1、经济经济 管理系管理系教师：教师：韩忠韩忠日期：日期：2010年年5月月21日日1 灰色系统理论概述灰色系统理论概述2 灰色灰色GM(1.1)模型模型3 序列光滑度的理论分析序列光滑度的理论分析4 灰色灰色GM(1.1)优化模型分析优化模型分析 5 灰色模型的应用灰色模型的应用 1.1 1.1 灰色系统理论的产生及发展动态灰色系统理论的产生及发展动态 1.2 1.2 灰色系统的研究内容灰色系统的研究内容 1.3 1.3 灰色系统理论在建模中的应用灰色系统理论在建模中的应用 定义定义1.1 系统是客观世界普遍存在的一种物质系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式运动形式,它和运动性一样它和运动性
2、一样,是物质存在的一种是物质存在的一种根本属性根本属性.定义定义1.2 灰色系统是指灰色系统是指“部分信息已知部分信息已知,部分信部分信息未知息未知”的的“小样本小样本”,“贫信息贫信息”的不确定性的不确定性系统系统,它通过对它通过对“部分部分”已知信息的生成、开发已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述和演化规律的正确把握和描述.灰色系统模型的灰色系统模型的特点：特点：对试验观测数据及其分对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广
3、的应用领域。新理论，具有十分宽广的应用领域。灰色系统理论，是在一般系统理论的基础上灰色系统理论，是在一般系统理论的基础上产生的，它是系统科学思想发展的必然产物，产生的，它是系统科学思想发展的必然产物，是社会经济深入发展对科学刺激和需要的产是社会经济深入发展对科学刺激和需要的产物。当我们认识与研究自然和社会时，要从物。当我们认识与研究自然和社会时，要从系统的角度出发，从宏观上对其进行深入的系统的角度出发，从宏观上对其进行深入的剖析和整体把握。在实际中，我们首先要对剖析和整体把握。在实际中，我们首先要对事物进行系统性认识，进而对已有的系统进事物进行系统性认识，进而对已有的系统进行有效控制以及设计一
4、些最优系统来为人民行有效控制以及设计一些最优系统来为人民服务。对系统进行控制就要通过系统内部和服务。对系统进行控制就要通过系统内部和外部的信息和信息流来加以实施，通过对信外部的信息和信息流来加以实施，通过对信息的控制进而达到对系统本身的控制。息的控制进而达到对系统本身的控制。但是无论是现代控制理论还是经典控制理论，但是无论是现代控制理论还是经典控制理论，它们都要依赖正确而精确的数学模型，否则，它们都要依赖正确而精确的数学模型，否则，一切都很难取得满意的结果。然而，在现实生一切都很难取得满意的结果。然而，在现实生活中，有许多情况不大可能求得精确的数学模活中，有许多情况不大可能求得精确的数学模型，
5、如工业系统、生物系统、经济系统、社会型，如工业系统、生物系统、经济系统、社会系统等。若得不出精确的数学模型，现代控制系统等。若得不出精确的数学模型，现代控制理论的方法和手段就无法施行，因而，现代控理论的方法和手段就无法施行，因而，现代控制理论对一些研究对象也鞭长莫及。制理论对一些研究对象也鞭长莫及。当人们对这些问题进行潜心研究时，当人们对这些问题进行潜心研究时，查德查德于于1965年首创年首创模糊理论模糊理论，第一次用精确的数，第一次用精确的数学方式来分析和研究模糊量，取得了新的突破，学方式来分析和研究模糊量，取得了新的突破，随后，模糊集合论迅速应用于控制领域，随后，模糊集合论迅速应用于控制领
6、域，收到了良好的效果收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法模糊控制能够对一些无法构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也构造数学模型的系统进行控制，但模糊控制也表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗表现出固有的弱点，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下糙、精度低等。因而，在要求高精度的情况下，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它象的运动规律作深刻的阐明，故模糊控制有它的局限性，只适应于一些特有的模糊系统的局限性，只适应于一些特有的模糊系统。经典控制理论、现代控制理论和模糊控制经典控制
7、理论、现代控制理论和模糊控制理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对理论都有一个共同点，那就是它们所研究的对象系统必须是象系统必须是白色系统白色系统（信息完全确知的系统（信息完全确知的系统），而事实上，无论是自然系统还是社会系统），而事实上，无论是自然系统还是社会系统，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有，宏观系统还是微观系统，无生命系统还是有生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息生命系统，对我们认识的主体来说，总是信息不完全的，艰难说明一个系统的内部参数是完全的。毫无疑问，内部参数不完全的系统具有极为普遍的意义。就像模糊理论的诞生一样，灰色系统理论也应运而生了。灰色系统理论是我国学者邓聚
