1、第三节空间图形的基本关系与公理第三节空间图形的基本关系与公理 1基础梳理基础梳理1.平面的基本性质2两条平行直线确定一个平面推论3两条相交直线确定一个平面推论2若点A 直线a，则A和a确定一个平面推论1公理2的推论符号语言文字语言图形名称32.空间直线与直线的位置关系公共点个数(2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线_(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_4(4)异面直线的夹角定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把两相交直线a、b所成的_叫做异面直线a、b所成的角(或夹角)范围：(0,/2.特别地，如果两异面直线所成的角是，我
2、们就称这两条直线_，记作ab.3.空间中的直线与平面的位置关系 5答案：1.Al，Bl，Aa，Bala不在同一条直线上A、B、C不共线A、B、C平面a且a是唯一的如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线Paac经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面ab=P有且只有一个平面a，使aa，baab有且只有一个平面a，使aa，ba2.(1)共面平行相交异面一个公共点无公共点(2)互相平行(3)相等或互补(4)角垂直3.无数有且只有一个无4.无公共点有且只有一条公共直线 6基础达标基础达标1.(教材改编题)若点M在直线b上，b在平面内，则M，b，之间的关系可表示为 (
3、)A.MbB.MbC.Mb D.Mb2.(教材改编题)下列命题中正确的是()A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内73.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上4.给出下面四个命题：如果直线ac，bc，那么a，b能确定一个平面；如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；如果ac，bc，那么a，b能确定一个平
4、面；直线a过平面内一点与平面外一点，直线b在平面内且不过该点，那么a和b是异面直线上述命题中，真命题的个数是()A.1B.2C.3D.489答案：1.B2.D解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确3.A解析：MEF，EF平面ABC.M平面ABC，同理M平面ACD，MAC.4.B解析：中，由公理4知，ab，故正确；中，a，b可能异面，故错误；中，a，b可能异面，故错误；正确 10经典例题经典例题题型一证明三点共线题型一证明三点共线【例1】已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在同一条直线上11证明：由已知条件易知，
5、平面a与平面ABC相交设交线为l，即l=a面ABC.PAB，P面ABC.又P(ABa)，Pa，即P为平面a与面ABC的公共点，Pl.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线于l.12变式变式1 11 1已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图所示求证：点B、D、P在同一条直线上证明：直线EF和GH交于点P，PEF，又EF平面ABD，P平面ABD.同理，P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上，即B、D、P三点在同一条直线上 13题型
6、二证明点线共面题型二证明点线共面【例2】如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC AD，BE FA，G，H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？1/21/2解：(1)证明：G、H分别为FA、FD的中点，GH AD，BC AD，BC GH，四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面G为AF中点，且BE FA，BE GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG，BGCH，EFCH.E、F、H、C四点共面，点D直线FH，D点在EF、CH确定的平面内，C、D、F、E四点共面1/21/21/21/21/
7、214题型三证明三线共点题型三证明三线共点【例3】已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且 =2.求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P.BGDHGCHC15证明：如图，E、F分别是AB、AD的中点，EFBD且EF=1/2BD.又 =2，GHBD且GH=BD/3，EFGH且EFGH，四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACD=AC，PAC，故直线EG、FH、AC相交于同一点P.BGDHGCHC16题型四异面直线及其所成角的问题题
8、型四异面直线及其所成角的问题【例4】(2010天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，CD=1，AD=，求异面直线CE与AF所成角的余弦值2 2解：因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，CD=1，222 232 232 2.3EDCECDEDEDCEDCE，故cos，所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为17链接高考链接高考(2010湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点求异面直线A1M和C1D1所成的角的正值知识准备：1.会找异面直线所成的角；2.会进行三角形的运算求解解：因为C1D1A1B1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M=90，而A1B1=1，B1M=22111111111112tan2,2.BCMCB MMABABAMC D，故即异面直线与所成的角的正切值为18
