1、2021-2022学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致下列窗户图案中，是中心对称图形的是A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是A. B. C. D. 3. 如图，点、在上，为等边三角形，则的度数是A. B. C. D. 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是A. B. C. D. 5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为，则正方形的边长为A. B. C. D. 6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响据统计，年全国
2、生活垃圾无害化处理能力约为亿吨，随着设施的增加和技术的发展，年提升到约亿吨如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近C. 某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根其中所有正确结论的序号是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共
3、16.0分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_10. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_11. 如图所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道如图需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为_12. 写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_13. 如图，在平面直角坐标系中，点，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：_15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边
4、上，则_用含的式子表示16. 如图，在中，是内的一个动点，满足若，则长的最小值为_三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. 解方程：18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程作法：如图，延长交于点，延长交于点；分别连接，并延长相交于点；连接并延长交于点所以线段即为中边上的高根据小芸的作法，补全图形；完成下面的证明证明：是的直径，点，在上，_填推理的依据，_是的两条高线，所在直线交于点，直线也是的高所在直线是中边上的高19. 已知二次函数求此函数图象的对称轴和顶点坐标；画出此函数的图象；
5、若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围20. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋转，与的延长线交于点，连接求证：；若，直接写出的面积21. 已知关于的一元二次方程求证：此方程总有两个实数根；若此方程恰有一个根小于，求的取值范围22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；当为何值时，
6、小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值23. 如图，是的两条切线，切点分别为，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点求证：四边形是矩形；若，求的长24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度单位：与行进的水平距离单位：之间关系的图象如图所示已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为；当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为图中点表示篮筐，其坐标为_，篮球行进的最高点的坐标为_；求篮球出手时距地面的高度25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点求证：是的切线；
7、若，求的长26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，若，点到轴的距离为_；求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；已知点到轴的距离为，此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围27. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，点在线段上，连接交于点比较与的大小，并证明；若，求证：；将图中的绕点逆时针旋转，如图若是的中点，判断是否仍然成立如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点如图，点的坐标为若点的坐标为，则点是点关于的_倍特征点；在，这三个点中
8、，点_是点关于的倍特征点；直线经过点，与轴交于点，点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值答案和解析1.【答案】【解析】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
9、转度后与原图重合2.【答案】【解析】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：故选：二次函数的顶点坐标是本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义3.【答案】【解析】解：为等边三角形，故选：先根据等边三角形的性质得到，然后根据圆周角定理求的度数本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等边三角形的性质4.【答案】【解析】解：，故选：先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程作边写成完全平方形式即可此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移
10、到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数5.【答案】【解析】解：如图，连接 由题意，是等腰直角三角形，故选：连接由题意，是等腰直角三角形，故可得出结论本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键6.【答案】【解析】解：依题意得：故选：利用年全国生活垃圾无害化处理能力年全国生活垃圾无害化处理能力年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7.【
11、答案】【解析】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近，故B符合题意；C.某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键8.【答案】【解析】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴上方，正确抛物线顶点为，抛物线对称轴为直线，抛物线过点，由对称性可得抛物线经过点，错误， 为
12、抛物线顶点，即，正确，点在抛物线上，点关于对称轴对称点在抛物线上，为的一个根，错误故选：由抛物线开口和抛物线与轴交点判断，由抛物线的对称性及经过点可判断，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，从而判断，点对称点横坐标为可判断本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系9.【答案】【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为，故答案为：利用关于原点对称点的坐标特点可得答案此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数10.【答案】【解析】解：把代入方程得，解得故答案为：把代入方程得，然后解关于的
13、方程本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解11.【答案】【解析】解：设此圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得：，解得：，即此圆弧所在圆的半径为，故答案为：利用弧长的计算公式即可求解本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长公式是解题的关键12.【答案】，答案不唯一【解析】解：开口向下，对称轴在轴左侧，故抛物线的解析式可以为，答案不唯一，故答案为：，答案不唯一满足开口向下且对称轴在轴左侧可以判断、的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一13.【答案】【解析】解：从图
