1、傅立叶变换的推导傅立叶变换的推导第一节第一节 确定信号的傅里叶变换确定信号的傅里叶变换及其推导及其推导1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析QH2.1.1（1 1）三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数（2 2）复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数（3 3）傅里叶
2、变换傅里叶变换1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论QH2.1.2 式式2.1.12.1.1根据三角函数的正交性，对式根据三角函数的正交性，对式2.1.12.1.1两边积分，得：两边积分，得：2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.3对式对式2.1.12.1.1两边同乘两边同乘 再在再在 积分，得：积分，得：2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.4同理，对式同理，对式2.1.12.1.1两边同乘两边同乘 再在再在 积分，得：积分，得：2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.5由此可得三角
3、形式的傅里叶级数：由此可得三角形式的傅里叶级数：其中：其中：2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导式式2.1.22.1.2式式2.1.32.1.3式式2.1.42.1.4QH2.1.6（1 1）奇偶性奇偶性 为偶函数为偶函数 为奇函数为奇函数3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.7（2 2）同频合并同频合并：其中：其中：被称为频率谱，被称为频率谱，被称为相位谱。被称为相位谱。3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.8令令 ，则，则 （奇偶性）（奇偶性）令令 ，则得：，则得：4 4，指数形式的傅里叶级数的推导
4、指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.94 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.10（1 1）指数形式的傅里叶级数对指数形式的傅里叶级数对 式式2.1.5 2.1.5 式式2.1.62.1.6（2 2）思考：其中的思考：其中的2 2到哪去了？到哪去了？5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.11（3 3）其中频率谱其中频率谱 相位谱相位谱（4 4）当当 为偶函数时，为偶函数时，则，则 为实函数，为实函数，当当 为奇函数时，为奇函数时，则，则 为纯虚函数，为纯虚函数，5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析QH2
5、.1.12由上一节的推导可知，由上一节的推导可知，两边同乘两边同乘T T，得：，得：，其中，其中当当 时，时，令令 ，则则6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导QH2.1.13 ，且且 ，6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导QH2.1.14（1 1）傅里叶变换对：傅里叶变换对：式式2.1.72.1.7 式式2.1.82.1.8 规律：正变换为负，反变换为正。规律：正变换为负，反变换为正。（2 2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析QH2.1.15第二节第二节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换1 1，
6、冲击函数冲击函数2 2，冲击偶函数冲击偶函数3 3，单边指数信号单边指数信号4 4，双边指数信号双边指数信号5 5，符号函数符号函数6 6，指数函数指数函数7 7，余弦函数余弦函数8 8，矩形窗函数矩形窗函数QH2.2.11 1，冲击函数冲击函数思考：思考：0 0频率与冲击的区别。频率与冲击的区别。QH2.2.22 2，冲击偶函数冲击偶函数QH2.2.33 3，单边指数信号单边指数信号QH2.2.44 4，双边指数信号双边指数信号QH2.2.5 可以看成是可以看成是 ，5 5，符号函数符号函数QH2.2.66 6，指数函数指数函数QH2.2.77 7，余弦函数余弦函数QH2.2.88 8，矩形
7、窗函数矩形窗函数QH2.2.9第三节第三节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1 1，对称性对称性2 2，尺度变换尺度变换3 3，时移特性时移特性4 4，频移特性频移特性5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性6 6，傅里叶变换综合例题傅里叶变换综合例题QH2.3.11 1，对称性对称性 若若 ，则，则推导：推导：互换互换 和和 ，得：，得：也即也即QH2.3.22 2，尺度变换尺度变换若若 ，则，则推导：推导：令令 则则 QH2.3.33 3，时移特性时移特性若若 ，则，则推导：推导：令令 则则 QH2.3.44 4，频移特性频移特性若若 ，则，则推导：推导：令令 则则QH2.3.55 5，奇偶虚实性奇偶