8、龙教授于19世纪80年代初创立并发展的理论，它把一般系统论，信息论和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，结合运用数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法，20多年来，灰色系统理论引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论已成功应用到工业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大量实际问题。灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要包括：灰色系统建模理论、灰色系统控制理论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰色规划方法、灰色决策方法等。今天我们主要介绍灰色系统建模理论及灰色数列预测。灰色数列预测是指利用动态GM模型，对系统的时间
9、序列进行数量大小的预测，即对系统的主行为特征量或某项指标，发展变化到未来特定时刻出现的数值进行预测。灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。2.1 2.1 灰色生成灰色生成 2.2 GM2.2 GM（1.11.1）模型建模机理）模型建模机理 2.3 GM(1.1)2.3 GM(1.1)模型的精度检验模型的精度检验 2.1 灰色生成 将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩
10、盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.2.1.1 累加生成 累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.(0)(0)(0)(
11、0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1),(2),(),(1),(2),(),:xxxxxnxxxxxnxx 令令为为原原始始序序列列,记记生生成成数数为为如如果果与与之之间间满满足足如如下下关关系系(1)(0)1()();1,2,(21)kixkxikn ,1()AGO AccumulatingGenerationOperator 一一次次累累加加生生成成则则称称为为记记为为:r次次累累加加生生成成有有下下述述关关系系()(1)1()()(22)krrixkxi (22),1:rr从从式式 又又有有次次到到 次次的的累累加加为为1()(1)(1)(1)(1)1()()()(
12、1)()krrrrrixkxixkxkxk ()(1)(2)111()()()kkirrriijxkxixj 累累加加生生成成在在灰灰色色系系统统理理论论中中有有着着非非常常重重要要的的地地位位,它它能能使使任任意意非非负负数数列列,摆摆动动的的或或非非摆摆动动的的,转转化化为为非非减减的的的的,递递增增的的数数列列.2.1.2 累减生成 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为.()()
13、(),:rrixrxi 令令为为 次次生生成成数数列列 对对作作 次次累累减减生生成成记记为为其其基基本本关关系系式式为为(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()()()()()(1)()()(1)(25)()()(1)rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk (0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki 式式中中为为 次次累累减减 即即无无累累减减为为1 1次次累累减减,即即与与 时时刻刻两两个个零零次次累累减减量量求求差差,为为 次次累累减减,即即与与 时时刻刻两两个个次次累累
14、减减量量求求差差(25):从从式式还还可可得得到到以以下下关关系系(1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)()()(1)()(1)(26)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk (2)()(1)()(1)()(1)(1)1(2)(2)11(2)()()(1)()(1)(27)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk :同同理理可可得得()()()()()(28)irr ixkxk()()(0)()()(29)rrxkxk(29),.,.:1,rrr 从从式式可可以以看看出出 对对 次次生生成成数数列列作作 次次累累
15、减减即即还还原原为为非非生生成成数数列列事事实实上上 累累加加中中包包含含着着累累减减 累累减减中中包包含含着着累累加加比比如如时时 有有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)kkiixkxixixkxkxk(0)(1)(1)()()(1)xkxkxk进进一一步步有有(1)()()()()(1)(211)rrrxkxkxk.上上述述关关系系式式经经常常被被用用在在从从生生成成数数列列求求还还原原数数列列中中2.1.3 均值生成.均均值值生生成成分分为为邻邻均均值值生生成成与与非非邻邻均均值值生生成成两两种种,(1),(2),(),(),()0.5()0.
