1、向量空间的概念、基、维数向量空间的概念、基、维数4 向量空间向量空间下页关闭本节是站在本节是站在“空间空间”的高度研究的高度研究“向量组向量组”，同学们，同学们须对须对“向量空间向量空间”的概念有初步认识。的概念有初步认识。向量空间的定义向量空间的定义 例例 11 3 维向量的全体维向量的全体 R 3，就是一个向量空间，就是一个向量空间，n 维向量全体维向量全体 R n，也是一个向量空间。，也是一个向量空间。（由定义（由定义6易验证）。易验证）。.,;,为向量空间为向量空间就称就称那么那么则则若若则则即若即若闭闭对于加法及数乘运算封对于加法及数乘运算封且集合且集合非空非空如果集合如果集合维向量
2、的集合维向量的集合为为设设VVRVVVVVVnV 定义定义6 6上页下页返回例例1212 .,2,1,|),0(2是一个向量空间是一个向量空间集合集合niRxxxxViTn ,),0(,),0(22VbbbVaaaTnTn 因为若因为若.),0(,),0(222VaaaVbababaTnTnn 则则上页下页返回.)2,2,2(22Vaaan 则则例例1313.,2,1,|),1(2不是一个向量空间不是一个向量空间集合集合niRxxxxViTn ,),1(2VaaaTn 因为若因为若上页下页返回是两个已知的向量，集合是两个已知的向量，集合,|RbaxV 是一个向量空间。是一个向量空间。因为若因为
3、若,111bax ,222bax ,)()(212121Vbaxx 则有则有.111Vbkakxk 例例1414ba,设设这个空间称为由这个空间称为由生成的向量空间。生成的向量空间。ba,上页下页返回所所生成生成的向量的向量,2,1,|2211miRaaaxVimm ,2,1,|22111miRaaaxVimm ,2,1,|22112siRbbbxViss 试证试证 V1=V2。例例1515一般地，由向量组一般地，由向量组maaa,21空间为空间为记记等价等价与向量组与向量组设向量组设向量组,2121smbbbaaa上页下页返回证证 设设,1Vx,2Vx 所以所以.21VV 因此因此类似地可证
4、：若类似地可证：若,2Vx,1Vx 则则.12VV 因此因此,21VV 因为因为,12VV .11VV 所以所以定义定义7 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2,若若,21VV 则称则称V1是是 V2 的的子空间子空间。.,21线线性性表表示示可可由由则则maaax.,212121线线性性表表示示可可由由线线性性表表示示可可由由因因ssmbbbxbbbaaa上页下页返回 例如例如，任何由，任何由 n 维向量所组成的向量空间维向量所组成的向量空间V，总有，总有,nRV 所以这样的向量空间总是所以这样的向量空间总是Rn 的子空间。的子空间。如果向量空间如果向量空间V 没有基，那么称没有基，那
5、么称V 的的维数为维数为0 0。0 0维维向量空间只有一个零向量向量空间只有一个零向量 0 0。定义定义1414 设设V为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量组成个向量组成的向量组的向量组A A:个个基基，r 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数，并称，并称 V 为为 r 维维向量空间。向量空间。且满足且满足,21Vaaar;,).1(21线性无关线性无关raaa.,).2(21线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由raaaVraaa,21那么向量组那么向量组就称为向量空间就称为向量空间V 的一的一上页下页返回 例如，任何例如，任何 n 个个线性无关线性无关的的 n 维向
6、量都可以作维向量都可以作为向量空间为向量空间 Rn 的一个基。的一个基。Rn 的的维数维数是是n 。又如向量空间又如向量空间的一个基可取为：的一个基可取为：.)1,0,0(,0,0,1,02TnTee 由此可知它是由此可知它是 n1 维向量空间。维向量空间。,2,1,|),0(2niRxxxxViTn 若把向量空间看着向量组，则按若把向量空间看着向量组，则按3 3定理定理5 5推论推论3 3可知，可知，V 的的基基就是向量组的一个就是向量组的一个最大无关组最大无关组。V 的的维数维数就是向量组的就是向量组的秩秩。上页下页返回所所生成生成的向量空间的向量空间,2,1,|2211niRaaaxVi
7、nn 若向量空间若向量空间,nRV 则则V 的维数不会超过的维数不会超过 n。当当V 的维数等于的维数等于 n 时，时，.nRV naaa,21由由向向量量组组,21等等价价与与向向量量组组显显然然向向量量空空间间naaaV,21的的一一个个基基的的最最大大无无关关组组就就是是所所以以向向量量组组Vaaan.,21的的维维数数的的秩秩就就是是向向量量组组Vaaan上页下页返回例例16,243041),(,221212122),(21321 bbBaaaA设设.,213321表表示示用用这这个个基基线线性性并并把把的的一一个个基基是是验验证证bbRaaa解解3R的一个基，只要证的一个基，只要证即
8、只要证即只要证AE。是是要要验验证证321,aaa,321线线性性无无关关aaa上页下页返回 .,3231222112113212133222211223312211111AXBxxxxxxaaabbaxaxaxbaxaxaxb 记记作作即即设设 BA|对矩阵对矩阵施行初等施行初等行行变换，变换，3R的一个基。且当的一个基。且当A 变为变为E 时，时，B 变为变为.1BAX 若若A 能变能变是是则则为为321,aaaE上页下页返回 242213021241122|BA 5533032030311112)(311312321rrrrrrr.32110013201034320013535110132010311113)3(233132 rrrrrr上页下页返回 .3211323432,32121 aaabb3R的一个基。且的一个基。且是是故故因因321,aaaEA上页返回
