1、 微专题 1 命题形式变化及真假判定 一、基础知识： （一）命题结构变换 1、四类命题间的互化：设原命题为“若p，则q”的形式，则 （1）否命题： “若p，则q” （2）逆命题： “若q，则p” （3）逆否命题： “若q，则p” 2、pq，pq （1）用“或”字连接的两个命题（或条件） ，表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即 可，记为pq （2）用“且”字连接的两个命题（或条件） ，表示两个命题（或条件）要同时成立，记为pq 3、命题的否定p：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的 命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定” ：是不是 全是不全是 至少一个都没有
2、 至多n个至少1n个 小于大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时, p q均变为, pq： p或qp且q p且qp或q （3）全称命题与存在性命题的否定 全称命题： :,:,( )pxM p xpxMp x 存在性命题： :,:,( )pxM p xpxMp x 规律为：两变一不变 两变：量词对应发生变化（） ，条件 p x要进行否定 p x 一不变：x所属的原集合M的不变化 （二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题 中，真假性也存在一定的关联。 1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真
3、假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联 2、pq，pq，如下列真值表所示： p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p：与命题p真假相反。 4、全称命题： 真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题： 真：只需在M举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题 例 1：命题“若方程 2 0axbxc的两根均大于0，则0ac ”的逆否命题是（ ） A. “若0ac ，则方程 2 0axbxc的两根均大于0” B. “若方程 2 0
4、axbxc的两根均不大于0，则0ac ” C. “若0ac ，则方程 2 0axbxc的两根均不大于0” D. “若0ac ，则方程 2 0axbxc的两根不全大于0” 思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换， “0ac ”的对立面是 “0ac ” ， “均大于0”的对立面是“不全大于 0” （注意不是：都不大于 0） ，再调换顺序即 可，D 选项正确 答案：D 例 2：命题“存在 2 ,20 xZ xxm”的否定是（ ） A 存在 2 ,20 xZ xxm B不存在 2 ,20 xZ xxm p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 C 对任意 2
5、,20 xZ xxm D对任意 2 ,20 xZ xxm 思 路 ： 存 在 性 命 题 的 否 定 ： 要 将 量 词 变 为 “ 任 意 ”， 语 句 对 应 变 化 22 2020 xxmxxm，但x所在集合不变。所以变化后的命题为： “对任意 2 ,20 xZ xxm” 答案：D 例 3：给出下列三个结论 （1）若命题p为假命题，命题q为假命题，则命题“pq”为假命题 （2）命题“若0 xy ，则0 x 或0y ”的否命题为“若0 xy ，则0 x 或0y ” （3）命题“,20 x xR ”的否定是“,20 x xR ” ，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1
6、D. 0 思路： （1）中要判断pq的真假，则需要判断, p q各自的真值情况，q为假命题，则q为 真命题，所以, p q一假一真，pq为真命题， （1）错误 （2） “若， 则” 命题的否命题要将条件和结论均要否定， 而 （2） 中对 “0 x 或0y ” 的否定应该为“0 x 且0y ” ，所以（2）错误 （3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以 （3）正确 综上只有（3）是正确的 答案：C 例 4 ：有下列四个命题 “若0 xy，则, x y互为相反数”的逆命题 “全等三角形的面积相等”的否命题 “若1q ，则 2 20 xxq有实根”的逆否命
7、题 “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ） A. B. C. D. 思路：中的逆命题为“若, x y互为相反数，则0 xy” ，为真命题。中的否命题为“如 果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等” ，为假命题（同底等高即可） 。中若 要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。1q 时，判别式440q ，故方程 有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。中的逆命题为“如果一个三 角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，正确 答案：C 小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑 其对应的逆否命题，然后
8、利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例 5：下列命题中正确的是（ ） A. 命题“xR ，使得 2 10 x ”的否定是“xR ，均有 2 10 x ” B. 命题“若3x ，则 2 230 xx”的否命题是“若3x ，则 2 230 xx” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形” ，该命题是假命题 D. 命题“若coscosxy，则xy”的逆否命题是真命题 思路：分别判断 4 个选项的情况，A 选项命题的否定应为“xR ，均有 2 10 x ” ，B 选 型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可
9、判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相 同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D 错误 答案：B 例 6：如果命题“p且q”是假命题， “q”也是假命题，则（ ） A. 命题“p或q”是假命题 B. 命题“p或q”是假命题 C. 命题“p且q”是真命题 D. 命题“p且q”是真命题 思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的 真假，再根据真值表进行判断。题目中以q为入手点，可得q是真命题，而因为p且q是假 命题，所以p只能是假命题。进而p是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有 C 的判 断是正确的 答案：C 例 7：已知命题p：若xy，则xy
