1、 第一章第一章 李群的概要李群的概要 1.1连续群和李群连续群和李群1.11从离散群到连续群群的分类（从元素的数目及分布角度）.,3,2,1,0,1,2,3,.无穷多个群中元素数目为不可列连续群整数加法群无穷多个群中元素的数目为可列无限离散群元限群群离散有限ex群ex:复数集合：群1U 为实数域RRegGi,群1U 为实数域RRegGi,可用群的四条定义规则来检验：）Gegggi gggggg gg101E显然：U(1)群是阿贝尔群 由连续变化,U(1)群的元素个数是不可数的，它是连续群，并且它具有以下特征：）U(1)群的每一个元素都可用参数来标志，参数连续变化）乘积元数g()g()所相应的参
2、数+是参数和的连续函数）逆元g()-1的参数也是的连续函数。1.1.2 群的参量和连续群 群中各元素可看作某个抽象空间（群空间group space）中的一个点集（群流形group manifold）。群中的每个元素都可以唯一地用一组数（参数）来表示元素与参量之间成一一对应的关系。ex.U(1)群中元素的参量就是 SO(2)群元素 参量为,21cossinsincosDef.表示群元素所需要的最少数目的（实）参量称为必要参量（essential parameteis）ex.若将一维平移群表示为：这变换中的参数，就不是essential。xxDef 若连续群的元素由r个必要参量决定：则该群称为r
3、阶连续群（r-parameter continons group），r称 为群的阶。在离散群中（包括现在的无限离散群）的必要参量只有一个。ex，整数二维平移群Tmn：其中m，n为整数。ggr,21nyymxx;图中每点代表一个群元素。各元素（m,n）的编号如中所示只需要一个参量（红色编号）。(-1,0)(0,0)(-2,0)(1,0)(2,0)(-1,1)(0,1)(-2,1)(1,1)(2,1)(-1,2)(0,2)(-2,2)(1,2)(2,2)(-1,-1)(0,0)(-2,-1)(1,-1)(2,-1)(-1,-2)(0,-2)(-2,-2)(1,-2)(2,-2)19 6 1 2 1
4、120 7 8 9 1021 22 23 24 2518 5 4 3 1217 16 15 14 13群 的单位元素记作：则 通常取 ，即 Gggr,21ooroogge,21 gggggoo0o 0ge 逆元素：群的逆元素存在要求对任意的群参数，均有参数 存在，使得 即群元素的逆元素的参数 与群元素参数有关系；（*）10ggggggg f封闭性：由群的封闭性要求对任意的群参数和，必有群参数存在，使得：因此，实参数必定是实参数和的函数：or （*）这些函数称为群G的结合函数。结合律：结合律要求 于是结合函数应满足：Ggggrrr,2,1,2121,gggggg,Def.1 如果 和 式中的函数
5、 f 和 均是其变量的连续函数，则称群G为连续群。f,Def.2 如果函数 f 和 是其变量的解析函数（对各个变量具有任何阶的导数），那么群G称为李群（Lie group）。（注：f 解析，则 g()也解析）对于李群，函数 f 和 均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。Def.若连续群的参量的数目r为有限，则该群称为有限连续群（finite contions group）rDef.若表示连续群的参量均在一个有界区域内变化，且该区域为闭区域，则该群称为紧致的（compact）。Def.若对应于连续群中的两个群元素 与 的参量所定义的距离 则称这两个群元素互相趋近，记作：or 02112rjj
6、jg gg gg g1.1.3 李群 定义为连续群中，f 和 为解析函数。因此，李群是连续群的一种。U(1)Lie group（1阶）。一、一、r个参量的变换李群（个参量的变换李群（r阶）阶）设变换为：记为)2,12(),;,(2121nxxxFxrnii),(xFx 该变换的总体构成一个群逆元：逆元存在要求即由（）式可解出xi，条件为雅可毕行列式不为零：xxFFxF),(),(0),(),(2121nnxxxFFF（）封闭性：要求：其中参数 上式可写成对于变换李群，是它的绪变量的无限次可微函数李群的独立参数有r个，则该李群的阶就是r 例如：U(1)为一阶李群Def.群参数变化的范围简称为群参
7、数空间 ex,u(1),;,(21221riixxxFx ),);,(),(211rnixFxFFGrxxxFrni),;,(2121的函数必为参数,),()2,1(),(,(),(xFxFF),(),(二二 李群的例子李群的例子1G：单位元：逆元素：封闭性：2G：单位元:逆元：封闭性 显然1和 2是连续任意阶可导。)(),0(,Rxx11Rxxx,21xx0,12121xx2211)(x22111x0122111221121)(xxx2122111xx212221111),(,),(1221211,13 1221221121121222112112121222112112xxxxxxxxxx
