1、黑龙江省教育学院数学系黑龙江省教育学院数学系 曲曲 巍巍函数与不等式函数与不等式l一次函数模型一次函数模型l二次函数模型二次函数模型l幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型l不等式模型不等式模型l建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示1.实际问题中的数量关系模糊实际问题中的数量关系模糊,数据孤立数据孤立,要对要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验或经验,将其理想化、函数模型化将其理想化、函数模型化.2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论析与讨论.3.实际问题中的量具有特殊的含义实际
2、问题中的量具有特殊的含义,在建立函在建立函数或不等式关系时需注意其有意义的变化数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围范围,不能只考虑纯数学关系不能只考虑纯数学关系.4.问题所讨论的结果最好具有范式问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推具有可推广性广性.一次函数模型一次函数模型 高跟鞋问题高跟鞋问题 如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 包装与价格包装与价格高跟鞋问题高跟鞋问题设某人下肢躯干部分长为设某人下肢躯干部分长为x厘米厘米,身高为身高为l厘米厘米,鞋跟高鞋跟高d厘米厘米0.618xdld0.6180.382lxd鞋跟高度与好看程度的关系鞋跟高度与好看程度的关系原比原比(x/
3、l)身高身高(cm)鞋跟高度鞋跟高度(cm)新比值新比值如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 实际背景实际背景 为配合不同客户的需要为配合不同客户的需要,广告商设有以广告商设有以 下优惠计划下优惠计划,以供客户选择以供客户选择.计划计划A:即时直接即时直接对话对话+自动数字传呼自动数字传呼计划计划B:即时直接即时直接对话对话+自动数字传呼自动数字传呼每月基本服务费每月基本服务费 98 98 168免费通话时间免费通话时间 首首60分钟分钟 首首500分钟分钟以后每分钟收费以后每分钟收费 0.38 0.38留言信箱服务留言信箱服务(选择性项目选择性项目)3030 问题问题 在两个计划
4、中选择在两个计划中选择,你选择哪一项你选择哪一项?分析分析(1)(1)两项服务的不同点两项服务的不同点:计划计划A A的每月基本服务的每月基本服务 费比计划费比计划B B少少,而计划而计划B B比计划比计划A A给客户的首给客户的首 段免费通话时间多段免费通话时间多.(2)(2)模型假设与建立模型假设与建立 设设t(t(分钟分钟)为通话时间为通话时间,而而C(C()是所需付出是所需付出 的费用的费用,则可列出计划则可列出计划A A与计划与计划B B的付费函数的付费函数 关系式为关系式为:计划计划A:980.38(60)98Ct060t(t60)计划计划B:0500t 1680.38(500)1
5、68Ct(t500)(3)究竟通话时间超过多少分钟究竟通话时间超过多少分钟,计划计划B会较会较 计划计划A为优为优?0.38(t-60)+98=168 得得 t=244.21(分钟分钟)故当客户使用该服务的时间超过故当客户使用该服务的时间超过244分分 钟钟(约约4小时小时)时时,计划计划B较优较优.(4)问题推广问题推广 若客户真的选择了计划若客户真的选择了计划B,最多可以比选最多可以比选 择计划择计划A省多少钱省多少钱?解决解决 由图可知由图可知,起初计划起初计划A比计划比计划B便宜便宜 70 ,当使用时间超过当使用时间超过60分钟分钟,则两者差距缩小则两者差距缩小,直到直到Q点点,两者已
6、无差距两者已无差距,即表示两个计划在此时的优惠相同即表示两个计划在此时的优惠相同.由图由图,用户所得最大优惠差额为用户所得最大优惠差额为 97 060t RSyy0C16898P60Q244SR500计划计划B计划计划At包装与价格包装与价格 某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有有60g60g装和装和150g150g装两种规格装两种规格.假设假设,冰淇淋售冰淇淋售价价=(=(冰淇淋成本冰淇淋成本+包装成本包装成本)(1+)(1+利润率利润率),),并且并且,包装成本与球形外壳表面积成正比包装成本与球形外壳表面积成正比.已知已知60g60g装冰淇淋售价装冰淇淋售价1.
