1、业业余余数学家之王数学家之王 费马费马(FermatFermat,16011665),16011665),法国数学家，法国数学家，他非常喜欢数他非常喜欢数学，常常利用学，常常利用业余业余时间研究时间研究高深的数学问题，结果取得高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為了很大的成就，被人称為“业余业余数学家之王数学家之王”费马费马凭借凭借丰富的想像力和深丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想要的数学猜想费马小猜想费马小猜想 16401640年，年，费尔马在费尔马在研究质数性质研究质数性质时，时，发现了一发现了一个有趣的现象：个有趣的现象：当当n=1时时，
2、22n+1=221+1=5；当当n=2时时，22n+1=222+1=17；当当n=3时时，22n+1=223+1=257；当当n=4时时，22n+1=224+1=65537；猜测：只要猜测：只要n n是自然数，是自然数，22n+1一定是质数一定是质数 17321732年，欧拉进行了否定年，欧拉进行了否定 费马小定理费马小定理 如果如果P P是一个质数，那么对于任何自然数是一个质数，那么对于任何自然数n n，n nP P-n-n一定能够被一定能够被P P整除整除 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为称为“费马小定理费马小定理”利用费马小定理，是目前最有效的鉴定
3、利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质数的方法质数的方法 费马大定理费马大定理 16371637年前后，费马在年前后，费马在算术算术这本书的这本书的靠近问题靠近问题8 8的页边处记下这样一个结论的页边处记下这样一个结论（现在的写法）：（现在的写法）：同时又写下一个附加的评注：同时又写下一个附加的评注：“对于该对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下可惜这里的空白太小，写不下”因因为为费马曾经提出过的命题，都已经被证费马曾经提出过的命题，都已经被证实或否定，实或否定，只只剩下这一题，未能获证。剩下这一题，未能获证。费马提出这命题后三十年才
4、去世，费马提出这命题后三十年才去世，为什么为什么会会把把这这个个命题做命题做“费马费马最后定理最后定理”呢？呢？一个问题一个问题 Pierre de Fermat1601-1665Cubem autem in duos cubos,aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos,et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere;Cuius rei demonstrationem mirabil
5、em sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。明，可惜这里的空白太小，写不下。不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于地，不可能将一个高于2 2次的幂写成两个同样次次的幂写成两个同样次幂的和。幂的和。xn+yn=zn,(n 2)无整数解无整数解（1637年）年）这是真的这是真的（1995年）年
6、）古希腊古希腊,丢番图丢番图算术算术第第IIII卷第八命题：卷第八命题：“将一个平方数分为两个平方数将一个平方数分为两个平方数”即即求方程求方程x x2 2+y+y2 2=z=z2 2 的正整数解的正整数解 上帝恩赐他生命的上帝恩赐他生命的1/61/6为童年；再过生命的为童年；再过生命的1/121/12，他双颊长出了胡子；再过他双颊长出了胡子；再过1/71/7后他举行了婚礼；后他举行了婚礼；婚后婚后5 5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，思，4 4年之后亦撒手人寰。年之
7、后亦撒手人寰。丢番图的墓志铭丢番图的墓志铭42157112161 LLLLLL=84Diophantus of Alexandria B.C150-A.D.364不定方程不定方程:是指末知数个数多于方程个数的代数是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。方程或代数方程组。Pythagoras of SamosB.C.572 B.C.497毕毕达哥拉斯定理：达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。平方之和。x2+y2=z2 万物皆数万物皆数附加的评注：附加的评注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里我有一个对这个命题的