8、 0110,e单位元4n维正交群O(n)先看二维(实)正交群O(2)，在O(2)的变换下，保持实二维空间中矢量长度不变，即当 时，有 or 要保证矢量长度的不变，即 必有 同理证出由此，二阶矩阵A=中的4个参量受到三个关系式的限制 O(2)是一个单参数李群)2(OAAxx jijixAx liljijiixAxAxxxxxxxxxxAAkkljilijjlilijAAjljliljiilijAAAAAA)(IAAIAAbdcaIAAcdabdbcacdabbdaccdab22220112222cdabdbca三个限制条件：对于纯空间转动 detA=+1纯空间转动群记为SO(2)，它的群元素为一
9、个矩阵：且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演SO(2)是单参数的阿贝尔群，SO(2)与U(1)同构。注意：高维转动群则是非阿贝尔群。n维正交群O(n)实n维空间的线性变换群。它保持 不变。即其中：A为n阶实矩阵 矩阵A的n2个实参数受到 个条件的限制 cossinsincosniix12Axx IAAAA)1(2nnn满足0112222cdabdbca1det,AAA时 n维正交群O(n)是 阶李群，记作：其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。另外：O(n)的子群SO(n)(A SO(n);detA=+1)代表n维实空间中的纯转动根据陪集定理和拉格朗日定性，O(n)按子群SO
10、(n)作陪集分解：其中 为空间反演矢矩O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。)1(21)1(212nnnnnnrIAAAARnGLAAnO),(:)()()()(nSOnSOnO)(),()(/)(nSOnSOnSOnO为二阶群即商群Complex space 复空间5n维么正群二维复空间中，线性变换的22复矩阵U如果满足条件：uu+=u+u=I 这样的变换的总体构成二维么正群U(2)，U(2)的任一变换使二维复空间中矢量的内积保持不变，记作对n维复空间的么正群U(n),这是一个n2个实参数李群 IuuuuCGLuuU),2(,)2(IuuuuCnGLuunU),(:)(2222)1(2n
11、nnnnn维复空间中的一般线性变换群约束条件，可由二维复空间去验证6n维特殊么正群SU(n)二维复空间中，特殊么正群 称为二维么模么正群，（么模 ）SU(2)是U(2)再加上条件 ，故SU(2)是3个实参数的李群。对n维复空间的特殊么正群SU(n)为：这个群有n2-1个独立实参数。1det),2(:)2(uUuuSU1detu1detu1det),(:)(unUuunSU1.2李群的连通性李群的连通性 1.21连通性Def.如果群G的参数空间中任意两点均可用此空间中的一条连续曲线（道路）把它们连接起来，则称群G是连通的，否则就是不连通的。disconnected groupconnected
12、groupDef.若连通区域可作几条线互相之间不能用连续变形的办法，从一条变到另一条，则称为几次复连通区域。若n=0，则称为单连通区域。单连通n=4n=2参数空间中有一个参数是使detA=+1变到detA=-1，这个参数将整个参数空间分成两叶1.22举例ex.1 三维正交群O(3)O(3)是三参数李群，设AO(3)，则 detA=1 因此，O(3)的群参数空间分为不相连结的两叶，它们分别对应于detA=+1和detA=-1，因此，无法用属于参数空间的曲线连结这两叶，故O(3)群是不连通的但SO(3)对应于detA=+1，是连通的)1(21nnrO(3)=O()O()O()，是绕三根轴的转角解释
13、O(2)群：令令为反演矩阵，则det(A)=1,而det B=-1 cossinsincosA1sincoscossinsincosdet22ABAcossinsincos)cos()sin()sin()cos(cossinsincosex.2,二维特殊么正群SU(2)uu+=u+u=1 det u=+1考虑二介复矩阵 么正条件u+=u-1 给出 a=d*,b=-c*由么模条件det u=ad-bc=1 得|a|2+|b|2=1令 由此可见，SU(2)的群参数空间由上式确定，它是一个四维球面，此球面是单连通的。SU(2)为单连通李群。dcbau则上式为,iwzbiyxa12222wzyx1.2
14、3 紧致性Def.如果李群的参数空间是闭而有界，则称它为紧致李群。例：一维 区间（1，1）开区间 区间 1，1 闭区间ex.n维正交群O(n)是紧致群证：如果AO(n)，则 即 取k=l，得对所有的i,k均为|Aik|1,因此O(n)是有界的。显然，它的参数空间是闭的。它是紧致群还有，容易证明：SO(n),U(n),SU(n)都是紧致李群但U(1)是非紧致李群 1AAAAniklilikAA1niikA121)(01-1,ie1.3李群的生成元李群的生成元 李群的各元素可用一组实参数来标志，当参数作连变化时，就对应于李群中诸元素的相继变更。因此，研究李群的性质，只需弄清它在单位元附近的性质就够
