1、为阶方阵，为阶方阵，为数，为数，为维非零向量，为维非零向量，A 若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；,阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对与方阵；，特征值问题只针对与方阵；0 0EA x 有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值0EA 0EA 称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程 fEA称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式121122(2);nnnaa
2、a12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n 则则当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项12,n 式可分解为式可分解为 fEA 12n 112121nnnnn 令令0,得得A 121nn 即即12.nA 因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘积 1122nnaaaEA 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中1nn 与与 111
3、22nnnnEAaaa 故有故有比较，有比较，有121122.nnnaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此，特征多项式中因此，特征多项式中方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹.记为记为 .iiitr Aa 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零.若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，的特征值，则则 为为 的特征值的特征值1 1A 则则 为为 的特征值的特征值k kA则则 为为 的特征值的特征值1A A 则则 为为 的特征值的特征值m mA单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值
4、，则的特征值，则1213A 的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为2AA 或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则211020413A （）（）311751662B 223EA、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。线性无关。定理定理若阶矩阵若阶矩阵的任重的任重特
5、征值特征值对应的线性无对应的线性无iti it关的特征关的特征向量向量的个数不超过的个数不超过一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得1,PAPB 则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说，或者说矩阵矩阵与与相似相似称为对称为对进进行行相似变换相似变换，1,PAP 对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似相似变换矩阵变换矩阵记作记作：二、性质二、性质（1 1）反身性：反身性：（2 2）对称性：对称性：（3 3）传递性：传递性：；，则，则；，则，则；（4 4），则，则 R AR B=（5 5），则，则 AB（6 6），且，且
6、可逆，则可逆，则 11AB定理定理若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵1212(,)nndiag 相似，相似，12,n 就是就是的个特征值的个特征值则则1,kKAPP 1()().APP 而对对角阵而对对角阵 有有则则若有可逆若有可逆矩阵矩阵使使（8 8），则，则的多项式的多项式特别特别 AB1,PAP 1122()(),(),()kkkknn 这样可以方便地计算这样可以方便地计算的多项式的多项式().A（7 7），则，则mmAB若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩
7、阵使使1PAP 对阶方阵对阶方阵，称称之为之为把方阵把方阵对角化对角化三、相似对角化三、相似对角化定理的推论说明，定理的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得1PAP 的矩阵的矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆，1PAP 使得使得 12,nPppp 若若 APP有有 121212,nnnA pppppp 1122,nnppp 于是有于是有(1,2,),iiiApp in 因为因为可逆，可逆，故故0(1,2,),ipin于是于是12,nppp是是的个线性
8、的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之，反之，即即(1,2,),iiiApp in 设设12(,),nPppp 可逆，且可逆，且则则12,nppp若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量121122(,)(,)nnnAPAp ApApppp1212(,),nnpppP 所以所以1,PAP 即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似定理定理阶矩阵阶矩阵能与对角矩阵能与对角矩阵相似相似有阶线性无关的特征向量有阶线性无关的特征向量推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵有个不同的特征值，则矩阵注意注意中的列向量中的列向量12,nppp的排列顺序要与的排列顺序要与12,n 的顺序一致的
9、顺序一致（1 1）可相似对角化可相似对角化（2 2）是是ip()0AE x 的基础解系中的解的基础解系中的解向量，向量，因因ip的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是也是不唯一的不唯一的（3 3）所以如果不计所以如果不计的排列顺序，的排列顺序，0AE 的根只有个（重根按重数计算）的根只有个（重根按重数计算）又又 是唯一的是唯一的则则i 推论推论若阶矩阵若阶矩阵可相似对角化可相似对角化的任重的任重特征值特征值对应个线性无关的特征对应个线性无关的特征向量向量iti it例题：为对角矩阵。化矩阵AA,313043241)1(为对角矩阵。化矩阵AA,103000000)2(。，证明阶矩阵
10、，且为例题：BAABAnBA0,设维实向量设维实向量称实数称实数1122,nnababab ,.1 122nna ba ba b为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 1212.Tnnbbaaab ,（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性：,kk ,0,0 ,0.当且仅当当且仅当时时1111,rrrrkkkk 0,00T 22212,naaa 令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）.长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量.（1 1）正定性：）正定