16、5(1),()Xxxx nkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于等等时时距距的的数数列列,用用相相邻邻数数据据的的平平均均值值构构造造新新的的数数据据.即即若若有有原原始始数数列列记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为邻邻均均值值生生成成数数,显显然然,这这种种生生成成是是相相邻邻值值的的等等邻邻均均值值生生成成权权生生成成.,(1),(2),(),(1),(),(),(),()0.5(1)0.5(1),()Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于非非等等时时距距的的数数列列,或或虽虽为为等等时时距距数数列列,但但剔剔除除异异
17、常常值值之之后后出出现现空空穴穴的的数数列列,用用空空穴穴两两边边的的数数据据求求平平均均值值构构造造新新的的数数据据以以填填补补空空穴穴,即即若若有有原原始始数数据据这这里里为为空空穴穴 记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为非非邻邻均均值值生生成成数数,显显然然,这这种种生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非邻邻均均值值生生成成等等权权生生成成.2.1.4 级比生成 级级比比生生成成是是一一种种常常用用的的填填补补序序列列端端点点空空穴穴的的方方法法.对对数数列列端端点点值值的的生生成成,我我们们无无法法采采用用均均值值生生成成填填补补空空缺缺,只只能能采采用用级级比比生生级
18、级比比生生成成.成成是是级级比比级级比比生生(k(k成成在在建建模模中中可可以以获获得得较较好好的的灰灰)与与光光滑滑比比(k)(k)生生成成指指数数律律.的的总总称称.(0)(0)(0)(0)(1),(2),(),(),(),XxxxnKk 设设序序列列为为原原始始序序列列称称为为级级比比为为光光滑滑比比 其其表表达达式式为为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)kxkxkkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(1),(),(1)(1),()(),(1)()Xxxnnxnxnxxn设设为为端端点点是是空空穴穴的的序序列列 若若用用右
19、右邻邻的的级级比比生生成成用用的的左左邻邻级级比比生生成成则则称称和和为为级级比比生生成成2.2 GM(1.1)模型建模机理,(1.1)GM灰灰色色系系统统是是对对离离散散序序列列建建立立的的微微分分方方程程是是一一阶阶微微分分方方程程模模型型,其其形形式式为为:(2(1.1)13)dGMxaxudt:由由导导数数定定义义知知0()()limtdxx ttx tdtt 1,t 当当很很小小时时并并且且取取很很小小的的 单单位位时时 则则近近似似地地有有(1)()xx tx tt 写写成成离离散散形形式式为为(1)(1)()(1)xx kx kx kt (1),(1)(),(1)()(1),()
20、.(1),():xxx kttx kx kx kx kx kx kxx kx kt 这这表表示示是是的的一一次次累累减减生生成成 因因此此是是和和二二元元组组合合等等效效值值 则则称称与与的的二二元元组组合合为为偶偶对对,记记为为 于于是是我我们们可可以以定定义义一一个个从从 到到的的一一个个映映射射:(1),()(214)dxFx kx kdt()(),().dxR ttxdtdxR tdtdxaxudt 若若定定义义是是 时时刻刻背背景景的的就就是是对对应应的的 的的值值那那么么 每每一一个个都都有有一一个个偶偶对对背背景景值值与与之之对对应应现现在在考考虑虑一一阶阶微微程程值值分分方方,
21、1,()(),dxx udtdxdtxx tx tt 它它是是与与的的线线性性组组合合.那那么么,作作这这种种线线性性组组合合时时,所所对对应应的的背背景景值值究究竟竟取取偶偶对对是是的的哪哪一一个个呢呢?如如果果认认为为在在的的很很短短时时间间内内 变变量量之之间间不不会会出出现现突突变变量量 那那么么可可取取偶偶对对的的平平均均值值作作为为背背景景值值1()()(1)(215)2z tx kx k,(1.1)GM基基于于上上述述机机理理 下下面面介介绍绍的的具具体体模模型型及及计计算算式式,设设非非负负原原始始序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Xxxxn(0),X对对作