8、十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。空白太小，写不下。”不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于地，不可能将一个高于2 2次的幂写成两个同样次次的幂写成两个同样次幂的和。幂的和。费马猜想及其证明费马猜想及其证明 n=4=4的证明的证明v费马在给朋友的信中，曾经提及他已证费马在给朋友的信中，曾经提及他已证明了明了 n=4 的情况。但没有写出详细的证的情况。但没有写出详细的证明步骤明步骤v1674 年，贝西在少量提示下，给出这个年，贝西在少量提示下，
9、给出这个情形的证明情形的证明v证明步骤主要使用了证明步骤主要使用了“无穷递降法无穷递降法”无穷递降法：无穷递降法：假设某结论对于某正整数成立，那么，可假设某结论对于某正整数成立，那么，可以求出或构造出更小的正整数使得该结论以求出或构造出更小的正整数使得该结论对于该更小整数也成立。对于该更小整数也成立。，无限地进，无限地进行下去，就可得到一个无穷正整数列，而行下去，就可得到一个无穷正整数列，而正整数是有限数，故假设不成立。正整数是有限数，故假设不成立。无穷递降法的精神一直到现在都在用，无穷递降法的精神一直到现在都在用，这就是这就是高度理论高度理论，或称，或称高度有限性理论高度有限性理论。(X1,
10、Y1,Z1)(X2,Y2,Z2)(Xk,Yk,Zk)再进一步再进一步欧拉欧拉17701770年提年提出出n=3n=3的的证证明明xn+yn=zn，当当n=3,4时无整数解时无整数解Leonhard Euler,1707-1783欧拉的策略：欧拉的策略：证明某结论证明某结论对于简单情对于简单情形成立，再形成立，再证明任何使证明任何使情形复杂化情形复杂化的操作都将的操作都将继续保持该继续保持该结论的正确结论的正确性。性。若若xk+yk=zk 无正整数解，无正整数解，则则xmk+ymk=zmk 也无正整数解。也无正整数解。为证明费马大定理对为证明费马大定理对n 的一切值成立，的一切值成立，我们仅仅需
11、要证明它在我们仅仅需要证明它在n 取素数值时成立。取素数值时成立。数学家们认为素数是最重要的数，因数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的为它们是数学中的“原子原子”。素数是数的。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。个素数相乘而得。n n=5 =5 的的证明证明勒让德勒让德 Legendre(1752-1833)狄利克雷狄利克雷 Dirichlet(1805-1859)8法国人法国人81823 年，年，证明了证明了 n=58德国人德国人81828 年，年，独立证明了独立证明了 n=581832 年，年，解决了解决了 n=14
12、 的的情况情况索非索非 热尔曼热尔曼,法国数学法国数学家家热尔曼素数：热尔曼素数：使使2p+1 为为素数的那些素数素数的那些素数p 热尔曼定理：热尔曼定理：当当p和和2p+1皆为素数时皆为素数时xp+yp=zp无无整数解整数解热尔曼初步完成了热尔曼初步完成了 n=5的的证明证明新的方向新的方向Sophie Germain1770-1831n n=7 =7 的的证明证明拉梅拉梅 Gabriel Lam Gabriel Lam(1795(1795-1870)1870)8法国人法国人818391839年，年，证证明了明了n n=7=73月月1日，拉梅宣布他已证明了日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理
13、费马最后定理”：拉梅将拉梅将x n+y n分解成分解成(x+y)(x+y)(x+2y)(x+n-1y)其中其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程即方程 r n=1的复根的复根如果如果x n+y n=z n，那么拉梅认为每一个那么拉梅认为每一个(x+k y)都都会是会是n次幂乘以次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾一个单位，从而可导出矛盾但是，拉梅的好友刘维尔但是，拉梅的好友刘维尔Liouville指出，拉梅的证明中有很大的漏洞指出，拉梅的证明中有很大的漏洞拉梅拉梅忽略了忽略了“唯一分解定理唯一分解定理”的考的考虑虑同时，柯西（同时，柯西（CauchyCauchy）亦宣布他早亦宣布他早已
