1、多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法1一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义一元函数的极值一元函数的极值的定义的定义:是在一点是在一点附近附近将函数值比大小将函数值比大小.定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点.类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域,),()(0PfPf 为为极大值极大值.则称则称)(0Pf多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉
2、格朗日乘数法2 注注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是多元函数的极值也是局部的局部的,一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最小值.有时有时,极值极值.极值点极值点.内的值比较内的值比较.是与是与P0的邻域的邻域极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法3xyzO例例2243yxz 函数函数 存在极值存在极值,在在(0,0)点取极小值点取
3、极小值.椭圆抛物面椭圆抛物面在简单的情形下是在简单的情形下是容易判断的容易判断的.函数函数(也是最小值也是最小值).多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 4xyzO例例22yxz 例例xyz 在在(0,0)点取极大值点取极大值.(也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极值.下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面函数函数函数函数 xyzO 52.极值的必要条件极值的必要条件定理定理1 1(必要条件必要条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 具有具有处处且在点且在点),(00yx则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:,0),(00 y
4、xfx.0),(00 yxfy,偏导数偏导数,有极值有极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法6证证处处在点在点),(),(00yxyxfz 有极大值有极大值,不妨设不妨设的某邻域内任意的某邻域内任意则对于则对于),(00yx),(),(00yxyx 都有都有),(),(00yxfyxf,00时时故当故当xxyy ),(),(000yxfyxf 有有说明一元函数说明一元函数处处在在00),(xxyxf 有极大值有极大值,必有必有;0),(00 yxfx.0),(00 yxfy类似地可证类似地可证7推广推广 如果三元函数如果三元函数),(),(000zyxPzyxfu在点
5、在点 具有偏导数具有偏导数,则它在则它在),(000zyxP有极值的有极值的必要条件必要条件为为,0),(000 zyxfx,0),(000 zyxfy.0),(000 zyxfz多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法8均称为函数的均称为函数的驻点驻点极值点极值点(偏导数存在偏导数存在)仿照一元函数仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点如如,的的是函数是函数点点xyz )0,0(驻点驻点,但不是极值点但不是极值点.注注93.极值的充分条件极值的充分条件定理定理2 2(充分条
6、件充分条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,0),(00 yxfx又又,0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy),(),(00yxyxf在点在点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.10求函数求函数 极值的一般步骤极值的
7、一般步骤:),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法11例例 解解又又在点在点(0,0)处处,在点在点(a,a)处处,)0(3),(33 ayxaxyyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0,0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf229aBAC 故故),
8、(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的极值的极值.0 在在(0,0)无极值无极值;在在(a,a)有极大值有极大值,0,6x,3a.6y 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法0 1204222 xxzzzx解解求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 将方程两边分别对将方程两边分别对x,y求偏导数求偏导数,04222 yyzzzy 由函数取极值的必要条件知由函数取极值的必要条件知,驻点为驻点为),1,1(P将上方程组再分别对将上方程组再分别对x,y求偏导数求偏导数,21|zz
9、APxx ,0|PxyzB,21|zzCPyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一法一13故故22)2(1zBAC )2(z函数在函数在P有极值有极值.0 010422222 zyxzyx)1,1(P将将代入原方程代入原方程,6,221 zz有有,21时时当当 z41 A,0 2)1,1(fz为极小值为极小值;,62时时当当 z41 A,0 6)1,1(fz为极大值为极大值.zzAPxx 21|0|PxyzB多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以所以所以zzCPyy 21|14求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的
10、极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法解解 法二法二 配方法配方法 方程可变形为方程可变形为16)2()1()1(222 zyx 于是于是22)1()1(162 yxz,1,1时时当当 yx 显然显然,根号中的极大值为根号中的极大值为4,由由可知可知,42 z为极值为极值.即即6 z为极大值为极大值,2 z为极小值为极小值.15取得取得.然而然而,如函数在个别点处的如函数在个别点处的偏导数不存在偏导数不存在,这些点当然不是驻点这些点当然不是驻点,如如:函数函数22yxz 不存在不存在,但函数在点但函数在点(0,0)处都具有极大值处都
11、具有极大值.在研究函数的极值时在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外除研究函数的驻点外,还应研究还应研究偏导数不存在的点偏导数不存在的点.注注由由极值的必要条件知极值的必要条件知,极值只可能在驻点处极值只可能在驻点处但但也可能是极也可能是极值值点点.在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法16多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学年考研数学(一一),4分分选择题选择题已知函数已知函数f(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续的某个邻域内连续,1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且
