1、目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 微分的应用微分的应用2.2.1 微分的概念微分的概念 2.2 函数的微分 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 0 xx面积的增量为2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A
2、 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,目录 上页 下页 返回 结束 证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0目录 上页 下页
3、 返回 结束)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在点 的可导,0 x则线性主部的此项为时yxf0)(0目录 上页 下页 返回 结束 0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当目录 上页 下页 返回 结束 xxfy)(d
4、0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记目录 上页 下页 返回 结束,3xy yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式又如又如,目录 上页 下页 返回 结束 设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d
5、微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv目录 上页 下页 返回 结束,)e1(ln2xy求.dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex目录 上页 下页 返回 结束,0)cos(sinyxxy求.dy解解:利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(tt dcos)d()2(221
6、xtsin1说明说明:上述微分的问题就是我们在不定积分要研究的内容.CC注意 数学中的反问题往往出现多值性.)(为任意常数C注意:)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224数学中的反问题往往出现多值性,例如 目录 上页 下页 返回 结束)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1(
7、)1(x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1ln()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(目录 上页 下页 返回 结束 180dx29sin的近似值.解解:设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175.0(485.0)180(29sin4848.029sin目录 上页 下页 返回 结束 5245的近似值.解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938.3xx1)1(004942.32455目录 上页 下页 返回 结束 为
8、了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为334RV 镀铜体积为 V 在01.0,1RR时体积的增量,VVVd01.01RRRR 2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.)cmg9.8:(3铜的密度估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,目录 上页 下页 返回 结束 1.微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差目录 上页 下页 返回 结束 1.设函数)(xfy 的图形如下,试在图中标出的点0 x处的yy,d及,dyy
9、 并说明其正负.yd0 xx00 xxyOy00yyd目录 上页 下页 返回 结束 xxed)d(arctane x2e11xd xx2e1exxsindtand.3x3secxxd2sin)(d.4Cx2cos21目录 上页 下页 返回 结束)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解:方程两边求微分,得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6.设,0a且,nab 则nnba1nanba目录 上页 下页 返回 结束 1.已知,)1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd222)1(sin12sin目录 上页 下页 返回 结束 已知,eyxxy求.d y解解:方程两边求微分,得xyyxddyd)d(deyxyxxxyyxyxdee习题课