22、作一一次次累累加加 得得到到生生成成数数列列为为 (1)(1)(1)(1)(1),(2),()Xxxxn(1)0,()()kixkx i 其其中中(0)()(1.1)xkGM于于是是的的白白化化形形式式的的微微分分方方程程为为(1)(1)(216)dxaxudt,a u其其中中为为待待定定参参数数,将将(2-16)(2-16)式式离离散散化化,即即得得(1)(1)(1)(1)(1)(2 17)xkazx ku (1)(1)(1)(1)(1),(1)(1),(1)(1)xkxkdxzkkdt其其中中为为在在时时刻刻的的累累减减生生成成序序列列为为在在时时刻刻的的背背景景值值.因因为为(1)(1)
23、(1)(1)(0)(1)(1)()(1)(218)xkxkxkxk(1)(1)(1)1(1)(1)()(219)2zkxkxk(218),(219)将将式式代代入入(2-17)(2-17)式式,得得(0)(1)(1)1(1)()(1)(220)2xkaxkxku(220)将将式式展展开开得得(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3)(221)2()1(1)()12xxxxxxxnxnxn(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3),2()1(1)()12xxxxxxYBxnxnxn
24、 令令,(221)Tau 为为待待辨辨识识参参数数向向量量 则则可可写写成成(222)YB 参参数数向向量量 可可用用最最小小二二乘乘法法求求取取,即即1 ,()(223)TTTa uB BB Y (216),把把求求取取的的参参数数代代入入式式 并并求求出出其其离离散散解解为为(1)(1)(1)(1)(224)akuuxkxeaa 还还原原到到原原始始数数据据得得(0)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(225)aakxkxkxkuexea(224),(225)(1.1),(1.1).GMGM式式称称为为模模型型的的时时间间相相应应函函数数模模型型 它它是是模模型型灰灰色色预预测
25、测的的具具体体计计算算公公式式2.3 GM(1.1)模型的精度检验模模型型选选定定之之后后,一一定定要要经经过过检检验验才才能能判判定定其其是是否否合合理理,只只有有通通过过检检验验的的模模型型才才能能用用来来作作预预测测,灰灰色色模模型型的的精精度度检检验验一一般般有有三三种种方方法法:相相对对误误差差大大小小检检验验法法,关关联联度度检检验验法法和和后后验验差差检检验验法法.下下面面对对这这三三种种方方法法做做个个简简单单介介绍绍.2.3.1 相对误差检验法(1)(1)(0)(1.1),GMXXX设设按按建建模模法法已已求求出出并并将将做做一一次次累累减减转转化化为为即即(0)(0)(0)
26、(0)(1),(2),()(231)Xxxxn计计算算残残差差得得(0)(0)(1),(2),()(232)Eeee nXX(0)(0),()()(),1,2,e kxkxk kn其其中中计计算算相相对对误误差差得得(0)()()100%,1,2,(233)()e krel kknxk计计算算平平均均相相对对误误差差得得11(),(234)nkrelrel kn 2.3.2 后验差检验法(0)(0)2212(1.1)(231),(232),GMXXESS 设设按按建建模模法法所所求求出出的的如如所所示示 残残差差如如所所示示 原原始始序序列列及及残残差差序序列列 的的方方差差分分别别为为和和则
27、则2(0)21122211()1()(235)nknkSxkxnSe ken (0)1111,(),()nnkkxxk ee knn其其中中计计算算后后验验差差比比为为21/(236)CSS计计算算小小误误差差概概率率为为 1()0.6745(237)pP e keS1212,.CpCCSSSSC指指标标 和和 是是后后验验差差检检验验的的两两个个重重要要指指标标.指指标标 越越小小越越好好越越小小表表示示大大而而越越小小大大表表示示原原始始数数据据方方差差大大,即即原原始始数数据据离离散散程程度度大大.小小表表示示残残方方差差小小,即即残残差差离离散散程程度度小小.小小就就表表明明尽尽管管原