7、501.50元元,其中冰淇其中冰淇淋成本为每克淋成本为每克1 1分钱分钱,利润率为利润率为25%,25%,问在问在利润率不变的情况下利润率不变的情况下,150g,150g装冰淇淋应装冰淇淋应售价多少售价多少?两种规格中两种规格中,买哪种比较合算买哪种比较合算(3.684(3.684可供参考可供参考)?)?350 分析分析 设设60g60g装冰淇淋的包装成本为装冰淇淋的包装成本为x x元元,根根据题意据题意,得得 解得解得x=0.60(x=0.60(元元)又设又设60g60g装和装和150g150g装两种规格外壳表装两种规格外壳表面积分别为面积分别为s s1 1、s s2 2,容积为容积为v v
8、1 1、v v2 2,150g,150g装冰淇淋包装成本为装冰淇淋包装成本为y y元元,根据题意根据题意,得得1.50(60 0.01)(125%)x所以所以21,0.60yksks22223311150()()0.6060svysv从而从而30.6501.1052()2y 元 150125%3.26g故装冰淇淋售价为150 0.01+1.1052（元）1.500.025()60两种规格的单位重量价格分别为3.26元 和0.0217（元）150故买大包装合算二次函数模型二次函数模型o渔场实际应养多少鱼渔场实际应养多少鱼o关于饮水机的思考关于饮水机的思考o资金分配问题资金分配问题渔场实际应养多少
9、鱼渔场实际应养多少鱼o问题某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少鱼?建模分析建模分析这一问题中涉及最大养这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值养殖量为定值m吨，空闲量、空闲吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。化而变化。建立模型假设实际养殖量为x吨，年增长量
10、为y吨，则空闲量为(m-x)吨，空闲率为 ，由问题概述可建立目标函数为mxm2mxkykxxkxmm 2()24kmkmxm 4km2maxkmkm由y=-(x-)+知：m24m当x=时，y2即实际养殖量为最大养殖量的一即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量最大，最半时，鱼群的年增长量最大，最大增长量为大增长量为 吨。吨。4km042(0,2)kmmmkk再由可得，比例系数的取值范围是关于饮水机的思考关于饮水机的思考 基本假设基本假设（）忽略饮水机启动时所需的（）忽略饮水机启动时所需的 电能电能（）当人回来时，水的温度恰为（）当人回来时，水的温度恰为 制热所能达到的最高温度制热所能达
11、到的最高温度 符号的约定符号的约定 饮水机的制热功率（单位：）饮水机的制热功率（单位：）饮水机的保温功率（单位：）饮水机的保温功率（单位：）饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机机内水的质量饮水机机内水的质量 （单位：（单位：kg）oCoC2T1P2P1TM 饮水机的电阻（单位：饮水机的电阻（单位：）饮水机的工作电压（单位：）饮水机的工作电压（单位：）把水从室温加热到的时间把水从室温加热到的时间 （单位：（单位：s）在保温情况下，从降到的在保温情况下，从降到的 间（单位：间（单位：s）水的比热（单位：水的比
12、热（单位：kg ）RU1t2tCoC1T1T2T在保温过程中在保温过程中,水吸收的热量水吸收的热量:212 22QPtI Rt222 22pPtRtU水散失的热量水散失的热量:121()QCm TTQ单位时间内水散失的热量单位时间内水散失的热量:22122 2222PCm TTPtRtUQQtt当外出开着饮水机时当外出开着饮水机时,在外出时间在外出时间t内内,消耗的电能消耗的电能:21WI RtQt22122 22222122 22Pt Cm TTPtRtUPRtUtt Cm TTPtt当外出关掉饮水机时当外出关掉饮水机时,回来后重新启动回来后重新启动,饮水机饮水机消耗的电能消耗的电能:21