14、形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是，故答案为：根据图形得出、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标即可本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键14.【答案】将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线答案不唯一【解析】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线故答案为：将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线答案
15、不唯一根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键15.【答案】【解析】解：由旋转的性质可知，故答案为：根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键16.【答案】【解析】解：取的中点，连接， 在中，由勾股定理得，点为的中点，的最小值为，故答案为：由得，取点为的中点，可知和都是定值，从而解决问题本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，做辅助线构造三角形是解题的关键17.【答案】解：移项，得，
16、配方，得，即，开方，得解得，【解析】在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方本题考查了配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤：形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方18.【答案】 直径所对的圆周角是直角 【解析】解：如图，线段即为所求 是的直径，点，在上，直径所对的圆周角是直角，是的两条高线，所在直线交于点，直线也是的高所在直线是中边上的高故答案为：，直径所对的圆周角是直角，根据要求作出图形即可利用三角形的三条高
17、交于一点解决问题即可本题考查作图复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题19.【答案】解：，对称轴为直线，顶点； 如图：点和都在此函数的图象上，且，或【解析】将解析式化为顶点式即可；画出函数图象；由题意可得，求出的取值范围即可本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键20.【答案】证明：四边形是正方形，在与中，；解：由知，是等腰直角三角形，在中，的面积【解析】根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论本题考查
18、了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得是解题的关键21.【答案】证明： ，此方程总有两个实数根；，此方程恰有一个根小于，解得，即的取值范围为【解析】计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；解方程得到，则，然后解不等式即可本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根22.【答案】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为；为时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下： 共有种等可能
19、的结果，其中的结果有种，的结果有种，小明获胜的概率小刚获胜的概率【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，再由概率公式分别求解即可；画树状图，共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，再由概率公式得小明获胜的概率小刚获胜的概率即可此题考查了树状图法求概率正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23.【答案】证明：、是的切线，是的直径，四边形是矩形；解：，是的切线，由知，四边形是矩形，解得，故AC的长为【解析】根据切线的性质得到，得到，根据平行线的判定定理得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，根
20、据勾股定理即可得到结论本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键24.【答案】 【解析】解：篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为；当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为，点表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点的坐标为；故答案为：，；设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，答：篮球出手时距地面的高度为米根据已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为；当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为即可得到答案；设抛物线的解析式为，把代入求得抛物线的解析式为，当时，解方程即可得到结论本题主要考查二
21、次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键25.【答案】证明：连接， ，是的中点，是的半径，是的切线；解：过点作，垂足为， 由得：，平分，四边形内接于，设，则，是的直径，【解析】要证明是的切线，所以连接，求出即可，根据已知，可得，所以只要证明即可解答；由可得平分，所以想到过点作，垂足为，进而证明，可得，易证，可得，然后进行计算即可解答本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键26.【答案】【解析】解：把代入得，抛物线顶点坐标为，点到轴的距离为，故答案为：把代入得，解得，抛物线与轴的两个交点之间的距离为，点坐标为，解得或，当时，总满足，当时，随增大
22、而减小，如图，当抛物线开口向上，点与点重合或点在点右侧时满足题意， ，点坐标为，把代入得，当时，记得，把代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解令，求出与，进而求解由当时，总满足可得当时，随增大而减小，从而可得点与点重合或点在点右侧，进而求解本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解27.【答案】解：理由：在和中，证明：，由知：，由知：，解：若是的中点，仍然成立理由：延长至点，使，连接，如图， 是的中点，在和中，将图中的绕点逆时针旋转，在和中，若是的中点，仍然成立【解析】通过证明，利用全等三角形对应角相等解答即可；利用同角或等角的余
23、角相等判定和是等腰三角形即可得出结论；延长至点，使，连接，则得：，再利用题意证明，结论可得本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，延长至点，使，连接，构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线28.【答案】 【解析】解：，故答案为：；，假设点是点关于的倍特征点， ，不符合题意，点不是点关于的倍特征点，同理可求出，假设点是点关于的倍特征点，为的中点，在圆上，点是点关于的倍特征点，点不是点关于的倍特征点，故答案为：；如图，设直线交于，连接，过点作轴于点， 点点关于
24、的倍特征点，是的中点，；设直线与轴，轴的交点分别为，过点作交于，交于，过点作直线交于， ，越大，的值越小，的值越小，当的值越大，的值越小，时，的值最小，与重合，与重合时，的值最小，是直线与轴，轴的交点，到和的距离都是，的最小值为，当点在点，在点时，有最大值为由题意知，则；由勾股定理得，假设点是点关于的倍特征点，则，不符合题意，同理判断、即可；设直线交于，连接，过点作轴于点，根据点点关于的倍特征点，得，由含的直角三角形的性质可得，的长；设直线与轴，轴的交点分别为，过点作交于，交于，过点作直线交于，由，可知越大，的值越小，则的值越小，得，时，的值最小，即与重合，与重合时，的值最小，从而解决问题本题属于圆的综合题，主要考查了圆的相关知识，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题第31页，共31页
