1、 微专题 02 充分条件与必要条件 一、基础知识 1、定义： （1）对于两个条件, p q，如果命题“若p则q”是真命题，则称条件p能够推出条件q，记 为pq， （2）充分条件与必要条件：如果条件, p q满足pq，则称条件p是条件q的充分条件； 称条件q是条件p的必要条件 2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系 既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若p则q”的真假，也要判断 “若q则p”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系： （1）p能推出q，但q推不出p，则称p是q的充分不必要条件 （2）p推不出q，但q能推出p，则称p是q
2、的必要不充分条件 （3）p能推出q，且q能推出p，记为pq，则称p是q的充要条件，也称, p q等价 （4）p推不出q，且q推不出p，则称p是q的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系 （1）通过命题手段，将两个条件用“若，则”组成命题，通过判断命题的真假来判 断出条件能否相互推出， 进而确定充分必要关系。 例如 2 :1; :10p xq x ， 构造命题： “若 1x ，则 2 10 x ”为真命题，所以pq，但“若 2 10 x ，则1x ”为假命题（x还 有可能为1） ，所以q不能推出p；综上，p是q的充分不必要条件 （2）理解“充分” ， “必要”词语的含义并定性的
3、判断关系 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备” ， 何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充 分也是类似的含义，是指仅由p就可以得到结论q，而不需要再添加任何说明与补充。以上 题为例，对于条件:1p x ，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到 2 :10q x 所 以可以说p对q是“充分的” ，而反观q对p，由 2 :10q x ，要想得到:1p x ，还要补 充一个前提：x不能取1，那既然还要补充，则说明是“不充分的” 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官” ，何谓“必 要”
4、？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要” 体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果 2 :10q x 不 成立，那么x必然不为 1，但是仅靠 2 :10q x 想得到:1p x 也是远远不够的，还需要更 多的补充条件，所以仅仅是“必要的” （3）运用集合作为工具 先看一个问题：已知PQ ,那么条件“xP”是“xQ”的什么条件？ 由PQ可得到：xPxQ，且xQ推不出xP，所以“xP”是“xQ” 充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之 间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素
5、构成对应集合，判断出两个 集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： PQ：p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件 PQ：p是q的充分条件 PQ：p是q的充要条件 此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还 是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在 2 :1; :10p xq x 中，满足p的x取值集合为 1P ，而满足q的x取值集合为1,1 所以PQ，进而判断出p是q的充分不必要条件 5、关于“, pq”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：p是q的充分不必 要条件， 则命题 “若p， 则
6、q” 为真命题， 根据四类命题的真假关系， 可得其逆否命题 “若q， 则p”也为真命题。所以q是p的充分不必要条件 二、典型例题： 例 1：已知 2 :31, :60p xq xx，则p是q的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。3113 1xx ，解得： 24x，即|24Pxx； 2 603xxx 或2x，即 |32Qx xx或 。所以PQ，进而p是q的充分不必要条件 答案：C 例 2：已知, a bR，那么 11 22 loglogab是33 ab 的（ ） A. 充要条件 B. 必
7、要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再 进行判断，比如“33 ab ”等价于ab，所以只需判断 11 22 loglogab与ab的关系即可。 根据 1 2 logyx的单调性可得：如果 11 22 loglogab，则ab，但是若ab，在, a b大于 零的前提下，才有 11 22 loglogab，而题目中仅说明, a bR。所以不能推出。综上可判断 11 22 loglogab是33 ab 的充分不必要条件 答案：C 小炼有话说： （1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的