8、虚实性若若 ，则：，则：（1 1）（2 2）（3 3）推导：推导：（1 1）QH2.3.65 5，奇偶虚实性奇偶虚实性（2 2）（3 3）由由(1)(2)(1)(2)即可得。即可得。QH2.3.76 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）QH2.3.86 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（1 1）QH2.3.96 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（2 2）QH2.3.106 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（3 3）QH2.3.116 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（4 4）QH
9、2.3.126 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（5 5）QH2.3.13特别地：当特别地：当 时时6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题（6 6）QH2.3.14第四节第四节 周期信号的傅里叶变换及周期信号的傅里叶变换及抽样定理抽样定理1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2 2，抽样抽样3 3，对抽样的理解对抽样的理解4 4，低通抽样定理低通抽样定理5 5，带通抽样定理带通抽样定理QH2.4.11 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换设设 为周期信号，周期为为周期信号，周期为T T。则。则 可以展成傅里叶级数：可以展成傅里叶级数：式式2.4.12.4
10、.1对对式式2.4.12.4.1两边进行傅里叶变换可得：两边进行傅里叶变换可得：式式2.4.22.4.2其中其中 为数值。为数值。由傅里叶变换的知识，由傅里叶变换的知识，式式2.4.22.4.2变为：变为：QH2.4.21 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换其中其中 为为 的傅里叶级数的系数，即：的傅里叶级数的系数，即：式式2.4.32.4.3现现在构造函数在构造函数 为为 在在 的一段，其他部分为的一段，其他部分为0 0，则，则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：式式2.4.42.4.4对照式对照式2.4.32.4.3与式与式2.4.42.4.4可知，可知，QH2.4.31 1，周期
11、信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换特例：特例：当周期信号为冲击序列时：当周期信号为冲击序列时：周期冲击序列的傅里叶变换为：周期冲击序列的傅里叶变换为：QH2.4.41 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：QH2.4.5（1 1）抽样的概念理解抽样的概念理解（2 2）设连续信号设连续信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，抽样序列，抽样序列 的的傅里叶变换为傅里叶变换为 。抽样之后所得序列。抽样之后所得序列 ，其，其傅里叶变换为傅里叶变换为 。（3 3）抽样序列为周期信号，抽样序列为周期信号，其中用到了其中用到了 函
12、数的卷积性质函数的卷积性质 2 2，抽样抽样QH2.4.63 3，对抽样的理解对抽样的理解这是在这是在 影响下，影响下，在频域的平移，平移的周期是在频域的平移，平移的周期是 。QH2.4.73 3，对抽样的理解对抽样的理解（1 1）若若 是理想冲击序列，则其傅里叶变换是理想冲击序列，则其傅里叶变换 为：为：由周期信号傅里叶变换的性质，由周期信号傅里叶变换的性质，也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以前的前的 ，也即一种无失真的抽样。，也即一种无失真的抽样。理理想想抽抽样样QH2.4.83 3，对抽样的理解对抽样的理解（2 2）若抽样序列若抽
13、样序列 不是冲击序列，则抽样之后的频不是冲击序列，则抽样之后的频谱谱 将会出现失真，也即将将会出现失真，也即将 的包络叠加的包络叠加于于 之上。之上。自自然然抽抽样样QH2.4.93 3，对抽样的理解对抽样的理解（3 3）平顶抽样平顶抽样（4 4）直观理解直观理解 明明抽样了，为什么还会无失真呢？明明抽样了，为什么还会无失真呢？QH2.4.104 4，低通抽样定理低通抽样定理通过上面的分析，设通过上面的分析，设 的最高频率为的最高频率为 。抽样间隔为。抽样间隔为T T，则抽样频率则抽样频率 。若。若 ，则可以从抽样信号中将原始，则可以从抽样信号中将原始信号恢复出来。信号恢复出来。所以信号无失真抽样的最低频率为所以信号无失真抽样的最低频率为 ，这就是抽样定理。，这就是抽样定理。QH2.4.115 5，带通抽样定理带通抽样定理若一个带通信号限带于若一个带通信号限带于 ，则对该信号无失真抽样的最，则对该信号无失真抽样的最小频率为：小频率为：其中其中k k表示不超过表示不超过 的最大正整数。的最大正整数。QH2.4.12
