1、 一一道道作作业业题题的的拓拓展展探探究究 为由源头为由源头 活水来活水来 。问渠哪得清如许，问渠哪得清如许，一块直角三角形木板的一条直角边一块直角三角形木板的一条直角边BC,AB的的长分别为长分别为1.5米，米，2米，要把它加工成一个面积最米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图如图，图，图所示，请你用学过的知识说明哪位所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留计算结果中的分数可保留）CDBFEABADEFGC来源来源【浙
2、教版九年级上数学作业本（浙教版九年级上数学作业本（1）第）第34页第页第14题题】原题展示原题展示（九上（九上P118第第5题）题）如图所示，如图所示，有一块三角形余料有一块三角形余料ABC，它的边它的边BC=120mm,高线高线AD=80mm,要把它加工成正方要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上。问加工成的正方形的边长为多少上。问加工成的正方形的边长为多少mm?解：设加工成的正方形为解：设加工成的正方形为PQMN，边长为边长为x mm,边边QM在在BC上，顶点上，顶点P，N分别在分别在AB，AC上，高线上
3、，高线AD与与PN相交于点相交于点E。PNBCAPN ABCAE/AD=PN/BC列出方程列出方程 （80 x)/80=x/120,解解得得 x=48(mm).答：加工成的正方形零件的边长为答：加工成的正方形零件的边长为48mm.ABCPQMNDE 1.题目来源于生活，考查的是学生利用数学知识解决实题目来源于生活，考查的是学生利用数学知识解决实际问题的能力际问题的能力。2.这是一道开放性的题目，需要学生具有较为广阔的思这是一道开放性的题目，需要学生具有较为广阔的思维空间。维空间。3.这类问题所涉及的数学基本知识涵盖了中学数学的多这类问题所涉及的数学基本知识涵盖了中学数学的多个方面，有三角形，四
4、边形和圆等方面的几何知识，有个方面，有三角形，四边形和圆等方面的几何知识，有方程和函数知识方程和函数知识.4.渗透了数形结合和建模的思想，应用知识的能力要求渗透了数形结合和建模的思想，应用知识的能力要求较高，能拓展学生的思维空间，提高知识的迁移能力和较高，能拓展学生的思维空间，提高知识的迁移能力和学生的创新能力。学生的创新能力。BADEFGCFDCBAG图图2E图图bacABC (2003潍坊潍坊)在在 ABC中，中，C=90,AC=4,BC=3.（1）如图）如图1，四边形，四边形GEDF为为ABC的内接正方形，的内接正方形，求正方形边长；求正方形边长；（2）如图）如图2，三角形内并排的两个相
5、等的正方形，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于它们组成的矩形内接于ABC求正方形的边长；求正方形的边长；ECBAGDF图图1FDCBAG图图2E取景对比中考链接（3）如图）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形，三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于它们组成的矩形内接于ABC求正方形的边长；求正方形的边长；（4）如图）如图4，三角形内并排的，三角形内并排的n个相等的正方形，个相等的正方形，它们组成的矩形内接于它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；，求正方形的边长；CABGEDF图图3BCAGDE图图4F（烟台）（烟台）如图，在如图，在RtABC内有边长分别
6、内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（为的三个正方形，则满足的关系式是（）A、b=a+c B、b=ac C、b2=a2+c2 D、b=2a=2c 取景对比bacABC（变式练习）（变式练习）有一块三角形余料有一块三角形余料ABC，它的边，它的边BC=120mm，BC边上的高线边上的高线AD长长80mm，四边形，四边形DEFG是三角形的内接矩形，是三角形的内接矩形，设设PQ长为长为xmm，求矩形面积，求矩形面积y关于关于x的函数解析式，的函数解析式，并求矩形面并求矩形面积的最大值，并说明点积的最大值，并说明点P在何处。在何处。ABCPQMNDE拓展拓展2：当矩形当矩形PQMN与与ABC的
