polytechnic University20第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录1 1）引例）引例 0).(10),(0)(tttq.1)(,).0(),0(0)()(lim)()(-0
16、dttIttttqttqtqtIt且且而而 在原本电流为零的电路中，在时间在原本电流为零的电路中，在时间t=0 时刻进入一单位时刻进入一单位电量的脉冲，现在需要确定电流电量的脉冲，现在需要确定电流)(tI21 2009,Henan Polytechnic University21第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录定义：定义：）函数定义（工程中常用函数定义（工程中常用 .1)()(;).0(),0(0)()(-dttiittti 函函数数 满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（）函函数数定定义义时时刻刻 0tt .1)()(;).(),(0)(
17、)(-0000 dtttiitttttti 其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为无限大，面积为1的脉冲的脉冲1t0()tto0t22 2009,Henan Polytechnic University22第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录频率频率振幅振幅定理：定理：)(型型序序列列的的充充分分条条件件构构成成 函函数数列列的的该该趋趋向向下下，则则在在）（的的某某种种趋趋向向下下，函函数数若若在在参参数数可可积积，且且满满足足在在实实轴轴的的任任何何有有限限区区间间设设普普通通函函数数 0,1)()(-dttftf).()
18、()0)()(1()(1)(ttftftf 即即：型型序序列列，构构成成一一个个23 2009,Henan Polytechnic University23第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录型型序序列列几几个个常常用用 .0)0(1)1(1)(.0)10(1)()1其其它它，则则令令其其它它，ttftfttf.)()1(1)(,1)(,)1(1)()2(22-2 wwfwdttfttfR 构构造造：显显然然).()(lim 00tt 型序列，即型序列，即时为时为当当 11).()(lim 00wwR 即即型序列，型序列，时为时为当当24 2009,Henan Polytechni
19、c University24第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录.)cos(21sin)()(,sin,sin)()3(-RRIRdwwttRtRtRftdttttttf 构造：构造：因为因为 RRiwtdwe 21.2)1(1)(,2,2)()4(22222-22 wGttewfwdteetf 构构造造：因因为为).()(lim ttRIRR 型序列，即型序列，即时为时为当当).()(lim 00wwG 型序列，即型序列，即时为时为当当25 2009,Henan Polytechnic University25第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录函数的积分 .3).)
20、()()(lim)()(-00-0处处处处无无穷穷次次可可微微，定定义义：tfdttfttdttftt ).()10)(lim)(1lim )()(lim)()(0000-00-000tftfdttfdttfttdttftttt 性性质质：00 t筛筛选选性性质质积分中值积分中值定理定理26 2009,Henan Polytechnic University26第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录性性质函数的傅里叶变换和线 .4函函数数的的傅傅里里叶叶变变换换 ).1 )(t；1)(0 iwiwtedtet )(0tt ；0)(0iwtiwtedtett 11-).(21tdwei
21、wt 1);(2wdteiwt )(21w .1)(dwewiwt 01-iwte).(210)(0ttdwettiw )(2limtdweRRiwtR 27 2009,Henan Polytechnic University27第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录)(t 1)(0tt 0iwte)(2w 1)(20ww tiwe0 由此得：由此得：28 2009,Henan Polytechnic University28第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录傅傅里里叶叶变变换换的的线线性性性性质质).2),2,1(nkCk 为常数为常数设设)(tfk若若),2,1()
22、(nkwFk )(1 nkkktfC则则有有.)(1 nkkkwFC29 2009,Henan Polytechnic University29第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例2.计算下列各式计算下列各式.tt cossin2 1 1）w21cos2 2 2）解解：tt cossin2).2()2(wwi 212cos1cos2 222wiwieeww 2 2）w21cos2).2()2(21)(ttt ieettttiti22sincossin2 22 1 1）30 2009,Henan Polytechnic University30第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分
