1、1函数及其表示函数及其表示 1 函数及其表示 2三年三年1616考考 高考指数高考指数:1.1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表如列表法、图像法、解析法法、图像法、解析法)表示函数；表示函数；3.3.了解简单的分段函数，并能简单地应用了解简单的分段函数，并能简单地应用.2 三年1 6 考 高考指数:31.1.函数的概念、定义域及表示法函数的概念、定义域及表示法(特别是分段函数特别是分段函数)是近几年是近几年高考命题的热点高考命题的热点.2.2.常和对数
2、、指数、函数的性质等相结合考查，有时也会命常和对数、指数、函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题制新定义问题.3.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.3 1.函数的概念、定义域及表示法(特别是分段函数)是近几年高41.1.函数的概念函数的概念条件条件给定两个非空数集给定两个非空数集A A和和B B；按照某个对应关系按照某个对应关系f f；集合集合A A中任何一个数中任何一个数x x，在集合，在集合B B中都存在中都存在唯一确定的数唯一确定的数f(x)f(x)与之对应与之对应.结论结论对应关系对应关系f f叫作定义在集合叫作定义在集合A A上
3、的函数上的函数记法记法f f：AB,AB,或或y=f(x),xAy=f(x),xA自变量自变量与函数值与函数值自变量是自变量是x.x.当当x=ax=a时时,则用则用f(a)f(a)表示函数表示函数y=f(x)y=f(x)的函数值的函数值.4 1.函数的概念条件给定两个非空数集A 和B；结论对应关系f5【即时应用即时应用】(1)(1)思考：函数定义中对集合思考：函数定义中对集合A A中的元素有什么要求？中的元素有什么要求？提示：提示：全部参与对应全部参与对应;在集合在集合B B中对应元素存在且唯一确中对应元素存在且唯一确定定.5【即时应用】6(2)(2)判断下列对应关系判断下列对应关系f f是否
4、是从是否是从A A到到B B的函数的函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”)A=RA=R，B=x|xB=x|x0,f:x|x|;()0,f:x|x|;()A=RA=R，B=RB=R，f:xxf:xx2 2;()()A=Z,B=RA=Z,B=R，f:x ()f:x ()A=ZA=Z，B=ZB=Z，f:xxf:xx2 2-3.-3.()()x；6(2)判断下列对应关系f 是否是从A 到B 的函数.(请在括号中7【解析解析】否，因为否，因为A A中的元素中的元素0 0在在B B中没有对应元素中没有对应元素;否，因为否，因为A A中的元素为负整数时在中的元素为负整数时在B B中没有对
5、应元素中没有对应元素;是，满足函数的定义，是从是，满足函数的定义，是从A A到到B B的函数的函数.答案：答案：否否 是是 否否 是是7【解析】否，因为A 中的元素0 在B 中没有对应元素;82.2.函数的构成要素函数的构成要素函数由函数由_、_、_三个要素构成，对函数三个要素构成，对函数y=f(x),xAy=f(x),xA，其中，其中，(1)(1)定义域定义域:自变量自变量x x的的_._.(2)(2)值域：函数值的集合值域：函数值的集合_._.定义域定义域值域值域对应关系对应关系集合集合A Af(x)|xAf(x)|xA8 2.函数的构成要素定义域值域对应关系集合A f(x)|x 9【即时
6、应用即时应用】(1)(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数判断下列各组函数中，是否是同一函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”)f(x)=xf(x)=x与与g(x)=()g(x)=()2 2 ()()f(x)=|x|f(x)=|x|与与g(x)=g(x)=()()f(x)=x|x|f(x)=x|x|与与g(x)=()g(x)=()f(x)=f(x)=与与g(t)=t+1(t1)()g(t)=t+1(t1)()(2)(2)函数函数y=xy=x2 2-2x-2x的定义域为的定义域为0,1,2,30,1,2,3，那么其值域为，那么其值域为_._.(3)(3)设集合设集合A=x|y
7、=,A=x|y=,集合集合B=y|y=xB=y|y=x2 2,xR,xR,则则AB=_.AB=_.x33x22x x0 x x02x1x 1x29【即时应用】10【解析解析】(1)(1)否，函数否，函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)的定义域不同；的定义域不同；否，函数否，函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)的对应关系不同；的对应关系不同；否，函数否，函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)的定义域不同；的定义域不同；是，函数是，函数f(x)=x+1(x1)f(x)=x+1(x1)与与g(t)=t+1(t1)g(t)=t+1(t1)是同一是同一函数函数.(2)(2)当当x x取取0,1