13、1WPt1.当当 时时,则外出时开着饮水机则外出时开着饮水机 较为省电较为省电,即即12WW122 21 12t Cm TTPtPtt所以所以1 1 2122 2Pt ttCm TTPt2.当当 时时,则外出时关掉饮水机则外出时关掉饮水机 较为省电较为省电,即即1 1 2122 2Pt ttCm TTPt12WW模型的应用与评价模型的应用与评价一台一台TC-9901LW型的饮水机型的饮水机,经测量经测量,所需的数据如下所需的数据如下:1550PW240PW0.5mkg110min600ts235min2100ts34.2 10/()oCJ kg C1 1 2122 2Pt ttCm TTPt3
14、550 600 21004.2 10959040 21006600()110(min)s则则资金分配问题资金分配问题有甲、乙两种商品有甲、乙两种商品,经营销售这两种商经营销售这两种商品所获得的利润依次为品所获得的利润依次为P万元和万元和Q万元万元.它们与投入资金万元有如下经验公式它们与投入资金万元有如下经验公式:13,55Px Qx现有现有3万元资金投入经营甲、乙两种商万元资金投入经营甲、乙两种商品品,为获得最大利润为获得最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品的资金应如何分配投入的资金应如何分配投入?建模分析建模分析 设对甲种商品投入万元设对甲种商品投入万元,则投入乙种商品为则投入乙种商品
15、为(3-)万元万元,所获得的利润总额所获得的利润总额(万元万元)为为13355yxx(03)x 模型求解模型求解 设设 ,则则3xt23xt(03)t 则原函数变形为则原函数变形为213355ytt213215220t 03t 当当 时时,即即30,32tmax2120y93344393344xx因此因此,为获取最大利润为获取最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品的资金投入应分别为的资金投入应分别为0.75万元和万元和2.25万元万元,获得的最大利润为获得的最大利润为1.05万元万元.幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型v基本处理方法基本处理方法(1)(0)lnln
16、()lnlnlnbbyaxayaxxabxyy幂函数型处理方法:两边取对数，有即lny=lna+blnxx设则原方程变为y(2)(0)lnlnbxyaeayyabxxxbx指数函数型处理方法两边取对数得lny=ln(ae)即lny=lna+bxy设则原方程变成(3)lnlnyabxxxyabxyy对数曲线型处理方法：设原方程转化为交通流量问题交通流量问题 生活背景生活背景 由于人口的增加由于人口的增加,人们生活人们生活 水平的提高水平的提高,社会拥有车辆的数量在快社会拥有车辆的数量在快 速增加速增加,许多大中城市都车满为患许多大中城市都车满为患,塞塞 车现象处处可见车现象处处可见,所以每一位司
17、机和乘所以每一位司机和乘 客客,都会共同关心交通流量的问题都会共同关心交通流量的问题 交通流量的定义交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为的距离为,而行驶的车速为而行驶的车速为,定定义单位时间内通过的车辆数为交通义单位时间内通过的车辆数为交通流量流量,则交通流量有以下关系式则交通流量有以下关系式:vfd 分析分析 定义车距定义车距:前车车尾至后车车头间的距前车车尾至后车车头间的距离离,记为记为 ,L表示车长表示车长.则则dvfLd(1)在交通拥挤的情况下在交通拥挤的情况下,由于由于 ,故故dLvfL(2)在交通畅通的情况在交通畅通的情况(如高速公路