28、原始始数数据据很很离离散散,而而模模型型所所得得计计算算值值与与实实际际值值之之差差并并不不太太离离散散.1,0.6745,.ppC p指指标标 越越大大越越好好越越大大 表表明明残残差差与与残残差差平平均均值值之之差差小小于于给给定定值值的的点点较较多多 即即拟拟合合值值(或或预预测测值值)分分布布比比较较均均匀匀.按按两两个个指指标标 可可综综合合评评定定预预测测模模型型的的精精度度 模模型型的的精精度度由由后后验验差差和和小小误误差差概概率率共共同同刻刻划划.一一般般地地,将将模模型型的的精精度度分分为为四四级级,见见表表2 2-1 1模型精度等级模型精度等级 均方差比值均方差比值C小误
29、差概率小误差概率p1级（好）级（好）C=0.350.95=p2级（合格）级（合格）0.35C=0.50.80=p0.953级（勉强）级（勉强）0.5C=0.650.70=p0.804级（不合格）级（不合格）0.65CP0.702 1 表表精精度度检检验验等等级级参参照照表表 ,Max pC 模模型型的的精精度度级级别别的的级级别别于于是是的的级级别别2.3.3 关联度检验法灰灰关关联联分分析析实实质质上上就就是是比比较较数数据据到到曲曲线线几几何何形形状状的的接接近近程程度度,一一般般来来说说,几几何何形形状状越越接接近近,变变化化趋趋势势也也就就越越接接近近,关关联联度度就就越越大大.因因而
30、而在在进进行行关关联联分分析析时时,必必须须先先确确定定参参考考数数列列,然然后后比比较较其其它它数数列列同同参参考考数数列列的的接接近近程程度度,这这样样才才能能对对其其它它数数列列进进行行比比较较,进进而而做做出出判判断断.000001(1),(2),(),(1),(2),(),1,2,:iiiiXXXXnXXXX nimXX 设设为为参参考考序序列列为为其其它它序序列列 则则与与的的关关联联系系数数为为0000min()()maxmax()()()()maxmax()()iijijijiiijXjXjXjXjXjXjXjXj ,1,2,jn 其其中中从从关关联联系系数数的的计计算算来来看
31、看,我我们们得得到到比比较较数数列列与与参参考考数数列列在在各各点点的的关关联联系系数数值值,结结果果较较多多,信信息息过过于于分分散散,不不便便于于比比较较,因因而而有有必必要要将将每每一一比比较较数数列列各各个个时时刻刻的的关关联联系系数数集集中中体体现现在在一一个个值值上上,这这一一数数值值就就是是灰灰关关邓邓氏氏灰灰联联度度.色色关关联联度度为为11(239)niijjn (0)(0)(0)(0)0000(0)(0)(0)(0)(1),(2),(),(1),(2),(),1,2,.(1(,2,),.1,2,),iiiiXxxxnmXxxxnimmimmii i ii i设设原原始始数数
32、据据序序列列为为参参考考序序列列 用用 种种灰灰色色如如果果r r在在所所有有关关联联度度中中建建模模方方法法所所得得模模型型值值分分别别为为求求出出该该个个序序列列与与参参考考序序列列的的邓邓最最大大 则则第第 种种灰灰色色建建模模方方法法为为所所建建模模型型中中最最好好关关联联度度的的模模型型氏氏 3.1 3.1 序列的光滑性序列的光滑性 3.2 3.2 提高数据序列光滑度的方法提高数据序列光滑度的方法 3.3 3.3 基于函数基于函数sinxsinx变换的改进变换的改进GM(1.1)GM(1.1)模型模型 3.1 序列的光滑性*(1),(2),(),:(1),(2),(),()0.5()
33、0.5(1),1,2,;,(1),:3.1Xxxx nZXZzzz nz kz kz kkn Xx nX 设设序序列列是是 的的均均值值生生成成序序列列其其中中是是某某一一可可导导函函数数的的代代表表序序列列 我我们们将将删删去去后后所所得得的的序序列列仍仍记记为为定定若若满满足足义义11*11(1),()();(2)max()()max()()kik nk nkx kx ix kx kx kz k 当当 充充分分大大时时,(1),(2).X则则称称 为为光光滑滑序序列列称称为为序序列列光光滑滑条条件件(0)(0)(0)(0)(0)(0)1(1)(0)1(0)(1),(2),(),()()()
34、,2,3,(1)(.)3 2.kiXxxxnxkxkkknxkxiX 定定义义设设序序列列称称为为序序的的光光滑滑比比列列,()1()(,().,.ikx kkx ikXXk k-1k-1=1=1光光滑滑比比从从另另一一个个侧侧面面反反映映了了序序列列的的光光滑滑性性 即即用用序序列列中中第第 个个数数据据与与前前个个数数据据的的和和的的比比值值来来考考察察序序列列 中中数数序序列列中中的的数数据据变变化化越越平平稳稳 其其光光滑滑比比据据变变化化是是否否平平缓缓 显显越越小小然然 (0)1(0)1(0)(0)(1()0)00()()()(),(),1,2,(),1,2,0,.1),.,3 3
