1、 一一.定义定义 二二.倒易点阵和晶体点阵的关系倒易点阵和晶体点阵的关系 三三.倒易点阵的物理意义倒易点阵的物理意义 四四.倒易点阵实例倒易点阵实例 五五.布里渊区布里渊区参考：黄昆书参考：黄昆书 1.3 节；节；p175-179;Kittel 8版版 2.3 节节1.7 晶体的倒格子和布里渊区晶体的倒格子和布里渊区(Reciprocal lattice;Brillouin zones)晶格周期函数傅里叶级数展开 当一个点阵具有位移矢量时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 也应该具有周期性：两边做Fourier展开展开，有：显然：即：123111nRn an an a()r()()
2、nrrR 既然既然 是正点阵的格矢，符合该关系的是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵就是倒易点阵的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从的表述之间服从Fourier变换关系。变换关系。nR hG!()exp()()exp()exp()!hhhhhnKKnGiGrGiGriGRrnrexp()12hnhniGRGRm 一一.定义：定义：假设 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的 格矢为：原胞体积是：现在定义现在定义 3个新的基矢个新的基矢 构成一个新点阵构成一个新点阵：321213321132321321222aa
3、aaabaaaaabaaaaab位移矢量位移矢量 就构成了上面点阵的就构成了上面点阵的倒易点阵，倒易点阵，上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念更是整个固体物理的核心概念。123,a a a 123111nRn an an a 123,b b b 2123122hGh bh bh b（h1,h3,h3 是整数。）)(321aaa 二二.倒易点阵和晶体点阵之间的关系倒易点阵和晶体点阵之间的关系：倒易点阵是从晶
4、体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系它和正点阵之间有如下关系：2.两个点阵的格矢之积是 的整数倍：3.两个点阵原胞体积之间的关系是：4.正点阵晶面族 与倒易点阵格矢 相互垂直，1.两个点阵的基矢之间：2(,k,l)hhGhkl123Ghbkblb且有：jijiabijijji,0,122hklhkldG 2hnGRm3321*)2()(bbb2.证明：1.证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。3.证明：先证明倒格矢 与正格子的晶面系 正交。如图所示，晶面系 中最靠近原点的晶面（ABC）在正格子基矢 的截距分别为：1 23()hh h1 23()hh
5、 h123,a a a 123123,aaahhh)(m 2)(2)()(321321332211为整数mlnknhnb lbkbhanananGRhkln332211,321bhbhbhGhhh13132323aaCAOAOChhaaCBOBOChh 于是：同理 而且 都在（ABC)面上，所以 与晶面系 正交。,CA CB 1 2 3h h hG1 23()hh h0321CBGhhh022)()(3311332211321hahabhbhbhCAGhhh晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于可以证明：1 2 3()h h hGABC由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中
6、倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而它的大小是该族晶面面间距倒数的它的大小是该族晶面面间距倒数的2倍倍。又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶晶体点阵中的晶面取向和晶面面间距这面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说阵点）就能综合地表达出来。阵点）就能综合地表达出来。3213213213212hhhhhhhhhhhhGGGOAd(2)(2)晶面族（晶面族（h1h2h3)的面间距的面间距d d为为hGd 2证明
7、证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d)。hhhhhGGbhbhbhhaGGOAdGOAGOAOAd 2133221111)(coscos又又ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Gh d上述第上述第3点的图示。点的图示。4.正点阵和倒易点阵是互易的：正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 给出倒易 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒易点阵根据定义为：123,b b b 231*2()cbb2233112122(2)()()bbaaaaa利用三重矢积公式：可以得到：2111*2(2)caa又因为：所以：2233,ca ca同样可以证明：123,b b b 12
8、3,a a a)()()(BACCABCBA3112321*)2()()2()(babbb 实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。因此，正格子的量纲是长度 L,称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1,下一节我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。倒易点阵是在晶体
9、点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联系，个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；列的图像；另一个是倒易点阵，另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性反映了周期结构物理性质的基本特征质的基本特征。三.倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我们通过具体实例来理解：根据右面定义，四四.倒易点阵实例：倒易点阵实例：321213321132321321222aaaaabaaaaabaaaaab显
10、然：1a2a1b2b左图是一个二维斜方点阵和它的倒易点阵，1221,ba ba22211baba01221baba213132321 and,and ,and aabaabaab简立方点阵：123,aai aa j aak倒易点阵仍是简立方点阵：123222,bi bj bkaaa六角点阵的倒易点阵：见Ashcroft p88六角点阵：c 轴方向不变，a轴在垂直于c 轴的平面上旋转30度。所以倒格子也是布拉菲格子所以倒格子也是布拉菲格子。正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了一个角度。正格子空间中长的基矢a3对应于倒格子空间短的基矢b3，反之亦
11、然。推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。三维例子三维例子：正点阵为简正点阵为简单点阵，倒单点阵，倒易点阵也是易点阵也是简单点阵简单点阵。正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。为面心立方点阵。而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞倒易点阵的原胞。五五.布里渊区：布里渊区：Lon Brilliouin（1889-1969）布里渊区定义：布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为
12、坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面第一布里渊区界面 与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类 推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。由于布里渊区界面是某倒格矢 的垂直平分面，如果 用 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空 间矢量，它必然满足方程：Gk该方程称作布里渊区的界面方程布里渊区的界面方程221GGk 二维正方格子的布区二维正方格子的布区
13、各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的六方点阵布里渊区图六方点阵布里渊区图见黄昆书图424（p194)Kittel （p28)黄昆书图黄昆书图412（p179)见黄昆书图412（p179)体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区Kittel （p29）,黄昆书图黄昆书图413（p179)见黄昆书图413（p179)SymbolDescriptionCenter of the Brillouin zoneSimple cubeMCenter of an edgeR
14、Corner pointXCenter of a faceFace-centered cubicKMiddle of an edge joining two hexagonal facesLCenter of a hexagonal faceUMiddle of an edge joining a hexagonal and a square faceWCorner pointXCenter of a square faceBody-centered cubicHCorner point joining four edgesNCenter of a facePCorner point join
15、ing three edgesHexagonalACenter of a hexagonal faceHCorner pointKMiddle of an edge joining two rectangular facesLMiddle of an edge joining a hexagonal and a rectangular faceMCenter of a rectangular face 倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有只有14种类型的倒易点阵和种类型的倒易点阵和14种不同形状的种不同形状的第一布里渊区第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的第一布里渊区的形状只
16、与晶体的布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、晶胞中的原子数目无关。晶胞中的原子数目无关。布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区里依然可以划分为几个完全等同的区域。对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同样大小的体积样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。p63 ：2 2，3 3，7 7，8 8作业题：作业题：1.3试证明：面心立方的倒格子为体心立方。试证明：面心立方的倒格子为体心立方。)()()()()()(kjiavaabkjiavaabkjiavaab 222222213132321证明：已知面心立方正格子基矢如下：证明：已知面心立方正格子基矢如下：由倒格矢公式可得：由倒格矢公式可得：)()()(kjiaakjiaakjiaa222321对比42223321321aaaavjiaaikaakjaa)()()(),(二者只相差一常数公二者只相差一常数公因子，因此得证。因子，因此得证。
