1、免赔额条款限额条款共同保险条款免赔额条款的目的（1）被保险人可以节约保险成本。（2）可以激励被保险人主动进行风险控制和防范。（3）可以减少保险公司对剩余市场的负担。（4）改善被保险人的现金流。免赔额对赔款的影响。免赔额对直接理赔费用的影响。免赔额对其他费的影响。免赔额对利润和风险附加的影响。在第三者责任保险中，保险公司负责向第三方支付赔款，然后再由被保险人返还免赔额的部分。但由于被保险人破产等原因，一些被保险人可能无法向保险公司返还免赔额。对于这部分未能返还的免赔额，保险公司在定价中应该有所考虑。如果保险人基于现金流量折现模型来定价，还应该考虑免赔额对现金流的影响。例1保费2,000,000
2、期望赔付率65%直接理赔费用（ALAE）占赔款的百分比10%佣金占保费的百分比5%其他变动费用占保费的百分比10%固定费用150,000 表表8-1 不含免赔额保单的定价假设不含免赔额保单的定价假设基于表8-1的假设，在不考虑投资收益的情况下，保险人可以从这份保单获得的承保利润如表8-2所示。(1)保费 2,000,000(2)赔款=(1)期望赔付率 1,300,000(3)直接理赔费用=(2)ALAE占赔款的百分比 130,000(4)佣金=(1)佣金占保费的百分比 100,000(5)变动费用=(1)其他变动费用占保费的百分比 200,000(6)固定费用 150,000(7)承保利润=(
3、1)-(2)+（3）+（4）+（5）+(6)120,000 1.赔款用D表示免赔额，则超额赔款比率（excess ratio）可以表示为：也可以表示为不妨假设损失是离散分布的形式，即具有表8-3 所示的形式。从表8-3可以看出，损失金额为1,000的概率是45%，但只占到平均损失的1.5%=450/29700，而损失金额为1,000,000的概率虽然只有0.2%，但占到平均损失的6.73%。这说明高额损失对平均损失的影响很大。损失金额(2)损失频率(2)期望损失(3)=(1)(2)1,000 45.0%450 5,00020.0%1,00015,00015.0%2,25050,00010.0%
4、5,000100,0006.0%6,000200,0002.0%4,000500,0001.8%9,0001,000,0000.2%2,000平均100%29,700 假设免赔额为D=100000元，利用上表的数据计算超额赔款比率%3729700110002970018007200200029700%2.01000001000000%8.1100000500000%0.2100000200000）（）（）（超额损失比率%3729700110002970018007200200029700%2.01000001000000%8.1100000500000%0.2100000200000）（）（）
5、（超额损失比率免赔额超额赔款比率100,00037.0%200,00023.6%300,00016.8%500,0003.4%免赔额为100,000的情况下，期望超额赔款的计算如表8-5所示。在该表中，（1）（2）是无免赔额条件下保单的期望赔款。（1）无免赔额条件下的保费 2,000,000（2）期望赔付率 65.0%（3）超额赔款比率37.0%（4）期望超额赔款(1)(2)(3)481,481 一种情况是，直接理赔费用与赔款合并在一起，免赔额被应用于赔款和直接理赔费用之和；计算要应用于赔款和直接理赔费用之和，而不是单纯的赔款，相应地，损失分布应该是赔款和直接理赔费用之和的分布。另一种情况是，
6、免赔额只应用于赔款，而直接理赔费用则由保险公司来承担。则无论保单是否包含免赔额，保费中的直接理赔费用是相同的。在本例中，我们假设免赔额只作用于赔款，所以免赔额条款不会减少公司所支付的直接理赔费用。因此在为免赔额为100,000的保单定价时，直接理赔费用（130000元）应该包含在价格之内，如表8-6所示。(1)无免赔额条件下的保费 2,000,000(2)期望赔付率 65%(3)无免赔额条件下的期望赔款(1)(2)1,300,000(4)直接理赔费用在赔款中所占比例 10%(5)直接理赔费用(3)(4)130,000(6)无免赔额条件下的期望赔款和直接理赔费用(3)+(5)1,430,000如