14、取得已取得“费马最后定理费马最后定理”的初步证的初步证明明3 3月月2222日日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。不过，对明。不过，对于于“唯一分解定理唯一分解定理”的问题，二的问题，二人都未能成功地解决。人都未能成功地解决。5 5月月2424日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指出出“唯一分解定理唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示，的必要性，亦清楚地显示，拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。人的争论。“唯一分解定理唯一分解定理”在一般的整数中，每一个合成数都在一般的整
15、数中，每一个合成数都只只可能被分可能被分解成一种解成一种“质因数连乘式质因数连乘式”但在某些但在某些“复整数复整数”中，情况未必相同中，情况未必相同例如：例如：)51)(51(326-为互不相同的质数的复数中而在)51(),51(,3,2,5-ba唯一分解定理”的复整数，并不符合“换句话说，形如5-baErnst Kummer1810-1893 德国数学家德国数学家EE库莫尔库莫尔18471847年他证明了对于小于年他证明了对于小于100100的除了的除了3737，5959和和6767这这三个所谓非正规素数以外，三个所谓非正规素数以外，费尔玛大定理成立。费尔玛大定理成立。为了为了重建唯一分解定
16、理，库默重建唯一分解定理，库默尔在尔在1844-1847年间创立了年间创立了理想数理论。理想数理论。1857 年，库年，库麦尔获巴黎科学院颁发奖麦尔获巴黎科学院颁发奖金三千法郎金三千法郎突破性的进展突破性的进展分圆整数及理想数分圆整数及理想数 已知已知n n为一为一质数，假设质数，假设 =cos(2/n)+i sin(2/n)，即即方程方程 r n=1 的的复数复数根，根，则称则称下面的数为下面的数为“分分圆圆整数整数”：a0+a1 +a2 2+an-1 n-1，其中其中 ai 为为整数整数。并非每一个分圆整数集合都满足并非每一个分圆整数集合都满足“唯一分解唯一分解定理定理”，但如果能够加入一
17、个额外的但如果能够加入一个额外的“数数”，使该分圆整数集合满足使该分圆整数集合满足“唯一分解定理唯一分解定理”，则称该数则称该数为为“理想数理想数”库莫尔库莫尔发现，当发现，当n n为为一些特殊的质数时，他称一些特殊的质数时，他称之之为为“正规质数正规质数”，就可利用就可利用“理想数理想数”来来证明证明“费马定理费马定理”。悬悬赏赏十万马克十万马克德国的沃尔夫斯克勒德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl(1856-1908)订立遗嘱，订立遗嘱，悬赏悬赏十万马克，奖赏在他死后一百十万马克，奖赏在他死后一百年内能证明年内能证明“费马最后定理费马最后定理”的人的人在最后时刻挽救自杀在最后时刻挽救自杀
18、F德国商人，学习医学，德国商人，学习医学，F1883 1883 年跟年跟库莫尔库莫尔学习学习David Hilbert,1862-1943“费马猜想是一费马猜想是一只会下金蛋的鸡只会下金蛋的鸡”。“证明这种不可证明这种不可能性的尝试，提供能性的尝试，提供了一个明显的例子，了一个明显的例子，说明这样一个非常说明这样一个非常特殊、似乎不十分特殊、似乎不十分重要的问题会对科重要的问题会对科学产生怎样令人鼓学产生怎样令人鼓舞的影响舞的影响”。无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰19771977年，瓦格斯塔夫证明年，瓦格斯塔夫证明当当 n 125000 n 125000 时，时，“费马最后定理费马最后定理”成立
19、。成立。无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰19411941年，雷麦证明年，雷麦证明 当当n n 253747887253747887时时 ，“费马最后定费马最后定理理”的第一种情况成立。的第一种情况成立。19771977年，瓦格斯塔夫证明年，瓦格斯塔夫证明当当 n 125000 n 0 的的集合集合）并并满足下列条件的满足下列条件的复变解析函数复变解析函数：f(az+b)/(cz+d)=(cz+d)k f(z)，其中其中 k 为正为正整数整数，a、b、c、d 为为整数整数并且并且ad-bc=1f(z)=ane 2 inz，其中其中 an 为为复数复数，n 为为由由 0 至至无限大无限大的的整数整数
20、法国法国数学家数学家，发明，发明“自守函数自守函数”庞加莱庞加莱 Poincar(1854-1912)所谓所谓“自守函数自守函数”，就是，就是周周期函数的推广，而期函数的推广，而“模模形式形式”可以理解可以理解为为在复平面上的某种在复平面上的某种周周期函数期函数“模形式模形式”的起源的起源 起初，大多数的数学家都不相信起初，大多数的数学家都不相信“谷谷山志村猜想山志村猜想”60 60 年代后期，年代后期，众众多数学家反多数学家反复复地检验地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。该猜想，既未能证实，亦未能否定它。到了到了 70 70 年代，相信年代，相信“谷山志村猜想谷山志村猜想”的人越来越多，