18、如高速公路)下下,由于由于 ,故故Ldvfd由于由于 ,其中其中t为煞车前的反应时间为煞车前的反应时间,dkvt1vfkvtkt1vLfkt(交通拥挤时)(交通畅通时)所以所以故故 评价评价 遇上交通拥挤时遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要影响交通流量的主要是车速与车长是车速与车长,在这种情况下在这种情况下,车速自然车速自然要放慢要放慢,否则只会发生意外否则只会发生意外.因此因此,影响影响最大的因素就是车长最大的因素就是车长,在马路上排队的在马路上排队的短身车辆短身车辆,明显地对交通流量增加有不明显地对交通流量增加有不小的小的“贡献贡献”.至于在高速公路上至于在高速公路上,影响交影响交通流量的
19、最主要因素不是速度而是架通流量的最主要因素不是速度而是架车者的反应车者的反应.1,1xx 设则（1）当0 1时，(1+x)（2）当 1时，(1+x)1+x其中等号成立的充要条白努利不等式件为x=021 12 2n n22222212n12nii(ab+a b+a b)(a+a+a)(b+b+b)当且仅当b=ca(i=1,2,n,c为常数)时柯西不等式等号成立 i+i12n1122nn1122nn12n若f(x)在区间I内上凸，则对任意xI,i=1,2,n,以及任意R,i=1,2,n+=1必有f(x+x+x)f(x)+f(x)+f(x)若f(x)在区间I内下凸，则不等号反向，其中等号当且仅当琴生
20、x=x=不等x式时成立1221221 12 21211,nnnnjijijn njijijnnnba ba bababa bba ba bababa b1112n12n12n12nii设aaa,bbb,i,i,i与j,j,j是1,2,n的任意两个排列，则aa（简称：倒序和 乱序和排序不等式正序和）洗衣问题洗衣问题v用洗衣机洗衣时用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入洗涤并甩干后进入漂洗阶段漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成干组成,每次漂洗后可使残留物均匀每次漂洗后可使残留物均匀分布分布,每次甩干后每次甩干后(包括洗涤后的甩干包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水分衣物中的残留水分
21、(含有残留物含有残留物)的重的重量相同量相同.若漂洗的总用水量为千克若漂洗的总用水量为千克,漂洗并甩干的次数为漂洗并甩干的次数为3次次,为使漂洗后为使漂洗后衣物中的残留物最少衣物中的残留物最少,该如何确定每该如何确定每次漂洗的用水量次漂洗的用水量?设每次甩干后衣物中的残留水设每次甩干后衣物中的残留水分分(含有残留物含有残留物)的重量为的重量为,洗洗涤并甩干后衣物中的残留物涤并甩干后衣物中的残留物(不不含水分含水分)为为 ,三次漂洗并甩干后三次漂洗并甩干后衣物中的残留物衣物中的残留物(不含水分不含水分)分别分别为为 ,三次用水量分别三次用水量分别为为 .(以上各量单位皆以上各量单位皆为千克为千克
22、)0n123,n n n123,a a a000111111nmnnnnamammam则由已知则由已知,得得 同理可得同理可得01221202333121111111nnnaaammmnnnaaaammmm由由 及平均值定理及平均值定理,得得123aaaa31233121111113aaammmaaammm 313am当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.1233aaaa故故03313nnam当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.1233aaaa则将千克的水平均分成三次使用可使则将千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少衣物上的残留物最少.挑选水果问题挑选水果问题 果皮较厚且核较小的
23、水果（如西瓜、橘子等）果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等）334()343RdR设水果果皮厚度为，则设水果果皮厚度为，则 可食率可食率为常数，当越大即水果越大，则越为常数，当越大即水果越大，则越小，可食率越大小，可食率越大3(1)dRdRdR 果皮较厚且核（或籽集）较大的水果果皮较厚且核（或籽集）较大的水果3333344()()3343(1)R dkRRdkR设核半径为设核半径为kR(kb0,a,b为定值为定值,再设再设ABDxab,ACBBCD,ACD于是tan,tan()baxx且CABDxabtantan()2tan()tan1tan()tan1ababxxababxxxC,2,2m