11、性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：0;00且且；;kk;（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式:222,2,即即,当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立.当当时，时，0 由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位向量单位向量.01 01 称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化.的过程的过程设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量，与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为 ,cos,因此因此 与与 的的夹角夹角为为 ,arccos,0.例例 1
12、223,3151,.求求,cos 解解183 2 6 12.4 .求求,1111,1110,TT 练习练习 ,当当，称，称与与正交正交.,0 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交.0 0.对于非零向量对于非零向量与与，,.2 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组.由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组.正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组.若向量若向量与与与与12,s 中每个向量都正交，中每个向量都正交，则则的任一线
13、性组合也正交的任一线性组合也正交.12,s 若若正交向量组正交向量组12,r 则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个正交基正交基.12,r 为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，若标准若标准正交组正交组12,r 则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个标准正交基标准正交基.为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，12,r 设设是向量空间是向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空12,r 间间的一个标准正交基，就是的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量12,r ，使，使12,r 与与12,r 等价，等价，此问题称为把此问题称为把
14、这组基这组基标准正交化标准正交化.12,r 1 1）正交化）正交化令令11 1222111,121r121112211,rrrrrrrr 就得到就得到的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组.的一组标准正交基的一组标准正交基.如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特正交化法正交化法.2 2）标准化）标准化112212111,rrr令令12,r 是是的一组基，则的一组基，则12,r 就是就是则则两两正交，且与两两正交，且与12,r 等价等价.12,r 上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的两个向量组对任意的1,kr12,k 与与12,k 都是等价的都是等价的.证明：中，勾股定理证明：中，
15、勾股定理nR222xyxy成立成立的充要条件是正交的充要条件是正交.,x y 2,xyxy xy ,2,x xy yx y 222,xyx y所以所以222xyxy成立的充要条件是成立的充要条件是 ,0,x y 即正交即正交.,x y已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，12111,211 正交，正交，试求试求3123,是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基.设设 31230Txxx 则则1323,0,0.即即123123020 xxxxxx 132330 xxxxx 310.1 已知向量已知向量111,1 求的一个标准求的一个标准正交基正交基.3R1230,xxx设非零向量设
16、非零向量 都于正交，都于正交，23,1 10,Tx 即满足方程即满足方程或或12100,1.11其基础解系为其基础解系为2132100,1.11令令111,1 1 1）正交化）正交化令令11 1222111,132333121122,2 2）标准化）标准化1111,31 令令233222,11,1 210,1 112,21 2110,21 311 2.2 61 1,iii 1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵.则则可表示为可表示为若若按列分块表示为按列分块表示为 1,TTA AEAA 即即12(,),n TA AE 1212TTnTn 11,1E亦即亦
17、即其中其中1()(,1,2,).0ijn nif iji jnif ij ()()Tijn nijn n 的列向量是标准正交组的列向量是标准正交组.nR的一个标准正交基的一个标准正交基.正交矩阵正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的个列（行）向量构成向量空间 的行向量是标准正交组的行向量是标准正交组.若若为正交矩阵，则为正交矩阵，则=线性变换称为线性变换称为正交变换正交变换.设设=为为正交变换正交变换，则有，则有y Tx x TTx P Px ,Ty yy y ,.x xx经经正交变换后向量的长度保持不变正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变内积保持不变,从而从而夹角保持不变夹角保持不变.
18、1849998149994479991112310121112 111226120,26111226 11132612036111326 判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵.对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指均指实对称矩阵实对称矩阵对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.若阶若阶对称对称阵阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个向量恰有个（不证）（不证）iti it若若为为阶阶对称对称阵，则必有正交阵，则
19、必有正交矩阵矩阵，使得，使得1PAP 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.4.2.2.;,0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.1.;的的特特征征值值求求 A1PAP 例例设矩阵设矩阵222254245A求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使得，使得为对角阵。为对角阵。例例设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于的属于特征值特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为（1）A A的属于特征值的属于特征值3 3的特征向量的特征向量。（2）求矩阵求矩阵A A。12(1,1,1),(1,2,1)TT
