1、 数学归纳法数学归纳法 .,|sin|sin|:,.,NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例例如如等等式式数数多多个个正正整整数数相相关关的的不不就就出出现现了了与与无无为为表表达达这这样样的的关关系系关关系系成成立立都都有有某某种种不不等等任任意意正正整整数数的的或或不不小小于于某某个个数数任任意意正正整整数数对对于于人人们们会会遇遇到到这这样样的的情情况况在在数数学学研研究究中中一、提出问题一、提出问题,.在高考中 这类问题也是经常出现，同时这也是一种重要的数学推理方法数学归纳法 .?,97531753153131121531证明你的结论证明你的结论吗吗的结果
2、的结果你能猜出你能猜出通过计算下面式子通过计算下面式子思考思考nn二、情景引入二、情景引入?.:,怎怎样样证证明明它它呢呢由由此此猜猜想想别别是是上上面面四四个个式式子子的的结结果果分分nnnn11215315432 .,.,.:成证明成证明通过验证的方法无法完通过验证的方法无法完所以所以证证我们无法对它们一一验我们无法对它们一一验但是正整数是无限多个但是正整数是无限多个时这个等式成立时这个等式成立甚至甚至虽然我们可以验证虽然我们可以验证任何正整数时都成立任何正整数时都成立为为在在要证不等式要证不等式这个问题的特点是这个问题的特点是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方
3、法法能能够够处处理理完完无无限限多多个个对对就就骤骤必必须须寻寻找找一一种种有有限限个个步步要要证证明明这这个个问问题题.,.,1,1,2;2,3,.我们先从多米诺骨牌游戏说起 这是一种码放骨牌的游戏 码放时保证任意相邻的两块骨牌 若前一块骨牌倒下 则一定导致后一块骨牌倒下这样 只要推倒第 块骨牌 由于第块骨牌倒下 就可导致第 块骨牌倒下 而第块骨牌倒下 就可导致第 块骨牌倒下最后 不论有多少块骨牌 都能全部倒下:,件有两个件有两个使所有骨牌都倒下的条使所有骨牌都倒下的条可以看出可以看出 ;第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下1 .,:,.,块也倒下块也倒下相邻的第相邻的第倒下时倒下时块块当第当第系系
4、事实上就是一个递推关事实上就是一个递推关条件条件其中其中倒下倒下一块一块前一块倒下一定导致后前一块倒下一定导致后任意相邻的两块骨牌任意相邻的两块骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保证证21三、原理分析三、原理分析人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,1321kk一一队队到到大大依依次次排排列列为为无无限限长长由由小小我我们们设设想想将将全全部部正正整整数数类类比比多多米米诺诺骨骨牌牌游游戏戏 .,成成立立式式即即这这时时等等的的左左右右两两边边都都等等于于等等式式时时当当可可以以验验证证 111n
5、.,的的自自动动递递推推关关系系由由前前到到后后的的诺诺骨骨牌牌那那样样则则可可以以建建立立一一种种像像多多米米也也成成立立式式时时等等能能推推出出成成立立时时等等式式若若从从可可以以想想象象 12knkn人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 :,这这个个等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一种种证证明明综综合合21 ;成成立立时时等等式式首首先先证证明明 11 n .中中的的递递推推关关系系然然后后证证明明 2 .,:,;,成成立立等等式式对对于于任任意意正正整整数数就就可可以以说说下下去去如如此此继继续续自自动动递递推推成成立立时时等等式式递递推推出出
6、成成立立时时等等式式再再由由成成立立时时等等式式递递推推出出成成立立为为起起点点时时等等式式就就可可由由完完成成以以上上两两步步后后 nnnnn3221 :证证明明等等式式下下面面按按照照上上述述思思路路具具体体人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 .,成立时等式即这左右两边都等于式时当证明 111n .,kkkknkk112153112 即成立时等式假设当 .,的左右两边时式再考虑在这个假设下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左边 11211 kkk 111 kk.右边 .成立时等式所以当 1kn .Nnnnnn1121531 可知由
7、21,人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.:.,;,:,都成立都成立命题命题正整数正整数对于从起点向后的所有对于从起点向后的所有由这两步保证由这两步保证的递推关系的递推关系由前向后由前向后证明证明然后然后先作归纳假设先作归纳假设第二步第二步立的一个起点立的一个起点从而奠定了命题成从而奠定了命题成时命题成立时命题成立证明证明第一步第一步我们用了两个步骤我们用了两个步骤总结上述过程总结上述过程 Nnn1人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件:,下两个步骤下两个步骤可以用以可以用以都成立时都成立时的所有正整数的所有正整数正整数正整数对于不小于某