8、,2,30,1,2,3时，对应的时，对应的y y的值依次为的值依次为0,-1,0,3,0,-1,0,3,所以其值所以其值域为域为-1,0,3.-1,0,3.(3)(3)已知已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.AB=x|x2.2x1x 11 0【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；11答案：答案：(1)(1)否否 否否 否否 是是(2)-1,0,3 (3)x|x2(2)-1,0,3 (3)x|x21 1 答案：(1)否 否 否 是123.3.函数的表示方法函数的表示方法表示函数常用的方法有：表示函数常用的方法有：
9、_、_和和_._.列表法列表法图像法图像法解析法解析法1 2 3.函数的表示方法列表法图像法解析法13【即时应用即时应用】(1)(1)下列四个图像是函数下列四个图像是函数f(x)=x+f(x)=x+的图像的是的图像的是_._.xx1 3【即时应用】14(2)(2)若若f(+1)=x+f(+1)=x+则则f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._.x2 x，1 4(2)若f(+1)=x+则f(x)的解析15【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=(2)(2)方法一：令方法一：令t=+1t=+1，则，则x=(t-1)x=(t-1)2 2,t1,t1，代入原式有代入原式有f(t)=(t-1)f(
10、t)=(t-1)2 2+2(t-1)=t+2(t-1)=t2 2-1,-1,f(x)=xf(x)=x2 2-1(x1).-1(x1).方法二：方法二：x+=(+1)x+=(+1)2 2-1,-1,f(+1)=(+1)f(+1)=(+1)2 2-1.-1.又又 +11,+11,f(x)=xf(x)=x2 2-1(x1).-1(x1).x 1,x0.x 1,x0，是x2 xxxxx1 5【解析】(1)f(x)=16答案：答案：(1)(1)(2)f(x)=x(2)f(x)=x2 2-1(x1)-1(x1)1 6 答案：(1)174.4.分段函数分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因若函数在其定义域
11、的不同子集上，因_不同而分别用不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.对应关系对应关系1 7 4.分段函数对应关系18【即时应用即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(x)=f(x)=(2)(2)设设 若若f(x)=3f(x)=3，则，则x=_.x=_.x 1,x15f(f()_.x3,x 12，则 2x2,x1f xx,1 x2,2x,x2 1 8【即时应用】19【解析解析】(1)(1)(2)(2)当当x-1x-1时，时，-x+2=3-x+2=3，得，得x=-1x=-1，符合要求；，符合要求；当当-1-1x x2 2时，时，x x2
12、 2=3=3，得，得x=x=只有只有 符合要求；符合要求；当当x2x2时，时，2x=3,2x=3,得得x=x=不符合要求不符合要求.综上可知，综上可知，x=-1x=-1或或答案：答案：(1)(2)-1(1)(2)-1或或551f()3,222 5113f(f()f()1.2222 3，33,23.3231 9【解析】(1)205.5.映射的概念映射的概念条件条件两个非空集合两个非空集合A A与与B B间存在着对应关系间存在着对应关系f f；A A中的中的_元素元素x x，B B中总有中总有_的一个元素的一个元素y y与它对与它对应应.结论结论_称为从称为从A A到到B B的映射的映射一一一一映
13、射映射记作记作f f：ABAB记法记法像与像与原像原像A A中每一个元素在中每一个元素在B B中都有中都有_的像与之对应；的像与之对应；A A中的不同元素的像中的不同元素的像_；B B中的每一个元素都有中的每一个元素都有_._._称为原像，称为原像，_称为称为x x的像，的像，f f：_每一个每一个唯一唯一对应关系对应关系f fA A中的元素中的元素x xB B中的对应元素中的对应元素y y唯一唯一也不同也不同原像原像xyxy2 0 5.映射的概念条件两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f21【即时应用即时应用】(1)(1)思考：设思考：设f f：ABAB是一个映射，则是一个映射，则A A中
14、每一个元素都有像，中每一个元素都有像，而而B B中的每一个元素都有原像吗？中的每一个元素都有原像吗？提示：提示：不一定不一定.由映射的定义可知由映射的定义可知B B中的每一个元素在中的每一个元素在A A中不中不一定有原像一定有原像.2 1【即时应用】22(2)(2)设设A=0,1,2,4A=0,1,2,4，B=0,1,2,6,8B=0,1,2,6,8，判断下列对应关系是，判断下列对应关系是否是否是A A到到B B的映射的映射.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”)f:xxf:xx3 3-1 ()-1 ()f:x(x-1)f:x(x-1)2 2 ()()f:x2f:x2x-1 x-
15、1 ()()f:x2x ()f:x2x ()1,22 2(2)设A=0,1,2,4 ，B=0,1,2,23【解析解析】不是，当不是，当A A中的中的x=0 x=0，2 2，4 4时在时在B B中没有对应元素；中没有对应元素；不是，当不是，当A A中的中的x=4x=4时在时在B B中没有对应元素；中没有对应元素；是，满足映射的定义，是从是，满足映射的定义，是从A A到到B B的映射；的映射；不是，当不是，当A A中的中的x=2x=2时在时在B B中没有对应元素中没有对应元素.答案：答案：否否 否否 是是 否否2 3【解析】不是，当A 中的x=0，2，4 时在B 中没有对应元24 求简单函数的定义