12、则则(A)点点(0,0)不是不是f(x,y)的极值点的极值点.(B)点点(0,0)是是f(x,y)的极大值点的极大值点.(C)点点(0,0)是是f(x,y)的极小值点的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点根据所给条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点.17其中最大者即为最大值其中最大者即为最大值,与一元函数相类似与一元函数相类似,可利用函数的极值来可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值多元函数的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即为最小值最小者即为最小值.将函数将函数在在D内内的所有嫌疑点的函数值及的所有嫌疑点的函
13、数值及在在D的边界上的最大值和最小值相互比较的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法18解解(1)求函数求函数在在D内内的驻点的驻点 由于由于所以函数在所以函数在D内无极值内无极值.(2)求函数在求函数在 D边界上的最值边界上的最值(现现最值只能在边界上最值只能在边界上)与与在在求函数求函数0,0212 yxyxxz1 yx直直线线围成的三角形闭域围成的三角形闭域D上的上的0 最大最大(小小)值值.例例xzx21 2 yz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO19在边界线在边界线在边界线在边界线由于由
14、于最小最小,由于由于又在端点又在端点(1,0)处处,yxxz212 所以所以,最大最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0,21(z有驻点有驻点 函数值函数值有有,0 x单调上升单调上升.2dd yz,0 yz21 1)0,0(z3)1,0(z,0 y.1)0,1(z,10上上 y,10上上 x多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO20在边界线在边界线所以所以,最值在端点处最值在端点处.yxxz212 )1(212xxxz由于由于 函数单调下降函数单调下降,)0,21(z及及43)0,21(min zz3)1,0(max zz,1
15、yx233xx xxz23dd 0),10(x(3)比较比较),0,0(z),0,1(z)1,0(z,10上上 x43)0,21(z1)0,0(z3)1,0(z1)0,1(z多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法1 yxDxyO21解解,02 xfx令令08 yfy)0,0(),(422yxfyx代入代入将将 133),(2yyxf2,2 yyyg6)(令令0 y此时此时24yx ,2时时当当 y9)0,0(f.9,25),(最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在故故Dyxf13)0,2(f25)2,0(f的最大值与最小值的最大值与最小值.驻点驻点得得)(yg0 2
16、 0 x均均有有多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf22对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值.其他条件其他条件.无条件极值无条件极值对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外,并无并无条件极值条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法23解解yxz 18xyzV ：区区域域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例例 已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18
17、,问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为,zyx、由题意由题意长方体的体积为长方体的体积为18,0,0 yxyx)6,6(驻驻点点 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,体体积最大体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6时长方时长方由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,18 zyx24上例的极值问题也可以看成是求三元函数上例的极值问题也可以看成是求三元函数zyx、但但的极值的极值,要受到条件要受到条件的限
18、制的限制,这便是一个条件极值这便是一个条件极值问题问题.目标函数目标函数约束条件约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时有时条件极值条件极值目标函数中化为目标函数中化为无条件极值无条件极值.可通过将约束条件代入可通过将约束条件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的.下面要介绍解决下面要介绍解决条件极值条件极值问题的一般问题的一般方法方法:下下,这样做是有困难的这样做是有困难的,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法xyzV 18 zyx25拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数现要寻求目标函数),(yxfz 0),(yx 在约束条件在约束条件
19、下取得下取得利用隐函数的概念与求导法利用隐函数的概念与求导法 如函数如函数(1)在在),(00yx0),(00 yx 由条件由条件0),(yx(1)(2)极值的必要条件极值的必要条件.取得所求的极值取得所求的极值,那末首先有那末首先有(3)确定确定y是是x的隐函数的隐函数).(xyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法于是函数于是函数(1),(00yx在在0 xx 即即,取得所求的取得所求的在在 取得极值取得极值.极值极值.),(,(xyxfz ),(,(xyxfz 26其中其中 0ddxxxy代入代入(4)得得:)5(0),(),(),(),(00000000 yx
20、yxyxfyxfyxyx 由由一元可导函数取得极值的必要条件一元可导函数取得极值的必要条件知知:0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddxxyyxxxyyf 0),(),(0000yxyxyx 0 xx 取得极值取得极值.在在(3),(5)两式两式),(00yx在在取得极值的必要条件取得极值的必要条件.就是函数就是函数(1)在条件在条件(2)下的下的)1(),(yxfz )2(0),(yx)(,(xyxfz 27 设设 ),(),(0000yxyxfyy上述必要条件变为上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数中的前两式的左边正是函数:0),(),(),(),(00000000
21、yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6),0),(00 yx),(),(),(yxyxfyxL 的两个一阶偏导数在的两个一阶偏导数在),(00yx的值的值.参数参数函数函数),(yxL称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数,称为称为拉格朗日乘子拉格朗日乘子,是一个待定常数是一个待定常数.28拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:),(yxfz 0),(yx 极值的必要条件极值的必要条件在条件在条件要找函数要找函数下的可能极值点下的可能极值点,先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxL 为某一常数为某一常数
