1、三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换 人民教育出版社人民教育出版社 龙正武龙正武2B 版：版：第一章第一章 基本初等函数（基本初等函数（）第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换为什么叫基本初等函数（为什么叫基本初等函数（II）？）？为什么要分成两章？为什么要分成两章？3三角函数的地位与作用三角函数的地位与作用 传统：测量。传统：测量。课标：三角函数是描述周期现象的重要课标：三角函数是描述周期现象的重要的数学模型。的数学模型。电磁波电磁波 Fourier级数级数01()sin()kkkf xAAk t4第一章第一章 基本初等函数（基本初等函数（）1.1 任意角的概念及弧度制任意角的概念及
2、弧度制1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数1.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质51.1 任意角的概念及弧度制任意角的概念及弧度制1.1.1 角的概念的推广角的概念的推广690(30)903060AOCAOBBOC 各角和的旋转量等于各角旋转量的和。各角和的旋转量等于各角旋转量的和。7 例例 1 射线射线 OA 绕端点绕端点 O 顺时针旋转顺时针旋转 80 到到 OB 的位置，接着逆时针旋转的位置，接着逆时针旋转 250 到到 OC 的位置，然后再顺时针旋转的位置，然后再顺时针旋转 270 到到 OD 位位置，求置，求 AOD 的大小。的大小。转角运算的几何意义。转角运算的几何意
3、义。8为什么要这样做？为什么要这样做？角运算的几何意义，角运算的几何意义，有助于帮助学生理解，为有助于帮助学生理解，为用对称变换等证明诱导公用对称变换等证明诱导公式打下伏笔。式打下伏笔。1802，1802，xy p 29思考与讨论思考与讨论1.如果如果 是第一象限的角，那么是第一象限的角，那么 的取的取值范围可以表示为怎样的不等式？值范围可以表示为怎样的不等式？2.如果如果 分别是第一、第二、第三和第分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么四象限的角，那么 分别是第几象限分别是第几象限角？角？210可能存在的困难可能存在的困难2 2|,363kkkZ|33132k knknknnZZ或或，为
4、什么要对为什么要对 k 这样分类讨论？这样分类讨论？|,262kkkZ11 练习练习A 1.判断：（判断：（2）终边相等的角一定相等。）终边相等的角一定相等。如果角如果角 和角和角b 的终边相同，则它们之间的终边相同，则它们之间的大小有何关系？的大小有何关系？答：存在一个整数答：存在一个整数 k，使得，使得 b k360。121.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算弧度制和弧度制与角度制的换算 旋转时，射线上的旋转时，射线上的点形成圆弧。点形成圆弧。2360llnrr 为什么不用单位圆定义？为什么不用单位圆定义？13角的集合与实数集角的集合与实数集 R 之间的一一对应。之间的一一对应。角度制是
5、角度制是60进制，弧度制是十进制。进制，弧度制是十进制。角度值换算为弧度值的算法。角度值换算为弧度值的算法。建议讲解：机械，但步骤清楚。建议讲解：机械，但步骤清楚。角度数角度数 n 与角度与角度 n 的区别。的区别。例例 3 可以不讲，例可以不讲，例 4 要求学生掌握。要求学生掌握。141.2 任意角的三角函数任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义三角函数的定义 锐角三角函数锐角三角函数15任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义:相似三角形相似三角形为什么不用单位圆定义？为什么不用单位圆定义？16三角函数的自变量三角函数的自变量 如果点如果点 P(x，y)是角是角 终边上一点，那么终边上
6、一点，那么定义定义 称为余弦函数。称为余弦函数。问题：余弦函数中的自变量是谁？问题：余弦函数中的自变量是谁？22cosxxy，17 教材：教材：叫做角叫做角 的余弦，记作的余弦，记作cos ，即，即cosxr。xr 对于每一个确定的角对于每一个确定的角，有唯一的余，有唯一的余弦值与之对应，因此这个对应法则是以弦值与之对应，因此这个对应法则是以 为自变量的函数，叫做为自变量的函数，叫做 的余弦函数。的余弦函数。18例例 2 求下列各角的六个三角函数值：求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）p；（3）。练习练习A 3.填表：特殊角的三角函数。填表：特殊角的三角函数。探索与研究：探索与研究：算
7、任意角的三角函数值的算法。算任意角的三角函数值的算法。32191.2.2 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线用到了轴上向量及其数量的知识。用到了轴上向量及其数量的知识。建议先讲点轴上向量的知识（数学二建议先讲点轴上向量的知识（数学二2.1.1 或或 数学四数学四 2.1.5）。）。可以用有向线段来解释。可以用有向线段来解释。20为什么要用单位圆？为什么要用单位圆？正切线为什么在正切线为什么在 x=1 这条线上？这条线上？cos=sinxyrr，tanyx21思考与讨论：思考与讨论：时，时，的大小关系。的大小关系。,sin,tanxxx(0,)2xxyOABC221.2.3 同角三角函数的基本