16、域、值域求简单函数的定义域、值域【方法点睛方法点睛】1.1.求简单函数的定义域的方法求简单函数的定义域的方法(1)(1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组组)求解求解.(2)(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义的不等式实际问题：由实际意义及使解析式有意义的不等式(组组)求解求解.2 4 求简单函数的定义域、值25(3)(3)求抽象函数的定义域：求抽象函数的定义域：若已知函数若已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，其复合函数，其复合函数f(g(x)f(g(x)的定义域由不等式的定义域由不等式ag(x)ba
17、g(x)b求出求出.若已知函数若已知函数f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(x)f(x)的定义域的定义域为为g(x)g(x)在在xxa,ba,b时的值域时的值域.2 5(3)求抽象函数的定义域：262.2.求简单函数值域的方法求简单函数值域的方法(1)(1)观察法；观察法；(2)(2)图像观察法；图像观察法；(3)(3)单调性法；单调性法；(4)(4)分离常数法；分离常数法；(5)(5)均值不等式法；均值不等式法；(6)(6)换元法换元法.2 6 2.求简单函数值域的方法27【例例1 1】(1)(2012(1)(2012西安模拟西安模拟)函数函数f(x)=f(x
18、)=的定义的定义域为域为_._.(2)(2012(2)(2012郑州模拟郑州模拟)已知函数已知函数f(2f(2x x)的定义域是的定义域是-1,1-1,1，求，求f(x)f(x)的定义域；的定义域；(3)(3)求下列函数的值域求下列函数的值域.y=xy=x2 2+2x,x+2x,x0,30,3;y=logy=log3 3x+logx+logx x3-1;3-1;21x12x2x1y2.2 7【例1】(1)(2 0 1 2 西安模拟)函数f(x)=28【解题指南解题指南】(1)(1)根据解析式求定义域，只需构建使解析式根据解析式求定义域，只需构建使解析式有意义的不等式组求解即可；有意义的不等式组
19、求解即可；(2)(2)求抽象函数的定义域，要明确求抽象函数的定义域，要明确2x2x与与f(x)f(x)中中x x的含义的含义;(3)(3)根据解析式的特点，分别选用图像观察法；均值不根据解析式的特点，分别选用图像观察法；均值不等式法；单调性法求值域等式法；单调性法求值域.2 8【解题指南】(1)根据解析式求定义域，只需构建使解析式有29【规范解答规范解答】(1)(1)要使该函数有意义，需要要使该函数有意义，需要 解得解得:x-2:x-2或或-2x-1-2x-1或或1x21x2.x2.所以所求函数的定义域为所以所求函数的定义域为(-,-2)(-2,-1(-,-2)(-2,-11,2)1,2)(2
20、,+).(2,+).x1x1x2 或则有：，2x102x0，2 9【规范解答】(1)要使该函数有意义，需要30答案：答案：(-,-2)(-2,-1(-,-2)(-2,-11,2)(2,+)1,2)(2,+)(2)f(2(2)f(2x x)的定义域为的定义域为-1-1，1 1，即，即-1x1,-1x1,故故f(x)f(x)的定义域为的定义域为 2 2.x1222，1,23 0 答案：(-,-2)(-2,-1 1,2)(2,31(3)(3)y=(x+1)y=(x+1)2 2-1-1，在，在0,30,3上的图像如图所示上的图像如图所示,由图像知：由图像知：0y30y32 2+2+23=15,3=15
21、,所以值域为所以值域为0,150,15.3 1(3)y=(x+1)2-1，在0,3 上的图像如图所32y=logy=log3 3x+-1x+-1，定义域为，定义域为(0,1)(1,+)(0,1)(1,+)，当当0 0 x x1 1时，时，yy当当x x1 1时，时，yy综上可知，值域为综上可知，值域为(-,-3(-,-31,+).1,+).xx2 2-1-1-1-1，又，又y=2y=2x x在在R R上为增函数上为增函数,故值域为故值域为 +).+).31log x3312(log x)()13,log x 3312 log x1 1,log x 2x111y22,21,23 2 y=l o
22、g 3 x+-1，定义域为(0,1)33【互动探究互动探究】若本例若本例(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求f(logf(log2 2x)x)的定义域的定义域.【解析解析】由本例由本例()中知中知f(x)f(x)的定义域为的定义域为 2 2,函数函数y=f(logy=f(log2 2x)x)中，中，loglog2 2x2,x2,即：即：loglog2 2xlogxlog2 24,x4,4,x4,故函数故函数f(logf(log2 2x)x)的定义域为的定义域为 4 4.1,2122log222,3 3【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(l o g 2 x)的34【反思反思感悟感悟】1