7、果佣金和其他变动费用直接随着保费而变化，那么这些费用可以通过下列公式纳入保费计算过程：情形1：代理人对大型免赔额保单提供与其他保单相同的服务，此时代理人的佣金将是水平的，与保费无关，故可以视为固定费用。情形2：佣金将直接由投保人支付，此时保费中将不包含这一部分佣金（本例假设由投保人支付佣金，故在保费定价中不考虑佣金因素）。佣金和其他变动费用保费中的其他部分1对于带有免赔额的第三者责任保险单，保险公司可能会增加管理费用。我们假设由于应用免赔额而增加的费用是免赔层损失的5%，这部分增加的费用如表8-7所示。如果进一步假设在不含免赔额的保单中，固定费用是150,000，那么对于这份免赔额保单，总的固
8、定费用应为150000+40926=190926元。(1)无免赔额条件下的保费 2,000,000(2)期望赔付率 65%(3)超额赔款比率 37.04%(4)落入免赔层的损失(1)(2)(1)-(3)818,519 (5)因为应用免赔额而增加的费用比率5%(6)因为应用免赔额而增加的固定费用(4)(5)40,926 不含免赔额保单的承保利润为120,000，是承保保费的6%，所以可以假设目标承保利润率为保费的6%。如前所述，高额损失发生的概率很低，但其对平均损失的影响可能很大。换言之，对于免赔额保单，保险公司承担的是可预测性较小，而损失较大的部分，所以，与不含免赔额的保单相比，免赔额保单的风
9、险附加要更高一些。本例假设对于超过免赔额的损失，提取10%的风险附加，即为 481,48110%=48148元。在为免赔额保单定价时，精算师应该增加一部分附加保费，对这部分无法收回的免赔额进行补偿。在本例中，假设为这部分风险收取的附加保费是期望免赔额的1%，其计算结果如表8-8所示免赔层的损失=无免赔额时的保费期望赔付率(1超额赔款比率)818,519 免赔额无法收回的比率1%无法收回的期望免赔额（增加的附加保费）8,185(1)期望超额赔款（超过免赔额的期望损失）481,481(2)直接理赔费用（ALAE）130,000(3)固定费用 原有的固定费用50,000 应用免赔额增加的固定费用40
10、,926(4)应用免赔额增加的风险附加 48,148(5)无法收回的期望免赔额 8,185(6)小计(1)+(2)+(3)+(4)+(5)758,741(7)变动费用 a.佣金0.00%b.利润附加1.80%c.其他12.00%(8)最终保费(6)/l(7)a(7)b(7)c880,210 在考虑前面所有因素的基础上，假设免赔额只应用于赔款而不应用于直接理赔费用，并且佣金由投保人直接支付，则最终保费的厘定结果如表8-9所示，为880210元。对于低免赔额保单的定价，还有下述一些额外的因素需要考虑：（1）成本因素。许多财产保险单会产生相当数量的小额索赔（比如在汽车保险中，汽车在转弯时的轻微擦伤所
11、导致的索赔）。（2）数据限制。对一个低免赔额保单进行定价的困难在于小额损失信息通常是无法得到的。这部分小额损失的缺失将对构建损失分布造成困难，通常采取下述两种方法加以解决：方法一：基于完全保障（不含免赔额）的经验数据拟合损失分布，并运用外推法得到免赔额以下的损失分布。方法二：基于超过免赔额的经验损失数据拟合损失分布 （3）风险特征。在对免赔额保单定价时，另一个复杂因素是不同风险的投保人会选择不同金额的免赔额。如果不同风险发生的索赔具有不同的损失分布，那么在对免赔额保单定价时需要构建不同的损失分布。（4）方法调整。在对低免赔额保单定价时，有时还需要对前述方法进行以下两种调整：第一，对于不同免赔额
12、的损失经验分别进行分析，并基于这些分析结果对不同免赔额的保单厘定不同的费率。这种调整需要大量的数据支持，因此只能在大型保险公司运用。第二，由于数据结构的不同，对前面的计算方法也可以进行调整，即在计算时使用赔款消减比率，而不是超额赔款比率。假设有关数据如表8-10所示（本表假设免赔额为100）。我们可以定义赔款消减比率(loss elimination ratio,LER)，即由于免赔额的应用所减少的赔款比例。在表8-10中，当免赔额为100时，很容易计算赔款消减比率为 实际损失经验 赔偿限额 赔款次数 总赔款 100及其以下 n1 L1 100以上 n2 L2 合计 n1+n2 L1+L2 2