21、甚至以假定的人越来越多，甚至以假定“谷山志谷山志村猜想村猜想”成立的前提下进行论证。成立的前提下进行论证。“谷山志村猜想谷山志村猜想”与与“费马最费马最后定理后定理”的的关系关系德国数学家弗赖（德国数学家弗赖（Gerhand Frey）弗赖曲线（猜想）1984 年秋，弗赖在一次数学会议上，提出以下年秋，弗赖在一次数学会议上，提出以下的观点：的观点：首先，首先，假设假设“费马最后定理费马最后定理”不成立不成立即即发现发现 A、B、C 和和 N，使得使得 A N+B N=C N从此得出从此得出“椭圆曲线椭圆曲线”（后来称（后来称为为“弗赖曲弗赖曲线线”）：）：y 2=x 3+(A N-B N)x
22、2-A NB N x弗赖发现这曲线非常特别，特别到不可能对应弗赖发现这曲线非常特别，特别到不可能对应任何一个任何一个“模形式模形式”！换句话说，弗赖认换句话说，弗赖认为为：如果：如果“费马最后定理费马最后定理”不成立，不成立，那么那么“谷山志村猜想谷山志村猜想”也是错的！也是错的！费 马 最 后 定 理弗 赖 曲 线谷 山 志 村 猜 想错假如假如错费 马 最 后 定 理弗 赖 曲 线谷 山 志 村 猜 想错假如假如对对再换句话说，如果再换句话说，如果“谷山志村猜想谷山志村猜想”正确，正确，那么那么“费马最后定理费马最后定理”就必定成立！就必定成立！可惜的是弗赖在可惜的是弗赖在19841984
23、年的证明年的证明中中出现了错出现了错误误，他的结果未获承认。，他的结果未获承认。因此只能因此只能称称之为之为“猜想猜想”美国数学家里贝特经过美国数学家里贝特经过多番尝试后，终多番尝试后，终于于在在 1986 年的夏天成功地年的夏天成功地证得以下结果：证得以下结果：如果如果“谷山志村猜想谷山志村猜想”对每一个半稳定椭圆曲对每一个半稳定椭圆曲线都成立，则费马最后线都成立，则费马最后定理成立。定理成立。里贝特里贝特（Kenneth Ribet）里贝特的工作使得费马大定理不可摆里贝特的工作使得费马大定理不可摆脱地与谷山志村猜想联结在了一起，如果脱地与谷山志村猜想联结在了一起，如果有人能证明每一个椭圆方
24、程是模形式，那有人能证明每一个椭圆方程是模形式，那么这就隐含着费马方程无解，于是立即证么这就隐含着费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。明了费马大定理。三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。现在，重新回到台前。现在，重新回到台前。17世纪的最重要的问题与世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联
25、结在了一起。代数学革命的猜想联结在了一起。怀尔斯怀尔斯 Andrew WilesAndrew Wiles英国人英国人，出生，出生于于 1953 年年10 岁已立志要证明岁已立志要证明“费马费马最后定理最后定理”1975 年，开始在剑桥大学年，开始在剑桥大学进行研究，专攻椭圆曲线进行研究，专攻椭圆曲线及岩泽理论及岩泽理论在取得博士学位后，就转在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继到美国的普林斯顿大学继续研究工作续研究工作秘密计算v1986 年，当里贝特提出 猜想后，怀尔斯就决心要证明“谷山志村猜想”v由於不想被别人骚扰，怀尔斯决定秘密地进行此证明v经过三年的努力，他开始引入“伽罗瓦表示论”
26、来处理将“椭圆曲线”的分类问题费 马 最 后 定 理费 马 最 后 定 理谷 山 志 村谷 山 志 村 猜 想猜 想椭圆曲线可椭圆曲线可模形化模形化伽罗瓦伽罗瓦表示论表示论水平水平岩泽理论岩泽理论类数公式类数公式=?v到了到了19911991年，怀尔斯发年，怀尔斯发觉无法以水平岩泽理觉无法以水平岩泽理论完成类数公式论完成类数公式的计算的计算v在一个数学会议中，他得到了一个新的计算在一个数学会议中，他得到了一个新的计算方法。方法。费 马 最 后 定 理费 马 最 后 定 理谷 山 志 村谷 山 志 村 猜 想猜 想椭圆曲线可椭圆曲线可模形化模形化伽罗瓦伽罗瓦表示论表示论水平水平岩泽理论岩泽理论类
27、数公式类数公式=v怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关问题问题科利瓦金科利瓦金弗莱契弗莱契剑桥演讲剑桥演讲1993年6月23日，在剑桥大学的牛顿研究所，怀尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“谷山志村猜想”（即“费马最后定理”）的证明演讲非常成功，“费马最后定理”已被证实的消息，很快便传遍世界噩梦开始！噩梦开始！v演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送给数论专家审阅给数论专家审阅v起初，起初，只只发现稿件中的有些发现稿件中的有些细微细微的打印错误的打印错误v但但是是同年同年 9 月，证明被发现