10、；命题q：若xy，则 22 xy，在命题pq； pq；pq ； pq中，真命题是（ ） A. B. C. D. 思路：可先判断出, p q的真假，从而确定出复合命题的情况。命题p符合不等式性质，正确， 而q命题是错的。所以是假的，是真的，中，因为p为假，q为真，所以正确， 不正确。综上可确定选项 D 正确 答案：D 例 8：下列 4 个命题中，其中的真命题是（ ） 1 11 :0, 23 xx px 211 23 :0,1 ,loglogpxxx 31 2 1 :0,log 2 x pxx 41 3 11 :0,log 32 x pxx A. 13 ,p p B. 14 ,p p C. 23
11、,pp D. 24 ,pp 思路： 12 ,p p为存在性命题， 所以只要找到符合条件的x即可。 1 p可作出 11 , 23 xx yy 的图像，通过观察发现找不到符合条件的x； 2 p同样作图可得 11 23 0,1 ,loglogxxx ， 所以 2 p正确； 3 p通过作图可发现图像中有一部分 1 2 1 log 2 x x ，所以 3 p错误；在 4 p中， 可得当 1 0, 3 x 时， 0 11 33 111 1,loglog1 223 x x ，所以 1 3 1 1log 2 x x ， 4 p 正确。综上可得： 24 ,pp正确 答案：D 小炼有话说：（1）在判断存在性命题与
12、全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进 行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定 （2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进 行处理，例如本题中 123 ,p pp运用的数形结合，而 4 p通过选择中间量判断。 例 9：已知命题 2 00 :,10pxR mx ，命题 2 :,10qxR xmx ，若pq为假命 题，则实数m的取值范围是（ ） A. 22m B. 2m 或2m C. 2m D. 2m 思 路 ： 因 为pq为 假 命 题 ， 所 以 可 得, p q均 为 假 命 题 。 则, pq为 真 命 题 。 2
13、2 :,10;:,10pxR mxqxR xmx 。 解决这两个不等式能成立与恒成立问 题即可。 解：pq为假命题 , p q均为假命题 22 :,10;:,10pxR mxqxR xmx , pq为真命题 对于 2 :,10pxR mx 2 2 1 10mxm x 当xR时， 2 1 0 x 0m 对于 2 :,10qxR xmx ，设 2 1f xxmx，由图像可知：若q成立，则 2 40m ，解得：2m或2m 所以综上所述：2m 小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假 命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟
14、悉 的形式以便于求解 例 10：设命题:p函数 22 lg4f xxxa的定义域为R；命题:1,1qm ，不等 式 22 538aam恒成立，如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求 实数a的取值范围 思路：由“pq”为真命题可得, p q至少有一个为真，由“pq”为假命题可得, p q至少 有一个为假。 两种情况同时存在时， 只能说明, p q是一真一假。 所以分为p假q真与p真q假 进行讨论即可 解： 命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题 , p q一真一假 若p假q真，则:p函数 22 lg4f xxxa的定义域不为R 2 164022aa 22 :538q aam恒成立 2
15、2 max 5383aam 2 5601aaa 或6a 21a 若p真q假，则:p函数 22 lg4f xxxa的定义域为R 2 16402aa 或2a :1,1qm ，不等式 22 538aam 22 max 5383aam 解得16a 26a 综上所述：2, 12,6a 三、近年模拟题题目精选： 1、 （2014 河南高三模拟，9）已知命题:,ln20pxRxx ，命题 2 :,2xqxRx ， 则下列命题中为真命题的是（ ） A. pq B. pq C. pq D. pq 2、 （2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述: 若pq为真命题，则pq为真命题 “5x ”是“ 2 450 x
16、x”的充分不必要条件 命题:pxR ，使得 2 10 xx ，则:pxR ，使得 2 10 xx 命题： “若 2 320 xx，则1x 或2x ”的逆否命题为： “若1x 或2x ，则 2 320 xx” 其中错误命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 3 、（ 2014成 都 七 中 三 月 模 拟 ， 4 ） 已 知 命 题:, 2 x pxRxe， 命 题 2 :, l o g(1 )0 a qaRa ，则（ ） A. 命题pq是假命题 B. 命题pq是真命题 C. 命题pq是假命题 D. 命题pq是真命题 4、 （2014 新津中学三月月考，6）已知命题“xR ，使得 2 1 2
17、10 2 xax”是假命 题，则实数a的取值范围是（ ） A. , 1 B. 3, C. 1,3 D. 3,1 5、 （2014 新课标全国卷 I）不等式组： 1 24 xy xy 的解集记为D，有下面四个命题： 1: ,22px yD xy 2: ,22px yD xy 3: ,23px yD xy 4: ,21px yD xy 其中真命题是（ ） A. 23 ,pp B. 12 ,p p C. 14 ,p p D. 13 ,p p 习题答案：习题答案： 1、答案：C 解析：分别判断, p q真假，令 ln2f xxx，可得 120ff 由零点存在性定理 可知1,2x ，使得 ln20f x
18、xx，p为真；通过作图可判断出当2,4x时， 2 2xx，故q为假；结合选项可得：pq为真 2、答案：B 解析：判断每个命题：若p真q假，则pq为真命题，pq为假命题，故错误； 不 等式 2 450 xx的解为5x 或1x ， 由命题所对应的集合关系可判断出正确； 存 在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变” ，故正确； “1x 或2x ”的否定 应为“1x 且2x ” ，故错误，所以选择 B 3、答案：B 解析： 对于p： 当0 x 时，2 x xe， 故p正确； 对于q： 因为 2 10a ， 所以当0,1a 时， 2 log10 a a ，故q错误，结合选项可知pq是真命题 4、答案：C 解析：命题的否定为： “xR ，使得 2 1 210 2 xax” ，此为真命题，所以转为恒成 立问题，利用二次函数图像可得： 2 140a ，解得1,3a 5、答案：C 解 析 ： 由 已 知 条 件 作 出 可 行 域 ， 并 根 据 选 项 分 别 作 出 相 应 直 线 22,22,23,21xyxyxyxy ， 观察图像可知： 阴影部分恒在22xy 的上方， 所以 1 p成立； 且阴影区域中有在21xy 中的点， 所以 4 p成立， 综上可得： 14 ,p p 正确