13、121100LLnL损失消减率假设损失分布的密度函数为f(x)，免赔额为D，下面说明超额赔款比率与赔款消减比率之间的转换关系。0)()()(dxxxfdxxfDxD00000)()()(1)()()()(dxxxfdxxfDdxxxfdxxxfdxxDfdxxxfdxxxfDDDD 超额赔款比率=1赔款消减比率免赔额条款限额条款共同保险条款增限因子是较高限额下的期望保险成本与基本限额下的期望保险成本之比。在责任保险的定价中为什么要使用增限因子？主要原因在于数据的可信度。通常的解决方法是把期望成本的估计分解分为两部分进行处理。首先，计算所有风险类别基本限额下的期望成本。因为小额赔款通常有大量的数
14、据，所以可以使用它们来计算各种风险类别在基本限额下的期望成本。其次，在合并风险类别的基础上计算增限因子。然后用增限因子乘以不同风险类别基本限额下的期望成本，就可以求得不同风险类别在较高限额下的期望成本。B表示基本限额，则限额L相对于基本限额B的增限因子可以定义为：期望成本包括赔付成本、直接理赔费用、间接理赔费用和风险附加四个部分。增限因子通常基于每次索赔的限额或每次事故的限额来计算。每次索赔的限额表示在一次事故中支付给一个索赔人的限额。每次事故的限额表示在一次事故中支付给所有索赔人的总限额。LLB限额为 的期望成本限额为 的增限因子限额为 的期望成本1、首先讨论仅包含期望赔付成本的增限因子通常
15、设定以下两个基本假设：（1）索赔频率与索赔强度相互独立，于是上面的公式可以表示为：（2）索赔频率独立于所购买的保单限额，换言之，限额为L的期望索赔频率等于限额为B的期望索赔频率。LLB限额为 的期望赔付成本限额为 的增限因子限额为 的期望赔付成本LLLBB限额为 的期望索赔频率 限额为 的期望索赔强度限额为 的增限因子限额为 的期望索赔频率 限额为 的期望索赔强度LLB限额为 的期望索赔强度限额为 的增限因子限额为 的期望索赔强度只包括赔付成本的增限因子可以用不同限额下的期望索赔强度来表示。注意，这里讨论的保单限额是最基本的形式，即每次索赔的限额和每次事故的限额。在其他类型的限额中，计算增限因
16、子是需要考虑索赔频率的。此外，如果上述提及的两个假设中任何一个不成立，也需要考虑索赔频率。2、考虑直接理赔费用、间接理赔费用和风险附加等因素的增限因子的一般形式为：LLLLBBB限额为 的平均赔款限额为 的理赔费用 限额为 的风险附加限额为 的增限因子限额为 的平均赔款限额为 的理赔费用 限额为 的风险附加类型（1）每次索赔/每次事故的限额。（2）事故/年度累积限额。方法首先计算每次索赔或每次事故限额下的增限因子。然后通过随机模拟的方式计算复合限额下的增限因子。为了计算在不同责任险限额下的赔付成本，首先需要计算在不同责任险限额下的有限期望赔款。有限期望赔款是在保单限额以下的赔款的平均值。例21
17、.使用经验赔款数据来计算有限期望赔款。损失额限额为100,000时的赔款限额为500,000时的赔款6000060,00060,000120000100,000120,000550000100,000500,000合计260,000680,000有限期望赔款 86,667 226,6672、使用汇总数据，并把汇总的赔款经验数据制作成不同大小的区间数据。在整理赔款经验数据时，一般的做法是将每一个区间的端点设定为希望得到的限额。表8-12是按区间汇总后的赔款经验数据，下面应用这组数据来计算有限期望赔款。赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00060,000,000500200,001500,
18、00090,000,000300500,0011,000,00075,000,0001001,000,0012,000,00060,000,000502,000,001-52,000,00020为了在每一个限额下计算有限期望赔款，我们需要将赔款数据分解为两部分。譬如，如果要计算限额为200,000的有限期望赔款，首先需要计算所有小于和等于200,000的赔款总和（为60,000,000），再加上所有超过200,000的每一笔赔款中的200,000，由此可以得到限额为200,000的有限期望赔款为：(60,000,000+470 200,000)/970=158,763同样地，限额为1,000,