23、.1.求函数的定义域，其实质就是以函数解析求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式式有意义为准则，列出不等式(组组)，从而求解，从而求解.2.f(g(x)2.f(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，指的是，指的是x x的取值范围是的取值范围是a,ba,b，而不是，而不是g(x)g(x)的取值范围是的取值范围是a,ba,b.3.3.求函数的值域时，若能画出图像，则用图像观察法求解；求函数的值域时，若能画出图像，则用图像观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足均值不等式的若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足均值不等式的条件，则用均值不等式法求解条件，则用
24、均值不等式法求解.3 4【反思 感悟】1.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式35【变式备选变式备选】若函数若函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为R R，则，则a a的取的取值范围为值范围为_._.【解析解析】因为函数因为函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，即，即 0,0,对对xRxR恒成立，亦即恒成立，亦即x x2 2+2ax-a0+2ax-a0恒成立恒成立,需需=(2a)=(2a)2 2-4-4(-a)=4a(-a)=4a2 2+4a0+4a0即可即可,解得解得:-1a0.:-1a0.答案：答案：a|-1a0a|-1a02x2ax a212x2ax a213 5【变式
25、备选】若函数f(x)=的定义域36 分段函数及其应用分段函数及其应用【方法点睛方法点睛】分段函数求值、解不等式及求解析式的方法分段函数求值、解不等式及求解析式的方法处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时，首处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论定时，要分类讨论.【提醒提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数虽由几个部分
26、组成，但它表示的是一个函数.3 6 分段函数及其应用37【例例2 2】(1)(2012(1)(2012南昌模拟南昌模拟)已知函数已知函数则则f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)-1-1的解集为的解集为()()(A)(-,-1)(1,+)(A)(-,-1)(1,+)(B)(B)-1,)(0,1-1,)(0,1(C)(-,0)(1,+)(C)(-,0)(1,+)(D)(D)-1,-1,(0,1)(0,1)x 1 (1x0)f(x)x 1 (0 x1)，12123 7【例2】(1)(2 0 1 2 南昌模拟)已知函数38(2)(2)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图像由图中的两条射线和
27、抛物线的一的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式部分组成，求函数的解析式.3 8(2)已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线39【解题指南解题指南】(1)(1)求解关于分段函数的不等式，一般的思路求解关于分段函数的不等式，一般的思路是根据每一段的解析式分类求解，再求其并集是根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.(2)(2)已知图像形状，求解析式，可用待定系数法已知图像形状，求解析式，可用待定系数法.3 9【解题指南】(1)求解关于分段函数的不等式，一般的思路是40【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.当当-1x-1x0 0时，时，0 0-x1-x1，此时
28、，此时f(x)=-x-1f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)-1-1化为化为-2x-2-2x-2-1-1，得得x x 则则-1x-1x当当0 0 x1x1时，时，-1-x-1-x0 0，此时，此时，f(x)=-x+1f(x)=-x+1，f(-x)=f(-x)=-(-x)-1=x-1,-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)-1-1化为化为-x+1-(x-1)-x+1-(x-1)-1,-1,解得解得x x 则则0 0 x1.x1.故所求不等式的解集为故所求不等式的解集为-1,)
29、(0,1-1,)(0,1.12，1.232，124 0【规范解答】(1)选B.当-1 x 0 时，0-x 141(2)(2)根据图像，设左侧的射线对应的解析式为根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x1).y=kx+b(x1).点点(1,1),(0,2)(1,1),(0,2)在射线上在射线上,左侧射线对应函数的解析式为左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);y=-x+2(x1);同理同理,x3,x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=x-2(x3).y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)y=a(x-2)2 2