24、 nRmnmnmnabxabx由基本不等式，当时，有等号成立当且仅当 由此推得tan2ababab 当x=即x=ab时，xtan 最大,从而 最大（0，）时，2tan 为该区间上的单调增函数）arctan2ababmax相应入射范围角 的最大值为数列模型数列模型 建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示1.要熟悉相关行业的一些基本知识要熟悉相关行业的一些基本知识,专业专业术语术语.2.在解决某一问题时在解决某一问题时,必须实事求是地搜必须实事求是地搜集大量的有关信息、资料、数据集大量的有关信息、资料、数据.3.对取得的信息、数据要进行整理、处对取得的信息、数据要进行整理、处理理.4.进行合理的
25、数学假设进行合理的数学假设.5.数列知识的应用相当广泛数列知识的应用相当广泛,经济领域中经济领域中如银行的存贷款、证券、期货、保险、如银行的存贷款、证券、期货、保险、企业的产值、成本、仓储企业的产值、成本、仓储;社会问题中社会问题中的人口增加、人口质量、土地及资源的的人口增加、人口质量、土地及资源的利用及配置利用及配置;环境问题中的水资源保护、环境问题中的水资源保护、空气污染、森林覆盖等等空气污染、森林覆盖等等,都可运用数都可运用数列知识解决或部分解决列知识解决或部分解决.6.建立起模型后建立起模型后,一般应回到实际问题中一般应回到实际问题中加以检验加以检验,如若不符如若不符,应加以调整应加以
26、调整,直至基直至基本符合本符合.如何存款问题如何存款问题 中国人民银行公布中国人民银行公布(1999年年)现行银行整存整现行银行整存整取利率如表所示取利率如表所示.现有一位刚升入初一的学生家长现有一位刚升入初一的学生家长,欲为其存欲为其存1万元以供万元以供6年后上大学使用年后上大学使用,问采取怎样的方问采取怎样的方案存款案存款,可使可使6年所获收益最大年所获收益最大?最大收益多最大收益多少少?一年期一年期 二年期二年期 三年期三年期 五年期五年期2.25%2.43%2.70%2.88%分析分析 首先可以作出数学假设首先可以作出数学假设:在此期间利率在此期间利率 不变不变.一般来说一般来说,对于
27、存款对于存款,银行只计单银行只计单 利不计复利利不计复利,所以是等差数列所以是等差数列.倘若某人倘若某人 将定期存款到期后把本利又转入第二将定期存款到期后把本利又转入第二 个定期个定期,此时才可计复利此时才可计复利.解解:设年期存次设年期存次(按复利计算按复利计算)获利金获利金 额记作额记作 简记作简记作 ;存一次存一次 年期再存一次年期再存一次k年期获利金额记作年期获利金额记作 1,n mnPPnPnkP2441 21012.25%10455.06()P元422 102.43%486.00()P 元21 2PP于是于是,一年期存两次获利金额一年期存两次获利金额(精确到分精确到分)为为 两年期
28、存一次获利金额为两年期存一次获利金额为 所以所以,存一次一年期再存一次两年期的获利金额为存一次一年期再存一次两年期的获利金额为441 2101 2.25%1 2 2.43%10P 721.94（元）433 2.70%10810.00()P 元31 21 3PPP三年期存一次获利金额为三年期存一次获利金额为所以所以 存一次两年期再存一次三年期的获利金额存一次两年期再存一次三年期的获利金额442 310 1 2 2.43%1 3 2.70%10P 1335.37元455 102.88%1440.00P 元52 3PP五年期存一次的获利金额为五年期存一次的获利金额为所以所以三年期存两次的获利金额为三