8、等价条件（充要条件） ， 再进行判断即可 （2）在 11 22 loglogab推ab中，因为 11 22 loglogab是条件，表达式成立要求,0a b， 但是在ab推 11 22 loglogab中，ab是条件， 且对, a b取值没有特殊要求， 所以, a bR， 那么作为结论的 11 22 log,logab就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件， 谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例 3：已知 3 :, :1 1 p xk q x ，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_ 思路：设 3 |,|1|12 1 Px xkQx
9、x xx x 或，因为p是q的充分不必要 条件，所以PQ，利用数轴可而判断出2k 答案：2k 例 4：下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（ ） A. 1ab B. 1ab C. 22 ab D. 33 ab 思路：求ab的充分不必要条件，则这个条件能够推出ab，且不能被ab推出。可以 考虑验证四个选项。A 选项1ab可以推出ab，而ab不一定能够得到1ab（比 如1,1.5ab） ，所以 A 符合条件。对于 B，C 两个选项均不能推出 A，所以直接否定。而 D 选项虽然可以得到ab，但是ab也能推出 33 ab，所以 D 是 A 的充要条件，不符题意 答案：A 例 5： （201
10、5 浙江温州中学高二期中考试）设集合 1 |0 ,|1 1 x AxBx xa x ，则 “1a ”是“AB ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路： 先解出两个解集：1,1A ，B的解集与a的取值有关： 若0a， 则B； 若0a， 则1,1Baa， 观察条件， 若1a ， 则0,2B ， 所以AB 成立； 若AB ， 则通过数轴观察区间可得a的取值为多个（比如 1 2 a ） ，所以“1a ”是“AB ”的 充分不必要条件 答案：A 例 6：对于函数( ),yf x xR， “( )yf x的图象关于y轴对称”是“( )yf
11、x是奇函数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：如果( )yf x是奇函数，图像关于原点对称，则( )yf x中( )yf x位于x轴下方 的部分沿x轴对称翻上来，恰好图像关于y轴对称，但( )yf x的图象关于y轴对称未必能 得到( )yf x是奇函数（例如 2 f xx） ，所以“( )yf x的图象关于y轴对称”是 “( )yf x是奇函数”的必要不充分条件 答案：B 例 7：已知, a bR，则“ 22 1ab”是“1ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
12、件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例0.9,0.4ab， 则1ab不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“ 22 1ab”是 “1ab”的必要不充分条件 思路二：本题也可以运用集合的思想，将, a b视为一个点的坐标, a b，则条件所对应的集合 为 22 ,|1 ,|1Pa babQa bab，作出两个集合在坐标系中的区域，观察 两个区域可得PQ，所以“ 22 1ab”是“1ab”的必要不充分条件 答案：B 例 8（2015 菏泽高三期中考试） ：设条件p：实数x满足 22 430(0)xaxaa；条件q： 实数x满足 2 280 xx且p是q的必
13、要不充分条件， 则实数a的取值范围是_ 思路：本题如果先将p，q写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但p，q容易书写 错误。所以优先考虑使用原条件。 “p是q的必要不充分条件”等价于“q是p的必要不 充分条件” ，而, p q为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。 解：设 22 |430,0Px xaxaa，可解得：3 ,Pa a， 设 2 |280Qx xx可解得：, 42,Q ， p是q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件 QP 0a 4a 答案：4a 例 9：数列 n a满足 11 1,0 nn aar ar nNr ，则“1r ”是“数列 n a成等 差数列”的（ ）
14、A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：当1r 时，可得 1 1 nn aa ，即 n a成等差数列。所以“1r ”是“数列 n a成等 差数列”的充分条件。另一方面，如果 n a成等差数列，则 123 ,a a a 成等差数列，所以有 2131211 22121aaar arrarr arr rarr ，代入 1 1a 可得： 22 4212310rrrrr ，解得1r 或 1 2 r ，经检验， 1 2 r 时， 21 11 1 22 aa， 32 11 1, 22 aa利用数学归纳法可证得1 n a ，则 n a也为等差数 列（公差为