35、kixkkxixkxk knxk knkkxkk 设设为为非非负负数数据据序序列列当当时时 如如果果光光滑滑定定义义光光滑滑为为比比称称离离散散序序列列则则(1)():(1)1;()2,3,1;(2)()0,;2,3,;(33.4)0.5.kX kkknkknX 若若序序列列满满足足则则定定义义准准光光称称滑滑序序列列为为 (0)1(0)1(0)()001()()().()(),(),1,2,(1(),1,2.1.,),3kixk kxkkkxixkxk knnxk 设设为为光光滑滑离离散散序序列列的的充充是是 的的递递减减函函数数则则称称要要条条件件是是定定理理光光滑滑离离为为:光光滑滑散散
36、序序列列比比3.2 提高数据序列光滑度的方法3.2.1 基于函数lnx变换提高数据序列的光滑度(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)11(0)(0)11(1)()(1)1,ln()(2)()(1),ln()()ln()()kkiixkxxkxkxexkxkxixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则是是光光滑滑离离散散序序列列;若若为为递递增增序序列列,且且则则002()()(),ln()()xkxk由由知知 变变换换序序列列具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)111(0)(0)11(3)()(1)1,1,ln()ln()ln()ln()TkkTi
37、ixkxTxkxkxixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则1003()()(),ln()ln()Txkxk由由知知 变变换换序序列列 具具有有比比原原始始序序列列更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)1(0)(0)(0)1111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)11111(0)(0)(0)111(4)()(1),1,ln()ln()()ln()ln()()ln()()()ln()()()TkkkTiiiTTkkkTTiiixkxe Txkxkxkxixixixkxkxkxixixi若若为为递递增增序序列列,且且则则(0)(0)(0)(0)(0)1(0)(0)(0)(0)1111(
38、0)(0)(0)(0)1111(1)()(1)1,()(0)(2)()(1)1,1,0()ln()ln()()()ln()ln()()aaTkkkkaTiiiixkxxkaxkxTaxkxkxkxkxixixixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则 是是光光滑滑离离散散序序列列;若若为为递递增增序序列列,且且则则对对于于有有1 1002()()(),()ln()aTxkxk由由知知 变变换换序序列列 具具有有比比原原始始序序列列 更更好好的的光光滑滑度度3 2 30.()axa基基于于函函数数变变换换提提高高光光滑滑度度的的方方法法2(),:在在应应用用时时 应应注注意意以以下下两两点点00
39、0021()()()()(),),rrxxxx1.1.若若的的条条件件(1)e(1)e或或(1)(1)不不成成立立 可可选选择择某某个个常常数数c,c,使使(1)(1)+ce(1)(1)+ce(或或最最后后再再还还原原.02()(),()xka2.2.对对的的a a可可根根据据实实际际情情况况定定 一一般般情情况况下下越越大大,取取得得越越小小.3 2 3.()xaa基基于于函函数数变变换换提提高高光光滑滑度度的的方方法法(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)1()(0)(0)(0)11111()(0)(0)(0)1111(1)()(1)1,(1)(2)()(1)1,1,1ln()ln
