1、第一章第一章 极限与连续极限与连续第四节第四节 函数的连续性函数的连续性上一页上一页 下一页下一页首页首页一、一、连连续续函函数数的的概概念念一、定义一、定义连续三个条件（缺一不可）连续三个条件（缺一不可）1、有定义（没有定义的点就是不连续点）、有定义（没有定义的点就是不连续点）2、极限存在（极限不存在，也不连续）、极限存在（极限不存在，也不连续）3、极限值等于函数值（两者都存在，但是、极限值等于函数值（两者都存在，但是不等也不连续不等也不连续上一页上一页 下一页下一页首页首页一、一、连连续续函函数数的的概概念念判断一函数在某个点是否连续，先判断有判断一函数在某个点是否连续，先判断有没有定义，
2、没有定义就肯定不连续，然后没有定义，没有定义就肯定不连续，然后判断该函数在此点的函数值跟极限值会不判断该函数在此点的函数值跟极限值会不会相等。会相等。不连续的点不连续的点间断点间断点如果一函数在某区间内如果一函数在某区间内每一点每一点都连续都连续该函数就是这个区间内的该函数就是这个区间内的连续函数连续函数初等函数初等函数在其在其定义区间定义区间内一定内一定连续连续连续函数从图像上看，就是一连绵不断的曲连续函数从图像上看，就是一连绵不断的曲线线上一页上一页 下一页下一页首页首页典典型型例例题题分分析析判断函数在某点是否连续判断函数在某点是否连续判断该点的极限是否等于该点函数值判断该点的极限是否等
3、于该点函数值三个步骤三个步骤1、观察有没有定义、观察有没有定义没有就不连续没有就不连续2、求该点的左右极限、求该点的左右极限不相等也不连续不相等也不连续3、判断极限与函数值是否相等、判断极限与函数值是否相等相等即相等即连续，不等就不连续连续，不等就不连续上一页上一页 下一页下一页首页首页01limsinxxx典典型型例例题题分分析析1sin,0,()00,0,.xxf xxxx讨讨论论函函数数在在处处连连续续性性例例1解：解：00fQ 0limxf xQ又0有界函数有界函数无穷小无穷小 0lim0 xf xf上一页上一页 下一页下一页首页首页解：解：01f 0limxf x又0lim 1xx大
4、于大于0的的解析式解析式1 0limxf x0lim 21xx小于小于0的解的解析式析式1 00limlimxxf xf x 0f xx在点处不连续左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等跳跃间断点跳跃间断点上一页上一页 下一页下一页首页首页解：解：1limxf x132lim1xxx13232lim132xxxxx11lim32xx14存在但该点没有定义存在但该点没有定义可去间断点可去间断点极限存在但不等于该点函数值，或极限极限存在但不等于该点函数值，或极限上一页上一页 下一页下一页首页首页解：解：1limxf x又211lim1xxx 1xf x 为的无穷间断点左右极限至少有一个是无穷左右
5、极限至少有一个是无穷无穷间断点无穷间断点上一页上一页 下一页下一页首页首页习习题题解解析析求初等函数的连续区间求初等函数的连续区间求其定义域求其定义域求分段函数的连续区间则必须判断分界点求分段函数的连续区间则必须判断分界点的连续性。的连续性。上一页上一页 下一页下一页首页首页习习题题解解析析一、填空题一、填空题解析：因为初等函数在其定义域上连续，所解析：因为初等函数在其定义域上连续，所以求初等函数的连续区间，即求其定义域。以求初等函数的连续区间，即求其定义域。,11,11,初等函数的间断点就是没有定义的点，判断初等函数的间断点就是没有定义的点，判断类型必须判断间断点的极限类型必须判断间断点的极
6、限 221123limlim1xxxxf xx13lim1xxx2 221123limlim1xxxxf xx13lim1xxx 1x 为可去间断点，1x 为无穷间断点上一页上一页 下一页下一页首页首页习习题题解解析析解析：初等函数在其定义区间上连续，求有解析：初等函数在其定义区间上连续，求有定义的点的极限，只要求该点函数值即可定义的点的极限，只要求该点函数值即可5二、解答题二、解答题上一页上一页 下一页下一页首页首页解：解：102f 0limxf x又201coslimxxx2202sin2limxxx20sin2limxx2x24212 0limxf x01lim2xx12 00limli
7、m0 xxf xf xf 0yf xx在点处连续。习习题题解解析析上一页上一页 下一页下一页首页首页二、二、闭闭区区间间上上连连续续函函数数xyo2)(xfy ab2 1 xyo)(xfy 上一页上一页 下一页下一页首页首页MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 二、二、闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的性性质质上一页上一页 下一页下一页首页首页ab3 2 1 xyo)(xfy 二、二、闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的性性质质上一页上一页 下一页下一页首页首页小小结结一、连续（三条件缺一不可）一、连续（三条件缺一不可）1、有定义、有定义2、极限存在、极限存在3、极限值等于函数值、极限值等于函数值二、间断点（不连续的点，三条件只要一个二、间断点（不连续的点，三条件只要一个不满足）不满足）跳跃间断点跳跃间断点左右极限存在但是不等左右极限存在但是不等可去间断点可去间断点极限存在，但不等于函数值极限存在，但不等于函数值无穷间断点无穷间断点左右极限至少有一个是无穷左右极限至少有一个是无穷第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点上一页上一页 下一页下一页首页首页练习题练习题,11,11,1x 1x 为可去间断点为可去间断点1x 为无穷间断点为无穷间断点上一页上一页 下一页下一页首页首页作作业业 P36 2.