23、变换课程目录练习：练习：)()(21atat 1 1）)5)(3(21iwiw2 2）解解：)()(21atat 1 1）;cos)(21aweeiwaiwa )5)(3(21iwiw2 2）iwiw51311=.).0(0),0(53 tteett31 2009,Henan Polytechnic University31第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录变换及其性质单位阶跃函数的傅里叶.5 ).0(0),0(1)()1tttu定义：定义：.零零非非零零点点可可微微、且且导导数数为为零零点点不不连连续续，任任何何一一个个)()(ttu 的的傅傅里里叶叶变变换换单单位位阶阶跃跃函
24、函数数)()2tu)(tu)(1wiw dttfttdttfttnnn )()()1()()()(00)(32 2009,Henan Polytechnic University32第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录证明证明：)(tu 0lim tetu )(iw 1lim0.1)(limlim220220iwwwiww 型型序序列列 )(i)(ii)(11wiw ,2111 iw dwwwtdweiwiwiwtsin112111 0).(210),(210).(sin10),(sin100tttdxxxtdxxx 33 2009,Henan Polytechnic Univer
25、sity33第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录数及其导数分段函数的单位阶跃函.6 0).(10),(1)sgn()1xxx.1)(2 xu).1)(2()2 xuxx ).1(21),(0 10),(0)()3ttttf).1()(tutu.)3()2()1()()(xuxuxuxuxfyxy1 2 3 41234o)434 2009,Henan Polytechnic University34第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录 6.3 6.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质&1.1.线性性质线性性质&2.2.位移性质位移性质&3.3.微分性质微分性质&4.4.对
26、称性与相似性对称性与相似性&5.5.积分性质积分性质35 2009,Henan Polytechnic University35第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录1.1.线性性质线性性质),2,1(nkCk 为常数为常数设设)(tfk若若),2,1()(nkwFk )(n1kkktfC则有.)(1 nkkkwFC36 2009,Henan Polytechnic University36第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习练习：sinat ;)()(awawi cosat ;)()(awaw ;sinaw )()(atati 21;cosaw )()(atat 2
27、1 )sin(at1）awsin1 2）37 2009,Henan Polytechnic University37第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录2.2.位移性质位移性质)(tf若若,)(wF)()1 atf 则则有有;)()(为为实实数数awFeiwa tiwetf0)()2.)()(00为为实实数数wwwF证明证明：)(atf dteeatfdteatfiawatiwiwt )()()(dxexfedteatfeiwxiawatiwiaw )()()()(1wFeiaw ).()(21)(atfdwewFatiw )(wF参数参数同理可证第二部分同理可证第二部分38 20
28、09,Henan Polytechnic University38第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习练习：)(tf1）).0(0),0()(23ttetfitt其其中中：)(tg2）).(0),0()(其其它它其其中中：tEtg解解：)(tg )2(th=.2sin22 wwEewi 1 1）)0()0(0)0(ttet 1iw 2 2）).2(0),2()(ttEth 2sin2 wwE )(tf;)2(31 wi39 2009,Henan Polytechnic University39第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录推论推论：)(tf若若,)(wF )(
29、)(21)1 atfatf 则则有有;)(cos)(为为实实数数aawwFtwtf0cos)()3 ;)()()(21000为为实实数数wwwFwwF )()(21)2atfatfi ;)(sin)(为为实实数数aawwFtwtf0sin)()4 .)()()(21000为为实实数数wwwFwwFi 40 2009,Henan Polytechnic University40第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录3.3.微分性质微分性质)(tf若若,)(wF)(,0)(tftft 并并且且时时，当当是是可可积积的的，则则在在实实轴轴的的任任何何有有限限区区间间 存存在在)(tf )(
30、tf 且且.)(wiwF证明证明：;0)()(tfetftiwt时，时，)(titf 同同理理.)(wF 0)(wFw时，时，)(tf ).()(-)()(wiwFdtetfiwetfdtetfiwtiwtiwt 41 2009,Henan Polytechnic University41第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录推论推论：)(tf若若,)(wF)()1 )(tfn则则有有;)()()(为为自自然然数数nwFiwn)()()2tf-itn.)()()(为为自自然然数数nwFn).1,2,1,0(,0)(lim,0)(lim)()(nkwFtfkwkt或或且且42 2009
