1、线段的垂直平分线的性质（第二课时）初中数学图示性质定理角平分线ACBPMN角平分线上的点到角两边的距离相等PC平分ACB，PMAC，PNBC，PM=PN角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上PMAC，PNBC，PM=PN，PC平分ACB复习回顾初中数学根据小东设计的尺规作图过程，OA=OB，OA=OC角平分线上的点到角两边的距离相等AC的垂直平分线是ON，证明：AD为BAC的平分线证明：取AB中点C，作直线PC如图，已知PA=PB，证明：AB=_，AC=_，（）（填推理的依据）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，A=C，BE=DE分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都
2、在EF的垂直平分线上，下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.DEAB，DFAC，ACP+BCP=180，定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上求证：点P在AB的垂直平分线上.ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，（2）完成下面的证明PC是AB的垂直平分线，ADE ADF（AAS）（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧，两弧相交于点E；ADE ADF（AAS）根据小东设计的尺规作图过程，例 如图，AD为BAC的平分线，DE AB于E，DFAC于F，求证：AD是EF的垂直平分线线段的垂直平分线的性质（第二课时）也就是要证AE=AF，DE=DFAC的垂
3、直平分线是ON，AB的垂直平分线是OM，ADE ADF（AAS）证明：取AB中点C，作直线PC如图，已知PA=PB，AD是EF的垂直平分线证明：（2）连接OA，OB，OC，PAC PBC(SSS)例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm求证：点P在AB的垂直平分线上.BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=5 cm与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上点P在线段AB的垂直平分线上AED=AFD=90点A和点D都在EF的垂直平分线上AD是EF的垂直平分线（2）三角形三边的垂直平分线交于一点ACP+
4、BCP=180，图示性质线段的垂直平分线ABlCP线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等直线l是线段AB的垂直平分线，PA=PB猜想与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上复习回顾PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上初中数学如图，已知PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上.lCBAP分析：要证点P在AB的垂直平分线上，只需证点P和AB的中点C所连直线PC是AB的垂直平分线，即PCAB只需证PAC PBC（SSS）取中点，证垂直初中数学如图，已知PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上.lCBAP证明：取AB中点C，作直线PCAC=CB在PAC和PBC中，PAPBA
5、CBCCPCP，ACP+BCP=180，ACP=BCP=90PCABPC是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上PAC PBC(SSS)ACP=BCP初中数学【小结】此方法可以称为“取中点，证垂直”，也可以“作垂直，证中点”，留给同学们自主完成lCBAP如图，已知PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上.定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上初中数学例 如图，AD为BAC的平分线，DE AB于E，DFAC于F，求证：AD是EF的垂直平分线分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，也就是要证AE=AF，DE=DFABCDEF初中数学证明：
6、AD为BAC的平分线DAE=DAF DEAB，DFAC，AED=AFD=90 在ADE和ADF中，,DAEDAFAEDAFDADAD AE=AF，DE=DF点A和点D都在EF的垂直平分线上AD是EF的垂直平分线ADE ADF（AAS）ABCDEF初中数学例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm（1）求BC的长；（2）求证：点O在BC的垂直平分线上解：（1）AB的垂直平分线是OM，AC的垂直平分线是ON，AD=BD，AE=CEADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=5
7、 cm初中数学也就是要证AE=AF，DE=DF例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上AB的垂直平分线是OM，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上分析：要证点P在AB的垂直平分线上，定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上如图，已知PA=PB，PAC PBC(SSS)证明：（2）连接OA，OB，OC，如图，已知PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上.（2）完成下面的证明与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上ADE
8、ADF（AAS）OA=OB，OA=OC证明：AB=_，AC=_，（）（填推理的依据）分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，也就是要证AE=AF，DE=DF证明：AB=_，AC=_，分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，证明：（2）连接OA，OB，OC，AB的垂直平分线是OM，AC的垂直平分线是ON，OA=OB，OA=OCOB=OC点O在BC的垂直平分线上例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm（1）求BC的长；（2）求证：点O在BC的垂直
9、平分线上初中数学小结：（1）常见的辅助线：连接要证的垂直平分线上的点到线段两端点的距离；（2）三角形三边的垂直平分线交于一点初中数学定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上ABPlCABPlC课堂小结初中数学例 如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D,E，已知ADE的周长为5 cm解：（1）AB的垂直平分线是OM，PAC PBC(SSS)ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，直线BC是线段AE的垂直平分线（）（填推理的依据）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，A=C，BE=DE（2）完成下面的证明证明：（2）连接OA，
10、OB，OC，也就是要证AE=AF，DE=DF如图，已知PA=PB，如图，已知PA=PB，证明：取AB中点C，作直线PCADE ADF（AAS）求证：点P在AB的垂直平分线上.（1）常见的辅助线：连接要证的垂直平分线上的点到线段两端点的距离；（）（填推理的依据）（2）完成下面的证明（2）求证：点O在BC的垂直平分线上（2）三角形三边的垂直平分线交于一点ADE的周长为AD+DE+AE=5 cm，AD=BD，AE=CE1.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，A=C，BE=DE求证：OE垂直平分BD 作 业初中数学2.下面小东设计的下面小东设计的“作三角形一边上的高作三角形一边上的高”的尺规作图过程的尺规作图过程.已知：ABC.求作：ABC的边BC上的高AD.作法：如图，（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D.所以线段AD就是所求作的高.ABC初中数学根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AB=_，AC=_，点B,C都在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）直线BC是线段AE的垂直平分线（）（填推理的依据）ADBC，即AD是ABC的边BC上的高同学们，再见！