40、()()ln()ln()()xkxkTkkkkxiTiiiixkxaaxkxTaaxkxkxkaxixixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则是是光光滑滑离离散散序序列列;若若为为递递增增序序列列,且且则则对对于于有有01021()()()(),ln()xkTaaxk由由知知 变变换换序序列列()具具有有比比序序列列 更更好好的的光光滑滑度度(0)(0)(0)(0)11()(0)(0)11111()(0)(0)111(3)()(1)1,1,1ln()ln()ln()ln()xkTTkkkxkTTiiixkxTaaxkxkaxixi 若若为为递递增增序序列列,且且则则对对于于有有011031(
41、)()()(),()ln()xkTTaaxk由由知知 变变换换序序列列具具有有比比原原始始序序列列 更更好好的的光光滑滑度度3.3 基于函数sinx变换的改进GM(1,1)模型(0)(0)(0)(),(),2sin(),(1,2,)3.2.xkkxkxkn 若若为为递递增增序序列列,且且则则是是定定理理光光滑滑离离散散序序列列1(0)(0)(0)1111(0(0)(0)(0)11(0)1)sin()ln()ln()sin()(),(),21ln()ln).,33(:TkkkTiiixkxkxkxixixixkixiT 若若为为递递增增序序列列,且且则则有有 式式成成立立定定理理正正111(0)
42、(0)(0)(0)1111111(0)(0(0)(0)(0)(0)1111)sin()ln()()()sin()ln()()(),(),2.413,:)TTTkkkkTTTiiiixkxkxkxkxkxixixixiixiT 若若为为递递增增序序列列,且且则则有有正正式式成成立立定定理理1001()(),sin()(),TaxkxkT由由以以上上定定理理知知()能能够够2 2有有效效地地提提高高原原始始序序列列的的光光滑滑度度.基于sinx变换的GM(1,1)的建模过程:设设非非负负原原始始数数据据序序列列为为递递增增序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Yyyyn(0)()1
43、,1,2,yiin其其中中 (0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(),(),.2rYyyyniyi 将将序序列列进进行行标标准准化化处处理理 使使得得对对任任意意 标标准准化化后后的的均均在在区区间间内内(0)sin():rxyk基基于于函函数数变变换换对对数数据据序序列列进进行行处处理理 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Xxxxn(0)(0)()sin(),1,2,.rxkyk kn其其中中,(1):AGO 对对处处理理后后的的数数据据序序列列作作一一次次累累加加得得 (1)(1)(1)(1)(1),(2),()Xxxxn(1)(0)1()(),1,2,.kixkxi
44、kn 其其中中,(1)()(1.1),XkGM由由一一阶阶生生成成模模块块建建立立模模型型对对应应的的白白化化微微分分方方程程为为:(1)(1)()()dxtaxtudt(1.1)GM模模型型对对应应的的差差分分方方程程为为:(0(1)()(),2,3,xkaztu kn展展开开得得(0)(0)(0)(0)(0)(0)(2)(2)1(3)(3)1()()1xzaxzuxnzn (0)(0)(0)(2),(3),(),.Yxxxna ua u 令令称称为为待待辨辨识识参参数数向向量量,其其中中为为待待辨辨识识常常数数(0)(0)(0)(2)1(3)1()1zzBzn (1),():zk其其中中为
45、为背背景景值值(1)(1)(1)1(1)(1)(),1,2,1.2zkxkxkkn待待辨辨识识向向量量的的最最小小二二乘乘解解为为:1()TTB BB Y 白白化化微微分分方方程程的的离离散散解解为为:(1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa 还还原原到到原原始始数数据据为为:(0)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)aakxkxkxkuexea(0)(0)()arcsin()rykxk(0)(0),()().rykyk最最后后 将将标标准准化化后后的的还还原原为为 4 4.1.1 传统传统GM(1.1)GM(1.1)模型背景值对预测精度的影响模型背景值对预测精度的影响 4 4.