30、+2(1x3,+2(1x3,a a0)0)，kb1k1,.b2b2解得4 1(2)根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y=k x+b 42点点(1,1)(1,1)在抛物线上，在抛物线上，a+2=1,a=-1,a+2=1,a=-1,1x31x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=-xy=-x2 2+4x-2(1x3),+4x-2(1x3),综上，函数的解析式为综上，函数的解析式为2x2,x 1yx4x2,1x3.x2,x3 4 2 点(1,1)在抛物线上，43【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)的条件不变，求函数的条件不变，求函数y=f(x)y=f(x)的值域的值域.【解析解析】方法一：
31、由函数方法一：由函数y=f(x)y=f(x)的图像可得其值域为的图像可得其值域为y1y1，所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的值域为的值域为y|y1.y|y1.方法二：由函数方法二：由函数y=f(x)y=f(x)的解析式可知的解析式可知,当当x x1 1时，时，y(1,+);y(1,+);当当1x31x3时，时，yy1,21,2;当当x x3 3时，时，y(1,+),y(1,+),所求函数的值域为所求函数的值域为1,+).1,+).4 3【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值44【反思反思感悟感悟】当分段函数的自变量在不同的取值范围内取当分段函数的自变量在不同的取值范围
32、内取值时，其对应关系也不同；其定义域是各段定义域的并集，值时，其对应关系也不同；其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，解分段函数问题时要分段解决值域是各段值域的并集，解分段函数问题时要分段解决.4 4【反思 感悟】当分段函数的自变量在不同的取值范围内取值时45【变式备选变式备选】1.(20121.(2012青岛模拟青岛模拟)设函数设函数 若若f(-2)f(-2)=f(0),f(-1)=-3=f(0),f(-1)=-3，则关于，则关于x x的方程的方程f(x)=xf(x)=x的解的个数为的解的个数为()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)42
33、xbxc,x0f(x)2,x0，4 5【变式备选】46【解析解析】选选B.B.由已知得由已知得 当当x0 x0时，由时，由f(x)=xf(x)=x得得x x2 2+2x-2=x+2x-2=x，得，得x=-2x=-2或或x=1,x=1,又又x0 x0，故，故x=1x=1舍去舍去,即即x=-2.x=-2.当当x x0 0时，由时，由f(x)=xf(x)=x得得x=2,x=2,所以方程所以方程f(x)=xf(x)=x有两个解有两个解.222(2)2bccb2 ,c2(1)bc3x2x2 (x0)f(x),2 (x0)解得4 6【解析】选B.由已知得 472.2.甲、乙两地相距甲、乙两地相距15015
34、0千米，某货车从甲地运送货物到乙地，千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时以每小时5050千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1 1小时，然后以每小时小时，然后以每小时6060千米的速度返回甲地千米的速度返回甲地.从货车离开甲从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为别为x x小时和小时和y y千米，试写出千米，试写出y y与与x x的函数解析式的函数解析式.4 7 2.甲、乙两地相距1 5 0 千米，某货车从甲地运送货物到乙地48【解析解析】由题意，可知货车从甲地前往
35、乙地用了由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3 3小时，而从小时，而从乙地返回甲地用了乙地返回甲地用了2.52.5小时小时.当货车从甲地前往乙地时当货车从甲地前往乙地时,由题意，可知由题意，可知y=50 x(0 x3);y=50 x(0 x3);当货车卸货时当货车卸货时,y=150(3,y=150(3x x4)4)；当货车从乙地返回甲地时当货车从乙地返回甲地时,由题意，知由题意，知y=150-60(x-4)(4x6.5).y=150-60(x-4)(4x6.5).50 x,0 x3y150,3x4.39060 x,4x6.5所以 4 8【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3 小时，而从49
36、 求函数值求函数值【方法点睛方法点睛】求函数值的类型及解法求函数值的类型及解法(1)f(g(x)(1)f(g(x)型：遵循先内后外的原则；型：遵循先内后外的原则；(2)(2)分段函数型：应根据自变量值所在区间对应求值，不确定分段函数型：应根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；时要分类讨论；(3)(3)含有函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数含有函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；(4)(4)抽象函数型：要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求抽象函数型：要用
