1、1曲边梯形的面积曲边梯形的面积与定积分与定积分1.4.12了解：几个常用求和公式了解：几个常用求和公式2)1(.321nnn6)12)(1(.3212222nnnn23333)2)1(.321nnn3 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.曲边梯形的定义曲边梯形的定义x=ax=b曲边梯形的特点曲边梯形的特点 、只有一边是曲线、只有一边是曲线 、其他三边是特殊直线、其他三边是特殊直线4问题1圆的面积公式是如何推导的？5 曲
2、边梯形的面积将圆分成若干将圆分成若干等等份份rr无限分割！无限分割！6 y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得7A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A28A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A3A49 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替
3、小曲边梯形的面积，于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 10（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。11（2 2）近似代替近
4、似代替n1)n1i(x)n1i(fS2i(不足近似值)n1n2nknnxOy2xy 12（3 3）求和）求和)1n(210n1 n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21 13（4 4）取极限）取极限1111(1)(2)6nn31S.3S 所所以以2222(1)(21)1236n nnn31 1111(n1)n(2n1)(1)(2)n 66nnS 当分割的份数无限多,即n ,x 0时14小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割（2 2）近似代替近似代替（3 3）求面积的和求面积的和（
5、4 4）取极限取极限 n oxy不足近似值！不足近似值！15 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()()n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值)16 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值)17 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxy xfy o af bf15.1 图图18 求曲边梯形面积：(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替
6、(4)结果：分割越细，面积越精确191、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixfC1,iixx练 习),()(1iiiixxf20bxxxxxann1210,1iiixx任取niixf1)(做和式：常数）且有，(/)(lim10Anabfniin二二.定积分定义定积分定义设函数设函数f f（x x）在）在aa，bb上连续，在上连续，
7、在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1个分点：个分点：把区间a,b等分成n n个小区间，个小区间，,1iixx在每个小区间./)(1nabfniibadxxf)(则，这个常数则，这个常数A称为称为f(x)在在a，b上的上的定积分定积分(简称积分简称积分)记作记作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(21被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限nabfdxxfniiba10n)(lim)(A即积分和积分和abbaaadxxfdxxfdxxf)()(,0)(规定：22,0)(xf baAdxx
8、f)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba 说明说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关1A2A3A4A23 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2、定积分定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S
9、321SSSdxxfba )(定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？2425【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误解：错解！错解！nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即2627定积分的简单性质定积分的简单性质(1)()()()bbaakf x dxkf x dxk为常数1212(2)()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)()()()(acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx28题型题型1：定积分的简单性质的应用定积分的简单性质的应用2008
10、2007102132)()()()(1dxxfdxxfdxxfdxxf、化简20080)(dxxf29题型题型2：定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用？、3141dx？、axdx02？、dxx302)2(3？、dxx302948 825221a问题问题1 1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。你能求出下列格式的值吗？不妨试试。4930理解练习见学案例1；例2；例33132微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theo
11、rem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作33说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F(b b)F F(a a)即可即可.该公式把该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。计算定积分归结为求
12、原函数的问题。34解解（）（）()()|()()bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx35练习练习1:_4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式36例计算定积分例计算定积分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123
13、123121313原原式式 37611311313331313 xx37 达标练习：达标练习：_14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee初等函数初等函数38微积分基本定理微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小结banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式39|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公式定积分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnna
14、xnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa40牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706
15、年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回返回41莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回返回42基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则返回返回43