19、000的有限期望赔款为：(225,000,000+70 1,000,000)/970=304,124限额为2,000,000的有限期望赔款为：(285,000,000+20 2,000,000)/970=335,052因此，如果基本限额为200,000，则只考虑赔付成本的增限因子分别为：限额为1,000,000的增限因子=304,124/158,763=1.92限额为2,000,000的增限因子=335,052/158,763=2.11经验赔款数据服从某种连续分布，有限期望赔款可以表示为 01uxf x dxuF x 001uuF xdxS x dx在实际中，许多赔款数据都是截尾数据，即在保单
20、赔偿限额处被截断了。为了处理截尾的赔款数据，我们需要根据不同保单的限额对数据进行分类。例3假设上例中使用的赔款数据分别来自限额为200,000元、1,000,000元和2,000,000元的保单，各自所占的比例为2:3:5。为了便于比较，我们首先根据2:3:5的比例将表8-12中的每一个实际赔款区间分解为三部分，结果如表8-13、表8-14和表8-15所示。这些赔款数据是完整的，假设还没有受到保单限额的影响。赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00012,000,000100200,001500,00018,000,00060500,0011,000,00015,000,000201,0
21、00,0012,000,00012,000,000102,000,001-10,400,0004表8-13限额为限额为200,000200,000元的保单的完整赔款数据元的保单的完整赔款数据表8-14限额为限额为1,000,0001,000,000元的保单的完整赔款数据元的保单的完整赔款数据赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00018,000,000150200,001500,00027,000,00090500,0011,000,00022,500,000301,000,0012,000,00018,000,000152,000,001-15,600,000694赔款下限赔款上限赔款
22、总和事故次数1200,00030,000,000250200,001500,00045,000,000150500,0011,000,00037,500,000501,000,0012,000,00030,000,000252,000,001-26,000,00010表8-15限额为限额为2,000,000元的保单的完整赔款数据元的保单的完整赔款数据在考虑保单赔偿限额的影响以后，表8-13、表8-14和表8-15的赔款数据将分别变为表8-16、表8-17和表8-18的形式。以表8-13为例，在限额200,000的条件下，有94笔赔款将加入到第一个赔款区间，每笔赔款都按200,000元计算，所以
23、第一个区间的总赔款金额为12,000,000+94200000=30,800,000，结果如表8-16所示。赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00030,800,000194200,001500,000-500,0011,000,000-1,000,0012,000,000-2,000,001-表表8-16 限额为限额为200,000元的保单的限额赔款数据元的保单的限额赔款数据表8-17和表8-18的计算过程类似赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00018,000,000150200,001500,00027,000,00090500,0011,000,00043,500,00
24、0511,000,0012,000,000-2,000,001-表表8-17 限额为限额为1,000,000元的保单的限额赔款数据元的保单的限额赔款数据赔款下限赔款上限赔款总和事故次数1200,00030,000,000250200,001500,00045,000,000150500,0011,000,00037,500,000501,000,0012,000,00050,000,000352,000,001-表表8-18 限额为限额为2,000,000元的保单的限额赔款数据元的保单的限额赔款数据在计算最低限额保单的有限期望赔款时，可以使用所有的保单数据。因此限额为200,000元的有限期望