31、,Henan Polytechnic University42第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例1：计算：计算.)sin(0twt1）tt2sin2）nt3）wtw01sin 4）;)()()100wwww ;)2()2()()2 wwwi ;)()(2 )3)(winn .)()(21 )400tttt 43 2009,Henan Polytechnic University43第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习练习：;0 2sin)(tetut1）ttu2cos)(2）)2(1)2(121 )1wiwii )2()2(2212121 )2 wwwwi t
32、3）.2)(2)(22(1 )32wwwiwi 44 2009,Henan Polytechnic University44第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录4.4.对称性与相似性对称性与相似性2）相似性）相似性1 1）对称性）对称性)(tf若若,)(wF)(tF则则.)(2wf .)()(2)(21)(dwewFxfdwewFtfiwxiwt 显然，显然，)(tf若若,)(wF)(atf则则.)(1awFa 0).()(10),()(1)(1)(aawFaaawFadateatfadteatfatawiiwt )(atf变量替换变量替换时为翻转性时为翻转性1 a45 2009,
33、Henan Polytechnic University45第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例2：.sin2 tt计算计算 ttsin2解得解得 .1 0,1 2)(2wwwf .1 0,1 1)(tttf46 2009,Henan Polytechnic University46第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例3：)(tf若若,)(wF ;)5-2(tf求（求（1）.)2(ttf（2）解：解：（1）)52(tf )25(2(tf);2(2125wFeiw )2(22tft21 )2(2ttf2121 2)(wwttf).2(41wFi （2）或：或：（1
34、）)52(tf21 2)5(wwtf );2(2125wFeiw )2(titf i).2(41wFi )2(tf),2(21wF（2）或：或：47 2009,Henan Polytechnic University47第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录5.5.积分性质积分性质)(tf若若,)(wF,0)()(dttftgtt时时，当当则则 ).(1)(wFiwtg 证明证明：)(tg).(1)(1-)(1)(wFiwdtetfiwedxxfiwdtxedxfiwtiwttiwtt ).()0()(1wFwFiw 若若无无此此条条件件，则则结结论论为为48 2009,Henan
35、Polytechnic University48第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习练习：)2sin()(ttu1）tsgn2）)(2tutet 3）iwew21 )(4）)1(3)(21 tt 5）)2()2(241 )12 wwiw iw2 )22)2(1 )3iw)()1214 t iwiwew 32)(2 )549 2009,Henan Polytechnic University49第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录1.1.线性性质线性性质)(tfk若若),2,1()(nkwFk )(n1kkktfC.)(1 nkkkwFC2.2.位移性质位移性质)()
36、1 atf;)()(为为实实数数awFeiwa tiwetf0)()2.)()(00为为实实数数wwwF)(tf若若,)(wF)()1 )(tfn;)()()(为为自自然然数数nwFiwn)()()2tf-itn.)()()(为为自自然然数数nwFn3.3.微分性质微分性质50 2009,Henan Polytechnic University50第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录4.4.积分性质积分性质)(tf若若,)(wF,0)()(dttftgtt时时，当当则则 ).(1)(wFiwtg).()0()(1wFwFiw 若若无无此此条条件件，则则结结论论为为51 2009,H
37、enan Polytechnic University51第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录 6.4 6.4 卷积及傅立叶积分变换的应用卷积及傅立叶积分变换的应用&1.1.卷积的概念卷积的概念&2.2.傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用52 2009,Henan Polytechnic University52第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录1.卷积的卷积的定义及其存在性定义及其存在性定义：定义：内内有有定定义义，在在区区间间),()(),(21 tftf有有确确定定的的值值，对对任任意意实实数数若若积积分分tdxxtfxf )()(21上上的的卷卷积积。在在区区间
38、间和和称称该该函函数数为为的的新新函函数数，一一个个自自变变量量为为则则它它在在该该区区间间内内定定义义了了),()()(21 tftftdxxtfxftff )()()(2121记记作作：53 2009,Henan Polytechnic University53第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例1.求下列函数的卷积求下列函数的卷积.;1)(,)1()1()(21 tfttututf)1()2(.,1 0,1 1)()(21 tttftf;0)()()()()1(1122121 dxxtxfdxxtfxftff解：解：.02-t 2,20 2,2 0.02-1,20 1,2