8、关系式同角三角函数的基本关系式22sincos1sintancosxxxxx例例3.已知已知求求 tan 的值。的值。5sincos1802705xx，23奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。cos()coscossinsinbbb诱导公式传统的处理方式：诱导公式传统的处理方式：cos()coscossinsin222sin1.2.4 诱导公式诱导公式24xyAB pCA(cos，sin)B(cos()，sin()C(cos(p)，sin(p)cos()cossin()sin cos()cossin()sin 25cossin,sincos22(cossin)P，(sincos)M
9、，(sincos)N，2()2PONAOMMOBxyPBN p2MA261.3 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质sinyxsin()yAxcosyxtanyxtanyxsincosyxyxsin()cos()yAxyAx27 设设 t=sin x，则有，则有 y=(t-1)2+2，t-1，1。转化为二次函数的问题。转化为二次函数的问题。y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2求求 y=(sin x-1)2+2 的值域的值域1.3.1 正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质28 在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=-1 时，时，|t-1|最大，函数最大，函
10、数 y=(t-1)2+2 取得最大值，最大取得最大值，最大值为值为 6。在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=1 时，时，|t-1|最小，函数最小，函数 y=(t-1)2+2 取得最小值，最小取得最小值，最小值为值为 2。29 y=(sin x-1)2+2 y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+230 “我们可以把我们可以把 2x 当成一个新的变量当成一个新的变量 u，即，即u=2x。函数。函数 y=sin u 的周期为的周期为 2p，这就是说，这就是说，当当 u 增加到且至少要增加到增加到且至少要增加到 u+2p时，函数的时，函数的值才重复取得，而值才重复取得，而
11、u+2p 2x+2p 2(x+p)。因此，当自变量因此，当自变量 x 增加到且必须增加到增加到且必须增加到x+p 时，函数的值才重复取得。时，函数的值才重复取得。因此函数因此函数y=sin 2x 的周期为的周期为 p。”已知已知 f(x)的周期为的周期为 T，则，则 f(3x)的周期为？的周期为？求周期：求周期：y=sin 2x31 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数 先图象还是先性质？先图象还是先性质？1.3.2 余弦函数、正切函数的图象和性质余弦函数、正切函数的图象和性质cossin()2yxx32注意细节注意细节数学四第数学四第52页例页例2：判断判断 y=cos x+2 的奇偶性。的奇
12、偶性。因为因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2，所以所以是偶函数。是偶函数。33 解：把函数解：把函数 y=cos x+2 记为记为f(x)=cos x+2。因为因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x)，所以是偶函数。所以是偶函数。平移平移 y=sin x+2341.3.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角重点在于特殊值，其余的了解即可。重点在于特殊值，其余的了解即可。arcsin122arccos1arctan22yxxyyxxyyxxyR，-1，-，-1，0，-课标上没有要求。课标上没有要求。35第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换3.1 和角公
13、式和角公式3.2 倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积 课标：经历用向量的数量积推导出两课标：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。向量方法的作用。363.1 和角公式和角公式3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦共有四种证明方法：共有四种证明方法：cos()coscossinsinbbbBECAxyObDcos()OCbFcoscosOEbsinsinECbOCOEEC37cos()coscossinsinbbb(cossin)P，|AQPR(cos()s