25、赔款为：表8-17和表8-18的数据可以求得限额为1,000,000元的保单和限额为2,000,000元的保单在200,000到1,000,000区间的赔款 30,800,00018,000,000 141 200,000 30,000,000235 200,000 158,763 194291485 赔款下限赔款上限赔款总和事故次数在200,000到1,000,000区间的赔款1200,00018,000,000150-200,001500,00027,000,000909,000,000500,0011,000,00043,500,0005133,300,000表表8-19 限额为限额为1
26、,000,000元的保单在元的保单在200,000到到1,000,000区间的赔款区间的赔款赔款下限赔款上限赔款总和事故次数在 2 0 0,0 0 0 到1,000,000区间的赔款1200,00030,000,000250-200,001500,00045,000,00015015,000,000500,0011,000,00037,500,0005027,500,0001,000,0012,000,00050,000,0003528,000,000表表8-20 限额为限额为2,000,000的保单在的保单在200,000到到1,000,000区间的赔款区间的赔款1、在表8-19中，首先从原
27、始赔款减去每笔赔款的前200,000元，这样，在限额为1,000,000元的条件下，可以算出落在200,000元到1,000,000元区间的赔款为：27,000,000 90 200,000=9,000,000元43,500,000 51 200,000=33,300,000元同样地，在表8-20中，在限额为2,000,000元的条件下，落在200,000元元到1,000,000元之间的赔款为：45,000,000 150 200,000=15,000,000元37,500,000 50 200,000=27,500,000元2、对于超过1,000,000的赔款，每一笔落在200,000元到1
28、,000,000元之间的金额均为800,000元，故总额为：35 800,000=28,000,000元3、将上述结果加总，可以求得限额为1,000,000元的保单和限额为2,000,000元的保单落在200,000元到1,000,000元之间的总赔款为：9,000,000+33,300,000+15,000,000+27,500,000+28,000,000=112,800,000元4、而限额为1,000,000元的保单和限额为2,000,000元的保单发生的事故总次数为：150+90+51+250+150+50+35=776因此，每次事故落在200,000到1,000,000之间的平均赔款
29、为：112,800,000/776=145,361元5、计算出限额为1,000,000时的有限期望赔款为下述两项之和：（1）限额为200,000时的有限期望赔款（2）落在200,000到1,000,000之间的平均赔款即为：158,763+145,361=304,124。请同学们计算限额为2,000,000元时的有限期望赔款例4如果所有赔款都增长了10%。1.相应的赔款如表8-22的第二栏所示。显然，总赔款也增长了10%。完整的损失金额限额为200,000限额为1,000,000限额为2,000,000趋势前趋势后趋势前趋势后趋势前趋势后趋势前趋势后100,000110,000100,0001
30、10,000100,000110,000100,000110,000300,000330,000200,000200,000300,000330,000300,000330,000970,0001,067,000200,000200,000970,0001,000,000970,0001,067,0001,200,0001,320,000200,000200,0001,000,0001,000,0001,200,0001,320,0001,980,0002,178,000200,000200,0001,000,0001,000,0001,980,0002,000,0002,100,0002,3