39、 0)()()()()()2(1111111121122121 tttttxdtxdtxdxdxfdxxtfdxxtfxftfftttttt1 t1 t1 11 t1 t1 t1 t1 t1 t54 2009,Henan Polytechnic University54第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录),2,1()()()(ktftutfkk若若 .0 )()(,0 0)()()()()()()()(0210212121 tdxxtfxftdxxtfxtuxfdxxtfxtuxfxutfft则则.sin )cos(0)cos()sin()(0021ttdxxttxtxdxxtx
40、tfftt 解：解：例例2.求下列函数的卷积求下列函数的卷积.ttutfttutfsin)()(,)()(21 55 2009,Henan Polytechnic University55第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录练习：练习：对函数对函数.),0)(,1)(21上上的的卷卷积积计计算算 tetftf解：解：.)()()()()(ttttxttxtteeedxeedxedxxtfxftff 111000212156 2009,Henan Polytechnic University56第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录2.卷积的卷积的性质性质变变换换存存在在定
41、定理理），则则有有（或或满满足足上上有有界界，在在积积分分存存在在定定理理的的条条件件且且满满足足若若LaplaceFouriertfk),()();)()()1(1221tfftff );)()()()2(321321tffftfff ).()()()()(tfftfftfff32313213 证明：证明：);()()()()()()1(12212121tffduufutfdxxtfxftffxtu 57 2009,Henan Polytechnic University57第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录证明：证明：);)()()()()()()()()()()()()()
42、()2(321213321321321321tfffdvdxxvfxfvtfdxdvvtfxvfxfdxduuxtfufxfdxxtffxftfff dvduvxu ,.)3(明明略略由由积积分分运运算算显显然然得得，证证58 2009,Henan Polytechnic University58第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录3.Fourier变换的卷积定理变换的卷积定理)(tfk若若,)(wFk则则有有积积分分存存在在定定理理的的条条件件，上上有有界界且且满满足足在在),(),()(nkFouriertfk21 证明：证明：.2为为例例以以 n )(21tff ).()()
43、()()()()()()(2121212121wFwFdxewFxfdxdtextfxfdtedxxtfxfdtetffiwxiwtiwtiwt 象象原原函函数数的的位位移移性性质质).()()()(321wFwFwFwFn )(321tffffn 59 2009,Henan Polytechnic University59第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例3.证明证明Fourier变换的积分性质变换的积分性质.)(tf若若,)(wF则则 ).0()()(1)(FwwFiwtg .)()(dttftgt 其其中中证明：证明：)()()()()()(tutfdxxtuxfdxx
44、fdttftt 1)(,)(0 xtutxxt时时当当 )()(tutf dttft)()(tf )(tu ).0()()(1)(1)(FwwFiwwiwwF 60 2009,Henan Polytechnic University60第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录)(2tf若若,)(2wF，设设ivtetftf)()(23 )(3tf),()()()(2)(2)(22wvFdxexfdtetfdteetfxwvitvwiiwtivt .)()(21)()(21)(21dwewvFwFdxextfxfiwtxtiv 即：即：，则则有有若若令令：0 tdwwvFwFdxexfx
45、fxiv )()(21)()(21)(21 .)()(211wvFwF )(31tff故故有有：).(2121wFF )()(21tftf61 2009,Henan Polytechnic University61第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录4.Fourier变换的应用变换的应用例例4.求特殊函数的积分求特殊函数的积分.dxxx0sin62 2009,Henan Polytechnic University62第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例5：求解下列积分方程：求解下列积分方程.).1(0),10(-1cos)(0wwwdxwxxf 0,()(三三角角
46、结结构构得得：再再由由傅傅里里叶叶积积分分公公式式的的偶偶函函数数，上上补补充充定定义义，使使其其构构成成在在区区间间给给 xf ).0(,)cos1(2cos)1(2 )cos(cos)(2 )sinsincos(cos)(1 )(cos)(1)(2100000 tttdwwtwdwdxwxwtxfdwdxwxwtwxwtxfdwdxxtwxftf 解：解：63 2009,Henan Polytechnic University63第六章傅里叶积分变换第六章傅里叶积分变换课程目录例例6 6：.0)(lim),()()(dxxftdxxftfttt且且解微积分方程：解微积分方程：).0(),0(21)(tetetftt一般思想为：将方程两端同时进行傅里叶变换，将微积分一般思想为：将方程两端同时进行傅里叶变换，将微积分方程转换为代数方程，从而求解出像函数，最后通过像函方程转换为代数方程，从而求解出像函数，最后通过像函数解出原函数。数解出原函数。