14、in()Rbb，(cos()sin()Qbb，(1 0)A，xyPQbbRA38cos()coscossinsinbbbiecosisiniecosisinbbbiie e(cosisin)(cosisin)bbbcos()isin()coscossinsini(sincoscossin)bbbbbbsin()sincoscossinbbb39cos()coscossinsinbbb(cossin)(cossin)PQbb，2 2 OP OQkOP OQkbb ，或，coscossinsinOP OQbb|coscos()OP OQOP OQOP OQb ，xyPQb存在整数存在整数 k，使得
15、，使得 40探索与研究探索与研究cos()OMbcoscoscosOQONbbsinsinsinPQMNRQbbOMONMNcos()coscossinsinbbbcos()coscossinsinbbbNRQMxyOPb41练习练习A 1.下式成立吗？下式成立吗？cos()coscosbb上式一定不成立吗？上式一定不成立吗？恒等问题是学生的一个难点。恒等问题是学生的一个难点。423.1.2 两角和与差的正弦两角和与差的正弦 例：已知点例：已知点 P(x，y)，与原点距离保持不变，与原点距离保持不变，逆时针旋转逆时针旋转角到点角到点 P(x，y)。求证：。求证：cossinsincosxxyy
16、xy43 例例 4 求函数求函数 y=asin x+bcos x的最大值、最的最大值、最小值和周期，其中小值和周期，其中 a，b 是不同时为零的实是不同时为零的实数。数。角角 的存在性和唯一性。的存在性和唯一性。22sin()yabx443.1.1 两角和与差的正切两角和与差的正切tantantan()1tantantantantan()1tantanbbbbbb453.2 倍角公式倍角公式3.2.1 倍角公式倍角公式22222sin22sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan21tan 463.2.2 半角的正弦、余弦和正切公式半角的正弦、余弦和正切公式222si
17、n1 cos22cos1 cos2 1 cossin221 coscos221 costan21 cos 473.3 三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()21sincossin()sin()21cossinsin()sin()2bbbbbbbbbbbb sin()cos()36xx48sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy sin()sin()36xx4922xOMQOMbb，
18、(cossin)(cossin)PQONPQbb，coscossinsin()22Nbb，coscos()coscos2222cossin()sincos2222ORRNbbbbbbbb探索与研究探索与研究50函数函数 的周期和奇偶性。的周期和奇偶性。21()sin2f xx2019 广东广东函数函数 的图象经过点的图象经过点（0，1），求周期和初相。），求周期和初相。()2sin()(|)32f xx51函数函数 的最小正周期的最小正周期和最大值分别为和最大值分别为 ，。sin 2cos 263yxxpp2019山东卷山东卷由函数由函数 的图象怎样才能得到的图象怎样才能得到函数函数 的图象？
19、的图象？cos3yxpsinyx52函数函数 的图象。的图象。sin 2,32yxxp 2019 海南、宁夏海南、宁夏若若 ，求，求 的值。的值。cos222sin()4 sincos53函数函数 的周期和奇偶性。的周期和奇偶性。2()(1cos2)sinf xxx2019 广东广东函数函数 的最大的最大值为值为 1，图象经过点，图象经过点 。（1）求解析式。）求解析式。（2）已知）已知 ，且，且 求求 的值。的值。()sin()(0,0)f xAxA函数函数 的最小正周期。的最小正周期。()(sincos)sinf xxxx1(,)32M,(0,)2 b312(),()513ffb，()fb
20、54已知已知 ，则，则 的的值为值为 。4cossin365p2019山东卷山东卷sin6p函数函数 为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为为 。（1）求）求 的值。的值。（2）平移后求单调区间。）平移后求单调区间。()3sin()cos()(0,0)f xxx 2p()8fp55已知函数已知函数 的的图象，求图象，求 的值。的值。2sin()(0)0,2yxx，2019 海南、宁夏海南、宁夏求求 的值。的值。23sin702cos 10函数函数 的最值。的最值。()cos22sinf xxx56 如图，在平面直角坐标系中，以如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 轴为轴为始边作两个锐角始边作两个锐角、b，它们的终边分别，它们的终边分别与单位圆交于与单位圆交于A、B两点。已知两点。已知 A、B 的的横坐标分别为横坐标分别为 、。（1）求）求 tan(+b)的值。的值。（2）求）求+2b 的值的值2019 江苏江苏2102 55xyBbA57龙正武龙正武 010-5875853213641372260longzwpep