15、 0） ，所以 1 2 r 符合题意。从而由“数列 n a成等差数列”无法推出“1r ” ， 所以“1r ”是“数列 n a成等差数列”的不必要条件 答案: A 例 10：设0 2 x ，则 2 sin1xx 是sin1xx的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：因为0 2 x ，所以0sin1x。故由sin1xx可得sinsinsin1xxxx，即 2 sin1xx ，对于 2 sin1xx 能否推出sin1xx，可考虑寻找各自等价条件： 22 11 sin1sinsinxxxx xx ， 1 sin1sinxxx x ，通过数
16、形结合可以得到 符合 1 sinx x 的x的集合是 1 sinx x 的x集合的子集。所 以 2 sin1xx 是sin1xx的必 要不充分条件 答案：B 三、近年模拟题题目精选 1、 （2014， 江西赣州高三摸底考试） 若, a bR，则 “abab” 是“0ab” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2、 （2014 南昌一模，3）设, a b为向量，则“|=|a ba b”是“/ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、若, a bR，则“ab成立”是“ 2
17、2 ab成立”的（ ） 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 1.510.50.511.522.533.54 h x = sin x g x = 1 x f x = 1 x A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、 （2014，北京）设 n a是公比为q的等比数列，则“1q ”是“ n a为递增数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、（2014上海13校联考， 15） 集合 2 0 ,()()0
18、 1 x AxBx xa xb x ， 若“2a ” 是“AB I”的充分条件，则b的取值范围是（ ） A. 1b B. 1b C. 1b D. 12b 6、 （2015，福建）“对任意的0, 2 x ，sin coskxxx”是“1k ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7、 （2014 北京朝阳一模，5）在ABC中， 4 A ，2BC ，则“3AC ”是“ 3 B ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8、 （2014 湖北黄冈月考，4）已知条件 3 : 4 p
19、k ，条件q：直线21yk x与圆 22 4xy相切，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 9、(2014 陕西五校二模，1）命题:p xR且满足sin21x .命题:q xR且满足tan1x. 则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10、 （2015 北京理科） 设, 是两个不同的平面，m是直线且m 则“m”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11、 （2016，上海交大附中期中）条件“对任意0, sin
20、 cos 2 xkxxx ”是“1k ”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：从集合的角度来看，满足abab条件的, a b取值范围是0ab或0ab， 所以可知“abab”是“0ab”的必要不充分条件 2、答案：C 解析：=,a ba ba ba ba b的夹角为0,，从而等价于/ab 3、答案：C 解析：由不等式性质可知：0ab，则 22 ab即 22 ab，反之若 22 ab，则 22 ab即ab 4、答案：D 解析：若 n a的项均为负项，则“1q ”，“ n a为递增数列”之
21、间无法相互推出，所以两条件 既不充分也不必要 5、答案：B 解析：:1,2A，:20Bxxb，因为AB I，由数轴可得：1b即可 6、答案：B 解析：左侧条件中恒成立不等式可化为sin 20 2 k xx，设 sin2 2 k fxxx，可知 00f， 所 以 若 f x为 减 函 数 ， 则 一 定 有 00f xf成 立 。 考 虑 cos21fxkx，由0, 2 x 可得：20,x，故1k 时， 0fx 成立，所以 f x为减函数， 00f xf成立。所以使不等式恒成立的k的范围包含,1，而 ,1,1 ，故“对任意的0, 2 x ，sin coskxxx”是“1k ”的必要不充分条件 7
22、、答案：B 解析：由正弦定理可得： 3 sin sinsin2 BCAC B AB ，所以 3 B 或 2 3 ，均满足题意，由 两条件对应集合关系可知“3AC ”是“ 3 B ”的必要不充分条件 8、答案：C 解析： 从q入手， 若21yk x与圆相切， 则 2 21 2 1 k d k 解得 3 4 k ， 所以pq 9、答案：C 解析：分别解出满足两个条件x的解，:22 24 pxkkZxkkZ ； : tan1 4 qxxkkZ ，可知两个集合相等，故pq 10、答案：B 解析： 依面面平行的判定和性质可知： “m”无法得到“”， 但“”可推出“m” 11、答案：B 解析：将不等式变形为 sin2 sin220 2 kx xkxx，设 sin 22fxkxx，且 00f，则 2 cos22fxkx。当1k 时，可得 0fx ，从而 f x在0, 2 单 调 递 减 ， 00f xf， 即 不 等 式 恒 成 立 。 所 以 若 “1k ” ， 则 “ 对 任 意 0, sin cos 2 xkxxx ” ； 而 “对任意0, sin cos 2 xkxxx ” ， 未必能得到 “1k ” （1k 不等式也成立） ，所以为“必要不充分条件”