46、2.2 基于积分背景值构造法的改进基于积分背景值构造法的改进GM(1.1)GM(1.1)模型模型对对原原始始非非负负数数据据序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Xxxxn(1)(0)1()(),1,2,.kixkxi kn 其其中中,4.1 传统GM(1,1)模型背景值的影响 (1)(1)(1)(1)(1),(2),()Xxxxn(1):AGO 作作一一次次累累加加得得(1)()(1.1),XkGM由由一一阶阶生生成成模模块块建建立立模模型型对对应应的的白白化化微微分分方方程程为为:(1)(1)()()(4.1)dxtaxtudt将将上上式式在在区区间间 k k,k k+1
47、1 上上积积分分,得得:1(1)(1)(1)(1)()(),kkxkxkaxt dtu ,1,2,1.kn其其中中,.a u其其中中为为待待辨辨识识常常数数:若若令令背背景景值值为为(1)(1)(1)1(1)(1)(),1,2,1.2zkxkxkkn1(1)(1)(1)(1)()(),1,kkkxt dtxtk k 设设z z为为在在匀匀间间上上的的背背景景值值 则则有有(1)(1)(1)(1)()(1),xkxkazku则则白白化化微微分分方方程程(4 4.1 1)的的离离散散解解为为:(1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa 还还原原到到原原始始数数据据为为:(0)(1)(1)(1)(
48、1)(1)()(1)(1)aakxkxkxkuexea 传传统统的的背背景景值值取取为为,(1.1),GMauau从从上上式式可可以以看看出出模模型型拟拟合合和和预预测测的的精精度度取取决决于于常常数数 和和而而常常数数 和和 又又取取决决于于模模型型的的背背景景值值,可可见见合合理理的的构构造造模模型型的的背背景景值值可可以以提提高高模模型型的的预预测测精精度度.(1)(1)(1)1(1)(1)(),2zkxkxk而而实实际际的的背背景景值值为为:1(1)(1)(1)()kkkxt dt z z,(1.1),GMauau也也就就是是说说 传传统统的的模模型型,在在确确定定待待识识别别常常数数
49、 和和 时时 是是利利用用梯梯形形面面积积来来近近似似曲曲边边梯梯形形的的面面积积.可可见见传传统统背背景景值值的的构构造造方方法法精精度度较较低低,进进而而引引起起常常数数 和和 的的值值偏偏离离正正常常数数 使使模模型型预预测测精精度度降降低低.4.2 基于背景值优化的改进GM(1,1)模型设设原原始始非非负负数数据据序序列列为为 (0)(0)(0)(0)(1),(2),()Xxxxn(1)(0)1()(),1,2,.kixkxi kn 其其中中,(1)(1)(1)(1)(1),(2),()Xxxxn(1):AGO 作作一一次次累累加加得得将将上上式式在在区区间间 k k,k k+1 1
50、上上积积分分,得得:1(1)(1)(1)(1)()(),kkxkxkaxt dtu ,1,2,1.kn其其中中(1)()Xk对对生生成成序序列列建建立立灰灰色色白白化化微微分分方方程程为为:(1)(1)()()dxtaxtudt即即1(0)(1)(1)(),kkxkaxt dtu 1(1)(1)(1)(1)()(),1,kkkxt dtxtk k 设设z z为为在在匀匀间间上上的的背背景景值值 则则有有(0)(1)(1)(1),xkazku,(1)(1)然然而而函函数数x(t)x(t)并并不不知知道道,但但根根据据一一阶阶微微分分方方程程的的解解为为指指数数函函数数 故故可可令令:(1)()b