22、,其中其中可由可由 解出解出,yx其中其中就是就是可能的可能的极值点的坐标极值点的坐标.yx,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法,0),(),(yxyxfxx,0),(),(yxyxfyy.0),(yx 29如何确定所求得的点如何确定所求得的点实际问题中实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广拉格朗日乘数法可推广:判定判定.可根据问题本身的性质来可根据问题本身的性质来的情况的情况.自变量多于两个自变量多于两个是否为极值点是否为极值点多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法30例例 将将正
23、正数数 12 分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大.解解.691224623max u则则故最大值为故最大值为又是实际问题又是实际问题,解得解得唯一驻点唯一驻点)2,4,6(一定存在最值一定存在最值.令令),(zyxLzyx23)12(zyx 023 yzxLy0322 zyxLx023 yxLz12 zyx此题是否也可化为无条件极值做此题是否也可化为无条件极值做多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法31解解),(000zyxP设设为椭球面上的一点为椭球面上的一点,令令1),(222222 czbyaxzyxF则则,2|20axFP
24、x ,2|20byFPy 202|azFPz 的切平面方程为的切平面方程为),(000zyxP过过在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面的的使切平面与三个坐标面所围成的使切平面与三个坐标面所围成的例例1222222 czbyax切平面切平面,四面体体积最小四面体体积最小,求切点坐标求切点坐标.0)()()(020020020 zzczyybyxxax多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法32目标函数目标函数该该切平面在三个轴上的截距切平面在三个轴上的截距各为各为化简为化简为1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面体的体积所求四面
25、体的体积xyzV61 0002226zyxcba 约束条件约束条件在条件在条件1220220220 czbyax下求下求V 的最小值的最小值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法33约束条件约束条件1220220220 czbyax令令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由由 ,00 xL01220220220 czbyax,00 yL00 zL目标函数目标函数,6000222zyxcbaV 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法34可得可得即即当切点坐标为当切点坐标为)3,3
26、,3(cba四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法35.)21,1,1(22的最短距离的最短距离到曲面到曲面求点求点yxz 解解 d为简化计算为简化计算,令令222)21()1()1(),(zyxzyxf22yxz ),(zyx设设是曲面上的点是曲面上的点,它与已知点的距离为它与已知点的距离为问题化为在问题化为在
27、),(zyxf下求下求的最小值的最小值.222)21()1()1(zyx目标函数目标函数约束条件约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法36),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由)1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1(zyx设设02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代代入入)4(多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法37由于问题确实存在最小值，由于问题确实存在最小值，与与由由22xz xxxz21212
28、1 故故xx2122 有最小值有最小值d得得唯一驻点唯一驻点24,41,41 zyx333222141412 33处处，故在点故在点 244141333多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法还有别的简单方法吗还有别的简单方法吗用几何法用几何法!38解解22)1(yxz 先求函数先求函数 0202yzxzyx驻驻点点22)2(yxz 再再求求 为此作为此作拉格朗日乘函数拉格朗日乘函数:),(yxL上的最大值与最小值上的最大值与最小值.在在圆内圆内的可能的极值点的可能的极值点;在在圆上圆上的最大、最小值的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx)0,0(多元函数的极值
29、与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法9)2()2(2222 yxyxz在圆在圆求函数求函数39)(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代入代入)(c225 yx比较比较)3(,25 z.0 z,yx 22 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值为最大值为最小值为最小值为、)0,0(z、225,225z 22,22z多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法9)2()2(),(2222 yxyxyxL 22yxz 函数函数上，上，在圆在圆9)2()2(22 yx40多元函数极值的概念多元函数极值的概念条件极值条件极值
30、 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法多元函数多元函数取得极值的必要条件、充分条件取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念多元函数最值的概念多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法三、小结三、小结(上述问题均可与一元函数类比上述问题均可与一元函数类比)41多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法思考题思考题,),(00的极值点的极值点为为若若yxfx是否为是否为点点),(00yx?),(的极值点的极值点yxfz 答答不一定不一定.二元函数二元函数),(yxf在点在点),(000yxP处有极值处有极值(不妨设为极小值不妨设为极小值),是指存在是指存在),(0
31、 PU当点当点),(),(0 PUyxP 且且),(yxP沿任何曲线趋向于沿任何曲线趋向于,0时时P).,(),(00yxfyxf 一元函数一元函数),(0yxf在点在点 x0处取得有极小值处取得有极小值,表示动点表示动点),(),(0 PUyxP 且且),(yxP沿直线沿直线42多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法,0上上yy 并沿该直线并沿该直线(即沿平行于即沿平行于Ox轴的正负轴的正负方向方向)趋向于趋向于,),(000时时yxP它们的关系是它们的关系是:),(yxf在点在点),(00yx取得极大取得极大(小小)值值点点点和点和分别在分别在和和0000),(),(xyyxfyxf取得极大取得极大(小小)值值.).,(),(00yxfyxf 43作业作业习题习题9-89-8(118(118页页)4.5.7.11.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法44