8、个对于不小于某个当要证明一个命题当要证明一个命题一般地一般地nn0 ;时命题成立时命题成立证明当证明当01nn .,时命题也成立时命题也成立证明证明时命题成立时命题成立且且假设当假设当120 knnkNkkn .,inductionalmathematicn法称为法称为这种证明方这种证明方的所有正整数都成立的所有正整数都成立不小于不小于就可以断定命题对于就可以断定命题对于在完成这两个步骤后在完成这两个步骤后0数学归纳法数学归纳法?,基本思想是什么基本思想是什么你认为数学归纳法的你认为数学归纳法的结合上面的证明结合上面的证明思考思考人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件
9、;,.,.,水水没没有有它它递递推推就就成成无无源源之之后后面面递递推推的的出出发发点点成成为为时时命命题题成成立立第第一一步步确确定定了了可可缺缺一一不不这这两两步步都都非非常常重重要要二二步步是是假假设设与与递递推推第第第第一一步步是是奠奠基基骤骤中中在在数数学学归归纳纳法法的的两两个个步步00nnnn .,成证明成证明从而完从而完以后的每一个正整数以后的每一个正整数数无限传递到数无限传递到向后一个数一个向后一个数一个开始开始的范围就能从正整数的范围就能从正整数立立成成命题命题借助它借助它推关系推关系一种递一种递确认确认第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是数学归纳法的以上就是数
10、学归纳法的握上握上的把的把在对有限情况在对有限情况没有它我们就只能停留没有它我们就只能停留的关键的关键限的飞跃限的飞跃递推是实现从有限到无递推是实现从有限到无因此因此,人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.归纳法的基本过程下面的框图表示了数学 .,命题成立对所有的0nnNnn 奠基假设与递推 .:时命题成立证明 Nnnn001 .,:时命题也成立则时命题成立若证明120 knnkkn人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,?到到较较好好的的效效果果用用数数学学归归纳纳法法可可能能会会收收的的方方法法证证明明如如果果不不易易用用以以前前学学
11、习习过过相相关关的的命命题题数数整整些些与与无无限限多多个个正正对对于于一一呢呢题题用用于于证证明明什什么么样样的的命命学学归归纳纳法法适适数数?,为为什什么么为为何何值值应应取取对对于于全全体体正正整整数数都都成成立立明明某某命命题题如如果果要要用用数数学学归归纳纳法法证证思思考考0n人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 .:整除整除能被能被证明证明例例6512 Nnnn .,;,整除整除被被也能够也能够证明证明整除的前提下整除的前提下够被够被能能即在假设即在假设第二步应明确目标第二步应明确目标命题成立命题成立时时第一步应证第一步应证若用数学归纳法证明若用数学归纳
12、法证明正整数正整数体体它涉及全它涉及全的命题的命题除有关除有关这是一个与整这是一个与整分析分析615165133 kkkkn .,命题成立整除显然能够被时当证明65112nnn .,整除够被能即命题成立时假设当65123kkkkn 四、例题讲解四、例题讲解人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 551331511233 kkkkkkkn,时当 633523 kkkk .61353 kkkk .,.,命题成立时当因此整除能够被即从而整除能够被故是偶数而整除能够被由假设知161516135613165333 knkkkkkkkkkkkk .,整除能够被即命题对一切正整数成
13、立知由65213 Nnnn.,牢牢记记在在心心的的目目标标证证明明把把要要注注意意使使用用归归纳纳假假设设在在证证明明归归纳纳递递推推时时人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 .?,.,证证明明你你的的结结论论这这样样的的直直线线共共有有多多少少条条直直线线过过这这些些点点中中任任意意两两点点作作都都不不在在同同一一条条直直线线上上其其中中任任意意三三点点个个点点平平面面上上有有例例32 nNnn.:,猜猜想想成成立立然然后后再再用用数数学学归归法法证证明明归归纳纳出出一一个个猜猜想想形形中中可可以以先先从从有有限限个个点点的的情情分分析析.,条的直线共有这样个点中
14、任意两点作直线过时当解333 n.,.,.,条直线个点共有过因此条共有作直线中任意一个点与点过条直线有过点记它为个点共有时当334334443213214321 PPPPPPPPPPPn人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,.,条直线个点共有过因此条共有作直线中任意一个点与点43354543 PPP .,下面用数学归纳法证明条共有作直线中任意两点任意三点不共线个点过我们猜想1211433 nnnn,.,21432154321655PPPPPPPPPPPn过条直线的基础上的在过点同前记它为个点共有时当 人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件
