1、-1-函数函数首页课前篇自主预习一二三知识点一、函数单调性的概念1.思考课前篇自主预习一二三(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?提示:不可以,如图:虽然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,总有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.课前篇自主预习一二三2.填空一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且MA.(1)如果对任意x1,x2M,当x1x2
2、时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增),如图(1)所示.课前篇自主预习一二三(2)如果对任意x1,x2M,当x1f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).课前篇自主预习一二三3.做一做已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()答案:B课前篇自主预习一二三4.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同?提示:不相同.函数f(x)的单调增(减)
3、区间是D,这一说法意味着除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间.函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.课前篇自主预习一二三5.做一做已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为.课前篇自主预习一二三知识点二、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2M,且x=x2-x10;(2)作差:y=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即
4、判断y的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).课前篇自主预习一二三知识点三、函数的平均变化率课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用定义法证明用定义法证明(判断判断)函数的单调性函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数 在(-,0)内是增函数.分析:解题的关键是对y=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.证明设x1,x2是(-,0)内的任意两个值,且x10,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1g(1-2t),求
5、t的取值范围.分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2,该二次函数图像的对称轴为x=1-a.f(x)的单调减区间为(-,1-a.f(x)在(-,4上是减函数,对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.1-a4,解得a-3.(2)g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟根据单调性求参数的方法1.已知函
6、数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图像,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解;2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在函数单调性中的应用典例 讨论函数f(x)=(-1x1,a0)的单调性.思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应
7、用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0,选项A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以该函数在区间(-,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-,0)内为增函数.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.下列命题正确的是()
8、A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1I2上为增函数D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1g(1-3t),求t的取值范围.你的选择是做或不做，做不一定会成功，但不做就永远不会有机会。你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生命的材料。富兰克林友谊要像爱情一样才温暖人心，爱情要像友谊一样才牢不可破。生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。不义而富且贵，于我如浮云。论语述而把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。道德教育成功的“秘诀”在于，当一个人还在少年时代的时候，就应该在宏伟的社会生活背景上给他展示整个世界个人生活的前景。苏霍姆林斯一个不是我们有所求的朋友才是真正的朋友，交友不是为了向对方索取什么。衣服新的好，朋友老的好。多讲点笑话，以幽默的态度处事，这样子日子会好过一点。吃了就一定要拉，人一定要学会随缘放下，否则就会便秘。要克服对死亡的恐惧，你必须要接受世上所有的人都会死去的观念。