37、好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值得待求函数值.4 9 求函数值50【例例3 3】(2012(2012滁州模拟滁州模拟)已知定义域为已知定义域为R R的函数的函数f(x)f(x)对任意对任意的的x,yR,f(x)0,x,yR,f(x)0,且且f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)，则，则f(0)f(0)的值为的值为_._.【解题指南解题指南】根据根据f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)给给x,yx,y赋适当的值求解赋适当的值求解.5 0【例3】(2 0 1 2 滁州模拟)已知定义域为R 的函数f(x51【规范解答规范解答】因为因为f(x
38、)f(x)对任意的对任意的x,yR,x,yR,有有f(x+y)=f(x)f(y),f(x+y)=f(x)f(y),则令则令x=y=0 x=y=0，得，得f(0)=ff(0)=f2 2(0)(0)，又又f(x)0f(x)0，f(0)=1.f(0)=1.答案：答案：1 1 5 1【规范解答】因为f(x)对任意的x,y R,有f(x+y52【反思反思感悟感悟】对于这类给出函数所满足的抽象的性质，但对于这类给出函数所满足的抽象的性质，但不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，关系的结构特
39、征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.5 2【反思 感悟】对于这类给出函数所满足的抽象的性质，但不知53【变式训练变式训练】已知已知 则则f()+f()f()+f()的的值等于值等于()()(A)-2 (B)1 (C)2 (D)3(A)-2 (B)1 (C)2 (D)3【解析解析】选选D.D.cos x x0f xf(x 1)1 x0，434341 f(),324125f()f()1f()2,333244f()f()3.33 5 3【变式训练】已知 54【变式备选变式备选】设对任意实数设对任意实数x
40、,yx,y均有均有f(x+y)=2f(y)+xf(x+y)=2f(y)+x2 2+2xy-+2xy-y y2 2+3x-3y,+3x-3y,(1)(1)求求f(0)f(0)；(2)(2)求求f(x)f(x)的解析式的解析式.【解析解析】(1)(1)令令x=y=0,f(0)=0.x=y=0,f(0)=0.(2)(2)当当x x为任意实数，为任意实数，y=0y=0时时,f(x)=2f(0)+xf(x)=2f(0)+x2 2+3x,f(x)=x+3x,f(x)=x2 2+3x.+3x.5 4【变式备选】设对任意实数x,y 均有f(x+y)=2 f(y55【创新探究创新探究】与函数有关的新定义问题与函
41、数有关的新定义问题【典例典例】(2011(2011广东高考广东高考)设设f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x)是是R R上的任意上的任意实值函数，如下定义两个函数实值函数，如下定义两个函数(f(fg)(x)g)(x)和和(fg)(x):(fg)(x):对任意对任意xRxR，(f(fg)(x)=f(g(x)g)(x)=f(g(x)；(fg)(x)=f(x)g(x).(fg)(x)=f(x)g(x).则下列等则下列等式恒成立的是式恒成立的是()()5 5【创新探究】与函数有关的新定义问题56(A)(f(A)(fg)h)(x)=(fh)g)h)(x)=(fh)(gh)(x)(gh)(x
42、)(B)(fg)(B)(fg)h)(x)=(fh)(x)=(fh)(gh)(gh)(x)h)(x)(C)(f(C)(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)(D)(fg)h)(x)=(fh)(gh)(x)(D)(fg)h)(x)=(fh)(gh)(x)【解题指南解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断判断.5 6(A)(f g)h)(x)=(f h)(g h)57【规范解答规范解答】选选B.B.根据新函数的定义分析如下表，根据新函数的定义分析如下表，选项选项分析分析结论结论A A(f(fg)g)h)(x
43、)=(fh)(x)=(fg)(x)h(x)g)(x)h(x)=f(g(x)h(x);=f(g(x)h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(gh)(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(g(x)h(x)h)(g(x)h(x)=f(g(x)h(x)h(g(x)h(x);=f(g(x)h(x)h(g(x)h(x);等式等式不恒成立不恒成立B B(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(h(x)g)(h(x)=f(h(x)g(h(x);=f(h(x)g(h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(x)(gh)(x)(gh)(x)