15、 .,命题成立由上述过程知时当31 n .,)(,条这样的直线共有中任意两点作直线三点不共线任意个点即过命题成立时假设12132 kkkkkn1211211,1,(),1,1;21,.,1,kkkknkkP PP PkP PPk kkkPkk当时 共有个点任意三点不共线 过 个点中任意两点作直线 这样的直线共有条 过这 个点中任意一点与第个点作直线 这样的直线共有条因此 过这个点中任意两点作直线 这样人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.时命题成立所以当1 kn .,条线共有相应的直个点对于可知由121321 nnnNnn 1111222111111.22k kkk
16、 kk kkk 的直线共有人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件?,作作用用数数学学归归纳纳法法有有什什么么特特殊殊你你认认为为结结合合上上述述证证明明过过程程思思考考 .,跃跃到到无无限限的的飞飞实实现现了了由由有有限限证证验验代代了了难难以以实实现现的的无无限限取取推推递递奠奠基基和和它它用用有有限限的的步步骤骤有有力力工工具具个个正正整整数数相相关关的的命命题题的的与与无无限限多多数数学学归归纳纳法法是是证证明明一一些些21人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个用数学归纳法证明，要完成两个步骤，
17、这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从做好命题从n=k到到n=k+1的转化，这个转化要求在的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变变化过程中结构不变2数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题问题五、课时小结五、课时小结人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件121212:,1,.nnnn na aaa aaaaan 证明 如果为正整数 个正数的乘积六那么它们的和、课后探究.,.,要要递递推推
18、的的目目标标心心中中有有数数由由它它并并对对什什么么是是归归纳纳假假设设和和的的条条件件正正数数的的乘乘积积为为个个应应注注意意利利用用用用数数学学归归纳纳法法证证明明它它时时简简洁洁和和谐谐它它的的形形式式的的不不等等式式这这是是与与正正整整数数密密切切相相关关分分析析1n .,命题成立有时当证明1111 an .,kaaaaaakknkn 212112则个正数的乘积即若命题成立时当假设.,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足条件满个正数已知时当人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,.,命题成立其和为是则它们都都相等个正数若这111121 kaa
19、aakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨设矛盾否则与的数也有小于的数则其中必有大于不全相等个正数若这.,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211归纳假设可以得到由的乘积是个正数样就得到这看着一个数我们把乘积为利用归纳假设.11321 kaaaaakk要证的目标是.,用用讨论的作讨论的作回味这样回味这样面的证明面的证明请结合下请结合下人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.就得到则 .,.,时命题成立当就是说这于是目标得证即得由110111121212121 knaaaaaaaa .,成立那么它们的和的乘
20、积个正数如果对一切正整数可知由naaaaaaaaannnnn 212121121,12121 aaaa若有可以发现对比 人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 .,它它们们起起了了什什么么作作用用了了哪哪些些式式子子变变形形证证出出递递推推关关系系做做为为了了利利用用归归纳纳假假设设以以及及体体会会其其中中的的证证明明过过程程回回顾顾例例探探究究41?),(,均均值值不不等等式式吗吗个个正正数数的的你你能能得得出出是是正正数数个个正正数数考考虑虑的的结结论论利利用用例例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 212121221142人教版-数学归纳法ppt
21、完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件1.一个完美的历史家必须绝对具有足够的想象力2 一个作者的观念看更像是在反映他自己的生活于其中的那个代，而不是他所描写的那个代3.历史是有个人特征的人物的王国，是本身有价值而又不可能重演的个别事件的王国4.不同的历史家对同一现象可以提出十分不同乃至截然对立，但又同样似乎可能的解释而不至于歪曲事实，或违背通行的处理证据的准则5、增加阅读量，培养语感，积极发掘规范使用虚词的潜意识；、增加阅读量，培养语感，积极发掘规范使用虚词的潜意识；6.这与其说是靠他个人的力量，不如说是由于他是社会的一个成员。7.他的一生自然使我想起了论语中孔子同他的弟子的一段对话。8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔碰到了自己在中学时代的恋人。.老王对公司的新措施有些看法，也是正常的老王对公司的新措施有些看法，也是正常的人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件