15、了，（e=g(0)是人为取的）其中称为李群G的无穷小生成元，or：李群生成元。对r阶李群，有r个线性无关的生成元Xk，虽然它们仅在群的单位元附近给出，但由生成元可导出整个李群的性质，即群的任一有限元素都可以由生成元来表达。rkkkXggg1)0()(,)(故的解析函数是),2,1(,)(0kgXkkex.1 SO(2)二维旋转群的群元素可写为：SO(2)的生成元X为如把不发生变化的Z分量考虑进去，旋转矩阵为：对应R()的生成元它就是轨道角动量的Z分量，JZ也叫生成元cossinsincos)(g0110)(0gX1000cossin0sincos)(R0000000,3iiJiJXZz其中ex
16、.2 GL(2,R)二维实空间的一般线性变换阵为：它的生成元为：同理 22211211aaaaA00010111111aaAX1000,0100,0010222112XXX它们满足对易关系：XXXX,ex.3 SU(2)=u:uU(2),det u=+1二维么模么正 群。设u=1+a()无究小参数对应的群元由么正条件uu+=1得即 a为反厄米矩阵令 u=1+ib()由么模条件 det u=1有 j不一定等于1，2，对SU(n)也成是 trace(b)=01)(1)(1(aa1)()()(12aOaa0)()(aa是厄米阵则biba,1)(1)1det(det2bObiibujjj么模对SU(2
17、)群，b可取为 并令Xk=-iIk,则 1,2,3为三个泡利矩阵，它们的对易关系为：其中jkl为三阶全反对称张量 321213ii3033202210111001000110uiIiiuiIuiIljklkji2,并非都不同若为奇排列若为偶排列若),(,0),(,1),(,1lkjlkjlkjjkl仅有三个独立参量ex.4 求SU(3)u:u U(3),detu=+1群表示的生成元。群元：ij是无穷小量，显然:g()是无穷子群中的元素么模条件：detg()=1+11+22+33+O(2)=1 11+22+23=0 一个约束条件据上面g()的形式，可猜出333231232221131211111
18、)(g100010001)0(g-(1)3332312322211312111111)(g另一方面，据么正条件：g-1()=g+()令 ij=pij+iqij比较上面（1）和（2）式，有 （i=1,2,3）三个约束条件*;*333322221111iiii0iip33*32*13*32*22*12*31*21*11*1111)(g-(2)(三个约束条件)（三个约束条件）jijiijijjiijiqpiqp*jiijpp jiijqq 取：q11 q22 p12 p13 p23 q12 q13 q23（为独立参量）1 2 3 4 5 6 7 8（实参量）221123231313232322121
19、21313121211111)(qqiiqpiqpiqpiqiqpiqpiqpiqg2185748526374631111iiiiiiiiiiigX0000000)(011iigX0000000)(0220000000;0000000;0000000;010100000;001000100;000001010;0000000;000000087654321iiXiiXiiXXXXiiXiiX例：SO(3，R)=R(3)三维空间转动（若取Eular角为转动角，由于不满足一一对应的条件，故这里不这样做）211332;xyyzxyyzxyxyxyyyxxyx000100010001121323yx1
20、1112132300000010,001000100,010100000),()(033022011321xgxgxgg),(:;321rr（的方向为角动量 的方向）同理：rrrrrxzy生成元的性质：当很小时逆元为：因为：)()0()(21OXggkrkk)()0()(211OXggkrkk)()0()()0()0()0()0()()(221OgOXgXgggggkkkk得证另外，在单位元g(0)附近，即，很小时 其中 Gggggg),()()()()(11)()0()()0()()0()()0(2222OXgoXgOXgOXgllkkjjiilklklkXXg,)0(kllklkXXXXX
21、X,-（1）另一方面 -（2）比较（1）和（2）式得 -（3）必有：-（）代入（3）式:显Cm满足：（）式说明，李群的两个生成元的对易式可由r个生成元的线性组合表出，李氏第二定理。李群的结构常数，它由生成元的对易式完全确定，在给定群参数的情况下，结构常数与群参数无关，是常数。若将Xi看成r个基，它们的对易关系可视为相互乘法规则，形成所谓李代数。mrmmXCgg1)0(),(rmmmlklklkXCXX1,rmmmkllkXCXX1,mmmklmmmkllkXCXCklmkllkmCCmklC李群的结构常数有以下的两个重要性质：（1）下指标反对称（2）根据Jacobi恒等式：mlkmklCCijjijiXXXXXXiriinmrnnklmnrnnklrnmnnklmlklkmkmlmlkXCCXXCXXCXXXXXXXXXXXX1111,0,-（）（）iinlinnmklkmiinkinmlmkmlXCCXXXXCCXXX,;,同理ininnlnmkinknlminmnklXCCCCCC,0rnnnlnmkinknlminmnklCCCCCC10必有即李氏第三定理（i=1r）应该指出：李群的生成元和结构常数均与参数的选取有关。例：如选=f()为参数，则0,ikiikiikikPPXX