29、年期存两次的获利金额为3 23 3PP24410 1 3 2.70%10 1685.61元 3442 310 1 2 2.43%101530.00P 元两年期存三次的获利金额为两年期存三次的获利金额为存一次五年期再存一次一年期的获利金额为存一次五年期再存一次一年期的获利金额为445 110 1 5 2.88%1 2.25%10P 1697.40()元5 13 3PPn mm nPP所以所以 且且故存一次五年期一次一年期所获收故存一次五年期一次一年期所获收益最大益最大,为为1697.40元元分期付款问题分期付款问题李师傅准备购置一套商品房李师傅准备购置一套商品房,需要向需要向银行贷款银行贷款8万
30、元才行万元才行.经咨询知道银行经咨询知道银行贷款月利为贷款月利为0.01且为复利且为复利,贷款期为贷款期为25年年.李师傅每月稳定可有李师傅每月稳定可有950元的元的结余结余,如果他准备按月偿还贷款如果他准备按月偿还贷款,是否是否具有偿还能力具有偿还能力?解解设贷款设贷款A元元,按月复利按月复利r计算计算,到到n月末的本利和为月末的本利和为 元元.另一另一方面方面,若每月偿还金为若每月偿还金为a元元,利息同利息同上上,则则n月末的本利合计为月末的本利合计为(1)nAr12(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)1nnnnarararaararrr(1)1(1)nnarArr则有(1)()(1)
31、1nnArrar所以元2530080000A年月，元，r=0.01把这些数据代入上式，得a843元所以李师傅有能力购房三角模型三角模型 建模或知识应用提示建模或知识应用提示1.凡与周期性振动有关或类似的问题凡与周期性振动有关或类似的问题,如如水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引起的振动等等起的振动等等,适宜建立三角函数模型适宜建立三角函数模型.2.一些与角有关的问题如视角、方位角一些与角有关的问题如视角、方位角,以及与旋转有关的问题也可以建立三以及与旋转有关的问题也可以建立三角函数模型角函数模型.3.对于周期性变化的问题对于周期性变化的问题,要认真、准确、要认真、准
32、确、真实地收集数据真实地收集数据,要从不同渠道、不同要从不同渠道、不同角度去取得数据角度去取得数据.4.认真处理收集到的数据认真处理收集到的数据,结合合理的数结合合理的数学假设学假设,最终确定有效数据最终确定有效数据.5.可以拟定几个不同的方案建立数学模可以拟定几个不同的方案建立数学模型型,然后利用已有数据或付之实践加以然后利用已有数据或付之实践加以检验检验,通过对比误差或经过若干次适当通过对比误差或经过若干次适当调整后调整后,确定最后方案确定最后方案.怎样搬运家具怎样搬运家具一转角沙发能否水平般进房间一转角沙发能否水平般进房间?房门的宽为房门的宽为0.9米米,墙厚墙厚0.28米米,将转角沙将
33、转角沙发进行适当简化发进行适当简化,其俯视图及尺寸如图所其俯视图及尺寸如图所示示1.3米米0.48米米1.3米米0.48米米AGFEBMCKDN2020.9AECACDhhm如图所示，沙发搬运时转角的内边KM、KN必须紧贴墙壁,墙厚CD=0 28m，沙发一边与CD成 角，即。沙发初始位置为，当 由到 时，沙发搬进了房间。设 到的距离为，沙发水平搬进房间，必须sinhAE0 48cos0.28cos,cot0.48cotsin(0.48 0.28cos0.48cot)sin0.48(sincos)0.28sin cosNKABGCFABFAEAG GFFEAGGFKCCDEFFChAE 延长交于
34、，作于，则其中，所以cos,0240.480.14t22令t=sin由于,则t=2sin(),1t2所以h=0.48t+0.14(t-1)=0.14t2212120.14()0.14(0.14)77htmax所以当t=2,即=时,41h=0.48 2+0.280.820.92因此，沙发可水平移入房间.几何模型几何模型 建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示1.分割不规则的或非常复杂的几何体分割不规则的或非常复杂的几何体,进行简进行简化与假设化与假设.2.进行数学抽象进行数学抽象.3.同一几何问题可以从不同角度加以研究同一几何问题可以从不同角度加以研究.4.善于归类善于归类.5.几何问题一般可