31、10,000200,000200,0001,000,0001,000,0002,000,0002,000,000合计1,100,0001,110,0004,370,0004,440,0006,550,0006,827,000实际增长趋势0.91%1.60%4.23%2.相对较小的限额（200,000）将无限额条件下的增长趋势（10%）降低到0.91%，当限额为1,000,000时，从10%降低到1.60%，这个数字虽然比限额为200,000时的趋势影响大，但还是显著低于无限额条件下的趋势变化。当限额为2,000,000时，实际趋势为4.23%。对于超额赔款层（即从某个起赔点开始到赔偿限额的赔款
32、层），讨论通货膨胀的杠杆效应时需要考虑两方面的影响：（1）在趋势前和趋势后的赔款数据中都不会包含小于起赔点的数据。这部分赔款在趋势后有可能进入赔款层，从而产生通货膨胀的杠杆效应。（2）有些赔款在趋势前就已经达到或超出了赔偿限额，因此可以降低趋势的影响。完整的损失金额起赔点300,000起赔点1,000,000起赔点2,000,000限额700,000限额1,000,000限额2,000,000趋势前趋势后趋势前趋势后趋势前趋势后趋势前趋势后100,000110,000-300,000330,000-30,000-970,0001,067,000670,000700,000-67,000-1,2
33、00,0001,320,000700,000700,000200,000320,000-1,980,0002,178,000700,000700,000980,0001,000,000-178,0002,100,0002,310,000700,000700,0001,000,0001,000,000100,000310,000合计2,770,0002,830,0002,180,0002,387,000100,000488,000实际趋势2.17%9.50%388.00%表表8-23 10%的增长趋势对含有起赔点和限额的赔款数据的影响的增长趋势对含有起赔点和限额的赔款数据的影响使用经验数据应注意
34、下述问题：1.保单限额所导致的截尾数据。2.在已报案的数据中，通常会包含带有免赔额保单的数据或是超赔保单的数据。3.过去发生的损失数据必须经过趋势调整才能用于预测未来的损失分布。4.最近发生的事故可能还没有结案，因此用于计算赔款的数据是不完整的。5.经验数据经常受到随机波动的影响，特别是对于数据稀缺的高额损失层。连续分布的应用1.截断帕累托分布 1 01qp tsxsstpsf xsxtt tsptxtx，x=赔款额t=截断点p=赔款额小于等于t的概率s=小于等于t的平均赔款额q=帕累托分布的尺度参数a=帕累托分布的形状参数容易证明，上述密度函数在区间(0，t的概率为p，在区间(t，)的概率为
35、1-p。对于截断帕累托分布，限额为u时的有限期望赔款可以表示为 11ptpstux2.混合指数分布被美国保险服务公司(ISO)用于处理有关经验数据的拟合问题。其基本步骤如下：对原始数据进行趋势化 分别不同的赔付延迟计算经验生存分布 将前述的经验生存分布通过加权平均，组合成整体的经验生存分布 对加权平均的经验生存分布的尾部做平滑处理 用混合指数分布拟合这个平滑后的加权平均经验生存分布（1）理赔费用在通常条件下，责任险保单规定保险公司为被保险人提供无限额的法律辩护，且与所购买的保单限额无关。通常利用进展完全的经验数据来计算直接理赔费用与赔付成本的平均比率，然后用这个比率乘以有限期望赔款的平均值(根据历史保单限额的分布求平均)，可以得到直接理赔费用的估计值。间接理赔费用通常表示为期望赔付成本和直接理赔费用的一定百分比。对于不同的保单限额一般采用相同的百分比。（2）风险附加保险公司提供高限额的保单往往会导致风险分散的降低和损失变异程度的增大。例4两个限额为100,000的保单，其期望赔款之和可能等于一个限额为1,000,000的保单，但是一个限额为1,000,000的保单，其赔款的方差要远远高于两个低限额保单的方差之和。在实务中，保险公司可以将提高限额所增加的风险在增限因子的计算中通过风险附加的方式进行弥补。