44、h)(x)=f(h(x)g(h(x);=f(h(x)g(h(x);等式等式恒成立恒成立 5 7【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，选项分析结58选项选项分析分析结论结论C C(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(h(x)g)(h(x)=f(g(h(x);=f(g(h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(gh)(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(g(h(x)h)(g(h(x)=f(h(g(h(x);=f(h(g(h(x);等式等式不恒成立不恒成立 D D(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(x)h(x)g)(x)h(
45、x)=f(x)g(x)h(x);=f(x)g(x)h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(x)(gh)(x)(gh)(x)h)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x).=f(x)h(x)g(x)h(x).等式等式不恒成立不恒成立 5 8 选项分析结论C(f g)h)(x)=(f g)(h(59【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议点拨和备考建议:创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖
46、.(2)(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力能力和抽象概括能力.5 9【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨60备备考考建建议议对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备考考20132013年高考中，要高度关注以下几点：年高考中，要高度关注以下几点：(1)
47、(1)熟练掌握函数有关的概念、运算熟练掌握函数有关的概念、运算;(2)(2)强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定义、强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定义、新运算，会类比函数有关的定义、运算求解；新运算，会类比函数有关的定义、运算求解；(3)(3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力及转化与化归能力的提高及转化与化归能力的提高.6 0 备对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备611.(20111.(2011江西高考江西高考)若若 则则f(x)f(x)的定义域为的定义域为 ()()(A)(0)(B)(+)(A)(0)(
48、B)(+)(C)(0)(0,+)(D)(2)(C)(0)(0,+)(D)(2)【解析解析】选选C.C.要使函数要使函数f(x)f(x)有意义有意义,则需则需 f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0)(0,+).(0)(0,+).121f(x),log(2x 1)1,21,21,21,21212x 10 x,2log(2x 1)0 x0 即1,26 1 1.(2 0 1 1 江西高考)若 622.(20112.(2011北京高考北京高考)根据统计，一名工人组装第根据统计，一名工人组装第x x件某产品所件某产品所用的时间用的时间(单位：分钟单位：分钟)为为已知工人组装第已知工人组装第4 4件产品
49、用时件产品用时3030分钟，组装第分钟，组装第A A件产品用时件产品用时1515分分钟，那么钟，那么c c和和A A的值分别是的值分别是()()(A)75(A)75，2525(B)75(B)75，1616(C)60(C)60，2525(D)60(D)60，1616cxAxf(x)(Ac)cxAA，为常数，6 2 2.(2 0 1 1 北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某63【解析解析】选选D.D.当当A A4 4时，时，解得解得c=60c=60，A=16;A=16;当当A4A4时，时，无解无解.cf(4)302cf(A)15A，cf(4)30Acf(4)15A，6 3【解析】选D.当A
50、4 时，643.(20123.(2012淮南模拟淮南模拟)对定义域分别为对定义域分别为D D1 1,D,D2 2的函数的函数y=f(x),y=f(x),y=g(x)y=g(x)，规定：函数，规定：函数h(x)=h(x)=若若f(x)=-2x+3(x1),g(x)=x-2(x2),f(x)=-2x+3(x1),g(x)=x-2(x2),则则h(x)h(x)的解析式的解析式h(x)=_.h(x)=_.121212f(x)g(x),xDxDf(x),xDxDg(x),xDxD，且且，且6 4 3.(2 0 1 2 淮南模拟)对定义域分别为D 1,D 2 的函数65【解析解析】根据规定：当根据规定：当