7、面积之比为的面积之比为3 8时，求矩形时，求矩形PQMN的周长的周长.拓展拓展1：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。这两个矩形，若不存在，请说明理由。取景对比(2006天津）天津）已知已知RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8。（。（）如图，）如图，若半径为若半径为r1的的 O1是是RtABC的内切圆，的内切圆，求求r1；取景对比EGFO1ABC（）如图，若半径为）如图，若半径为r2的两个等圆的两
8、个等圆 O1、O2外切，且外切，且 O1与与AC、AB相切，相切，O2与与BC、AB相切，求相切，求r2；图图（）如图，当）如图，当n大于大于2的正整数时，若半的正整数时，若半径径rn的的n个等圆个等圆 O1、O2、On依次外切，且依次外切，且 O1与与AC、BC相切，相切，On与与BC、AB相切，相切，O1、O2、O3、On-1均与均与AB边相切，求边相切，求rn.图图 即即SABC=SAO1C+SBO2C+SAO1G+SO2GB+SCO1 O2+SO1 O2G=ACrI IO1O2 I IBA BADEFGCABC（温州）（温州）一张等腰三角形纸片，底边长一张等腰三角形纸片，底边长l5cm
9、，底边上的高长，底边上的高长225cm现沿底边现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是是正方形，则这张正方形纸条是()A第第4张张 B第第5张张 C.第第6张张 D第第7张张(07宜宾)已知：如图，在半径为已知：如图，在半径为4的的 O中，中，圆心角圆心角AOB=90，以半径，以半径OA、OB的的中点中点C、F为顶点作矩形为顶点作矩形CDEF，顶点，顶点D、E在在 O的劣弧上，的劣弧上，OMDE于点于点M.试求图中试求图中阴影部分的面积阴影部分的面积.(结果保留
10、结果保留)(09兰州兰州)如图如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为高度为6米，底部宽度米，底部宽度OM为为12米米.现以现以O点为原点，点为原点，OM所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.(1)直接写出点直接写出点M及抛物线顶点及抛物线顶点P的坐标；的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形若要搭建一个矩形“支撑架支撑架”AD-DC-CB，使，使C、D点在抛物线上，点在抛物线上，A、B点在地面点在地面OM上，则这个上，则这个“支支撑架撑架”总长的最大值是多少总长的最大值是多少？(09兰州兰州)
11、如图如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为高度为6米，底部宽度米，底部宽度OM为为12米米.现以现以O点为原点，点为原点，OM所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.(1)直接写出点直接写出点M及抛物线顶点及抛物线顶点P的坐标；的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形若要搭建一个矩形“支撑架支撑架”AD-DC-CB，使，使C、D点在抛物线上，点在抛物线上，A、B点在地面点在地面OM上，则这个上，则这个“支支撑架撑架”总长的最大值是多少总长的最大值是多少？(九下九下P60第第6题）题）已知一块等腰
12、三角形的钢板已知一块等腰三角形的钢板的底边长为的底边长为60cm,腰长为腰长为50cm。1.求能从这块钢板上截得最大圆的半径求能从这块钢板上截得最大圆的半径。2.求这个等腰三角形的外切圆的半径。求这个等腰三角形的外切圆的半径。3.求这等腰三角形钢板的内心与外心的距离。求这等腰三角形钢板的内心与外心的距离。ABC 如图，如图，DEFG为直角三角形为直角三角形ABC的内接矩形，的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为三个内切圆的半径从小到大依次为r1,r2和和r3。证明：当内接矩形的面积达到最大时，证明：当内接矩形的面积达到最大时，r12+r22=r32。变式拓展GEDABCF 感悟与反思感悟与反思 。具有较强代表性和典型性的习题是具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学中尤其在初三数学问题的精华，教学中尤其在初三总复习时，要善于总复习时，要善于“借题发挥借题发挥”，使，使知识网络化，整合思维模式，培养学知识网络化，整合思维模式，培养学生复合思维，形成网络技能。走出题生复合思维，形成网络技能。走出题海战术，真正做到轻负高质海战术，真正做到轻负高质 。学会变化，把握不变学会变化，把握不变