28、出现了问题，尤其月，证明被发现出现了问题，尤其是是“科利瓦金科利瓦金弗莱契方法弗莱契方法”，并未能对所有，并未能对所有情况生效！情况生效！v怀尔斯以怀尔斯以为为此问题很快便可以修正过来，但结此问题很快便可以修正过来，但结果都失败！果都失败！v怀尔斯已失败的传闻，不怀尔斯已失败的传闻，不径径而走。同年而走。同年 12 月，月，怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：标题：费马状况标题：费马状况日期：日期：19931993年年1212月月4 4日日对对于于我在谷山志村猜想和费马最后定理方我在谷山志村猜想和费马最后定理方面的种种推测，我要作一个简短的说明。在审面的种种推测，我
29、要作一个简短的说明。在审查过程中，我们发现了许多问题，其中大部分查过程中，我们发现了许多问题，其中大部分已经解决，已经解决，只只剩一个问题仍然存在剩一个问题仍然存在。我相。我相信不久后，我就能用在剑桥演讲中说明的概念信不久后，我就能用在剑桥演讲中说明的概念解决它。基解决它。基于于尚有许多工作未能完成，所以目尚有许多工作未能完成，所以目前不适宜发送预印本。前不适宜发送预印本。我将对这工作给出我将对这工作给出一个详细的说明。一个详细的说明。安德鲁安德鲁.怀尔斯怀尔斯再次闭关再次闭关v1994 年年 1 月，怀尔斯重新研究他的证明。但月，怀尔斯重新研究他的证明。但到了同年到了同年 9 月，依然没有任
30、何进展。月，依然没有任何进展。v其间，不断有数学家要求怀尔斯公开他的计其间，不断有数学家要求怀尔斯公开他的计算方法。算方法。v更有人怀疑：既然过去都无法证明更有人怀疑：既然过去都无法证明“费马最费马最后定理后定理”，到底现在又能否证实，到底现在又能否证实“谷山志村谷山志村猜想猜想”呢？呢？v但在但在 9 月月 19 日的早上，当怀尔斯打算放弃并日的早上，当怀尔斯打算放弃并作最后一次检视作最后一次检视“科利瓦金科利瓦金弗莱契方法弗莱契方法”时，时，费 马 最 后 定 理费 马 最 后 定 理谷 山 志 村谷 山 志 村 猜 想猜 想椭圆曲线可椭圆曲线可模形化模形化伽罗瓦伽罗瓦表示论表示论水平水平
31、岩泽理论岩泽理论类数公式类数公式=科利瓦金科利瓦金弗莱契弗莱契成功！成功！v怀尔斯发怀尔斯发现，现，只只要要配合使用配合使用“岩泽理岩泽理论论”，就，就可以解决可以解决目前的问目前的问题！题！v经过八年的努力，怀尔斯终经过八年的努力，怀尔斯终于于证实了证实了“谷山志村猜想谷山志村猜想”和和“费马最后定费马最后定理理”！19951995年年5 5月，怀尔月，怀尔斯长一百页的证斯长一百页的证明，在明，在杂志杂志数数学年学年鉴鉴中发表中发表最后胜利最后胜利19961996年怀尔斯获，年怀尔斯获，美国国家科学院奖，美国国家科学院奖，菲尔兹特别奖菲尔兹特别奖19971997年年怀尔斯获得怀尔斯获得沃尔夫
32、斯克勒沃尔夫斯克勒1010万万马克悬赏大奖马克悬赏大奖费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并没有彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前没有彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前进的动力进的动力.费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局部理论、非阿贝尔理论，现在已汇入伟大的朗兰部理论、非阿贝尔理论，现在已汇入伟大的朗兰兹纲领的框架之中，与许多学科，如
33、代数兹纲领的框架之中，与许多学科，如代数K理论，理论，群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如类数的计算仍是令人头痛的事。类数的计算仍是令人头痛的事。代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。代数曲线论仍有一些遗留问题，特别是椭圆曲代数曲线论仍有一些遗留问题，特别是椭圆曲线的三大猜想仍然迫在眉睫，但人们已经开始向线的三大猜想仍然迫在眉睫，但人们已经开始向代数曲线进军了。代数曲面问题很难，但是这条代数曲线进军了。代数曲面问题很难，但是这条路肯定要走。路肯定要走。更一般的理论，数论和代数几何的理论和工具更一般的理论，数论和代数几何的理论和工具库中还有许多我们没有提过的 理 论 如 动 形库中还有许多我们没有提过的 理 论 如 动 形（motive）理论等理论等