35、分为两类几何问题一般可分为两类.(1)数学问题建立几何模型数学问题建立几何模型.(2)其他数学知识解决几何问题其他数学知识解决几何问题.设计穿衣镜设计穿衣镜 背景背景近年来近年来,一座座大商场相继出一座座大商场相继出现现,有些商场只重视外部装潢而忽视有些商场只重视外部装潢而忽视了一些细小而又方便顾客的地方了一些细小而又方便顾客的地方.比比如试衣间的镜子就应既能使试衣者如试衣间的镜子就应既能使试衣者全面看到自己的形象全面看到自己的形象,又要设计美观又要设计美观新颖新颖,并且节省材料并且节省材料.请设计最合理请设计最合理的试衣镜的试衣镜.距地面最高点距地面最高点所谓最高点即指眼所谓最高点即指眼睛通
36、过镜子看到头睛通过镜子看到头顶的位置。一般人，顶的位置。一般人，眼睛到头顶、到脚眼睛到头顶、到脚的距离与身高之比的距离与身高之比为为1：13：14。因此。因此若计算最高点，应若计算最高点，应用用185cm身高去计身高去计算算OMECADB1212AOCM如图所示，为站立的人，镜子所在位置为，它与AO平行。A为人的头顶，B为眼，OM为地面。由几何光学原理，入射角等于反射角。OMECADB121221293213185 18514178()2178AOCEcmcm1在图中看，即为，。这样，只要镜子长度超过（cm）人眼就可以从镜子中看到人的整体高度。AO+BO又OD=2因此，镜子顶端距离地面应不低于
37、 距地面最低点距地面最低点186()2170()270cmcmcm对较高的人（185cm）13EM=CM-CE=18514对较矮的人（150cm）13EM=CM-CE=15014考虑到镜子应对多数人适用，故镜子下端应不高于OMECADB1212 宽度宽度因为人体站立时，肩宽与身高比为1：2.6到1：3。为让一些偏胖的人也能看见自己，所以比例应选为1：2.6，且身高应选为185cm来计算。RBLMN人人镜镜1118536()2.62cm由图可知：镜子的宽度LRMN210836178cmcmcm所以，如为尽量省材料，可将长、宽的镜子挂在距地处，如下图RBLMN人人镜镜361787010867178
38、70108 例例:如图如图,森林的边界是直线森林的边界是直线l,l,兔子和狼分别兔子和狼分别在在l l的垂线的垂线ACAC上的点上的点A A和点和点B B处处(AB=BC=a).(AB=BC=a).现兔现兔子沿线子沿线AD(AD(或或AE)AE)以速度以速度2v2v准备越过准备越过l l向树林逃向树林逃跑跑,同时狼沿线段同时狼沿线段BM(BM(点点M M在在ADAD上上)或或BN(BN(点点N N在在AEAE上上)以速度以速度v v进行追击进行追击.若狼比兔子先到或同若狼比兔子先到或同时到达时到达M(M(或或N)N)处处,狼就会吃掉兔子狼就会吃掉兔子ANECBMDl(1)求兔子的所有不幸点(即
39、可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积SCADCAE （2）兔子要想不被狼吃掉，求锐角（=）应满足的条件 分析分析 兔子要想不被狼吃掉兔子要想不被狼吃掉,则兔子从则兔子从A跑到跑到M的时间应比狼从的时间应比狼从B跑到跑到M的时间要少的时间要少,因此因此,在已知速度的情况下在已知速度的情况下,只需计算出只需计算出AM、BM的路程即可的路程即可,可选用解析几何可选用解析几何模型模型.建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系yANEO CBMDxANEO CBMDyx2222222222(2)()(2)()224()39xyaBMxyaxyaxyavvaay2设A(0,2a)、B(0,a)、M(x,y),则AM所以只要满足兔子就将遭到不幸，上式化简得：x2220243966Aaaxyy2圆面2即兔子的所有不幸点构成一个以（0，a）为324圆心、a为半径的圆面，Sa，要想39兔子不被狼吃掉，应过 作圆的切线，可以计算，其与 轴的夹角为，即当时，兔子不会被狼吃掉。
