1、第四节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及空间直线 第七七章 zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量,),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji例例1.1.求过三点,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14
2、zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),4,1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRb
3、QaP1czbyax时,)0,(cbabcax)(cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn 的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊
4、情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面
5、通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(P327 例4,自己练习)机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21)1(0212121CCBBAA21/)2(212121CC
6、BBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和则所求平面故,),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0DzCyB
7、xA例例5.设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d.0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd,),(CBAn(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo0M例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx,1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331,),(0000zyxM四面体的球面方程
8、.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn,0:22222DzCyBxA),(2222CBAn,0:11111DzCyBxA机
9、动 目录 上页 下页 返回 结束),(1111CBAn 一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束),(0000zyxM2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式
10、方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.参数式方程参数式方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21
11、nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束
12、特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2)13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例3.求过点(1,2,4)且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束
