1、 数与形数与形数学广角数学广角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 2)1(nnan 这样的二项式系这样的二项式系数表，早在我国南数表，早在我国南宋数学家杨辉宋数学家杨辉1261 年所著的详解九年所著的详解九章算法一书里就章算法一书里就已经出现了，在这已经出现了，在这本书里，记载着类本书里，记载着类似下面的表：似下面的表：杨辉杨辉中国南宋末年数学家、数中国南宋末年数学家
2、、数学教育家。大约在学教育家。大约在1313世纪世纪 中叶至后半叶活动于苏、中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有日用算数学著作甚多有日用算法法 杨辉算法等杨辉算法等“杨辉三角杨辉三角”出现在杨辉出现在杨辉编著的详解九章算法一编著的详解九章算法一书中，且我国北宋数学家贾书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元宪（约公元11世纪）已经用世纪）已经用过它，这表明我国发现这个过它，这表明我国发现这个表不晚于表不晚于11世纪在欧洲，世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家这个表被认为是法
3、国数学家物理学家帕斯卡首先发现的物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧角杨辉三角的发现要比欧洲早洲早500年左右年左右.1.1.三角形的两条斜边上都三角形的两条斜边上都是数字是数字1 1，而其余的数都等，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加于它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端称美），与首末两端“等距等距离离 ”的两个数相等的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这每一行的第二个数就是这行的行数行的行数4.所有行的第二个数构成等所有行的第二个数构成等差数列差数列 5.第第n行包含行包含n
4、+1个数个数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 中国古代数学史曾经有自己光辉灿中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫找规律。最简单的就是叫找规律。今天我们就来一起走进奇妙无穷的今天
5、我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角数学广角-数与形数与形 数缺形时少直观，数缺形时少直观，形少数时难入微，形少数时难入微，数形结合百般好，数形结合百般好，割裂分家万事休。割裂分家万事休。华罗庚华罗庚 探索新知例1 1 （）113 4（2）13 5 9（3）13 5 7 （）413 5 7 9 （）13 5 7 9 11 （）56观察上面的算式，想一想，你能发现什么规律？从1开始的几个连续奇数的和正好是几的平方。135791113利用前面的规律直接写一写。利用前面的规律直接写一写。（）97135791113 15 171+3+5+7=（4 ）21+3+5+7+9+11+13=（7 ）2 =92
6、1+3+5+7+9+11+13+15+17 你能利用规律直接写一写吗？如有困难，可以画图1357531（）1.请根据例请根据例1的结论算一算。的结论算一算。254 163 91357911131197531（）7 496 3685例2 211164181132164.在这列数中，你能发现什么规律？从第二个数开始，每个数是前一个数 。21计算 猜一猜，结果可能是多少？然后借助线段图或圆形图来帮助思考，验证你的猜测是否正确?（1）尝试计算。）尝试计算。（2）提问：你能发现什么规律？）提问：你能发现什么规律？一个一个加下去一个一个加下去看看，答案好像看看，答案好像有些规律。加下有些规律。加下去，等号
7、右边的去，等号右边的分数越来越接近分数越来越接近1。从第二个数开从第二个数开始，每个数是始，每个数是前一个数的前一个数的 。12例2 211164181132164.计算 214181116132211164181132164.1有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。可以画个图来帮助思考用一个圆或者一条线段表示“1”121418116从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1.有些计算问题或者杂题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。由由 上题还可转换为上题还可转换为23411=4211=8211=1 621112141812下面每个图形中有多少个红色
8、小正方形和多少个蓝色小正方形下面每个图形中有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？红色：蓝色：18210312每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？照这样画下去，第四个图形有几个红色小正方形和蓝色小正方形？第五个呢？照这样画下去，第四个图形有几个红色小正方形和蓝色小正方形？第五个呢？红色：蓝色：414516每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？蓝色蓝色小正方形的个数是小正方形的个数是红色红色
9、小正方形的个数的小正方形的个数的2倍倍。蓝色小正方形的个数比红色小正方形的个数的蓝色小正方形的个数比红色小正方形的个数的2倍还多倍还多6个。个。照这样画下去，第照这样画下去，第10个图形有（个图形有（）个红色小正方形和（）个红色小正方形和（）个）个蓝色小正方形。蓝色小正方形。照这样画下去，第照这样画下去，第n个图形有（个图形有（）个红色小正方形和（）个红色小正方形和（）个）个蓝色小正方形。蓝色小正方形。1026n2n+6 狗的速度是人的速度的狗的速度是人的速度的2倍倍 2002400（米）（米）答：小狗从出发开始，一共跑了答：小狗从出发开始，一共跑了400米。米。1.一条马路长一条马路长200
10、 m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的 起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终 点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达 终点以后再与小亮相向而行终点以后再与小亮相向而行直到小亮到达终点。小狗从出发开始，直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？一共跑了多少米？起点起点终点终点 小林、小强、小芳、小兵和小刚小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋人进行象棋 比比 赛，每赛
11、，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，盘，小强下了小强下了3盘，小芳下了盘，小芳下了2 盘，小兵下了盘，小兵下了1 盘。请盘。请 问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？用连线的方法用连线的方法试试。试试。小林、小强、小芳、小兵和小刚小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋人进行象棋 比比 赛，每赛，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，盘，小强下了小强下了3盘，小芳下了盘，小芳下了2 盘，小兵下了盘，小兵下了1 盘。请盘。请 问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？小林小林小强小强小芳小芳小兵小兵小刚小刚答：小刚一共下了答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。盘，分别和小林、小强下的。1+2+3+4+5=？12+22+32+42+52=？52-42+32-22+12=？13+23+33+43+53=？下面的问题你能解答吗？（提示：画图找规律）
