1、20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题（一）模拟试题（一） 一选择题一选择题 1已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则z A2i B2i C12i D12i 2已知复数z满足2 1 z i i ，则z A3i B3i C3i D3i 3已知(12 )2zii，则复数z A1 Bi Ci D2i 4已知( 2,1)A ，(3, 2)B两点，且4APPB，则点P的坐标为 A 7 (2, ) 5 B 7 ( ,2) 5 C 7 (2,) 5 D 7 (,2) 5 5已知| | 3ab，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a
2、在向量b上的投影向量为 3 2 e，则a与b 的夹角为 A30 B60 C120 D150 6已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为 BC 的中点，E点在边 AC 上，设 AD 与 BE 交于点P，则 BP BC A4 B6 C8 D10 7已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点重合） ，则下列结论错 误的是 AABPQ B平面/ /BPQ平面 11 ADD A C四面体ABPQ的体积为定值 D/ /AP平面 11 CDDC 8所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A12 B1
3、8 C21 D39 二多选题二多选题 9已知向量(2,1)a ，( 3,1)b ，则 A()/ /aba B向量a在向量b上的投影向量为 1 2 b Ca与()ab的夹角余弦值为 2 5 5 D若 52 5 (,) 55 c ，则ac 10在ABC中，如下判断正确的是 A若sin2sin2AB，则ABC为等腰三角形 B若AB，则sinsinAB C若ABC为锐角三角形，则sincosAB D若sinsinAB，则AB 11如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点P，Q分别是棱 1 BB， 1 DD上异于端点的两个动点，且 DQBP，则下列说法正确的是 A三棱锥DAPQ的体积为定值 B
4、对于任意位置的点P，平面APQ与平面 1111 A BC D所成的交线均为平行关系 CPAQ的最小值为 3 D对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面 11 AC CA 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 AB， 11 AD的中点，则 A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 13己知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为 14已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 15设m，nR，向量( ,
5、1)am，( 1, )bn 若ab且| 2a ，则m n的值是 16如图，在ABC中，8AB ，12BCAC，分别取三边的中点D，E，F，将BDE，ADF， CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥PDEF的外接球的体积最小 时，其外接球的半径为 ，三棱锥PDEF的体积为 四解答题四解答题 17已知 2 (3,34)axxx，(1,2)A，(3,2)B （1）若ABa，求x的值； （2）若/ /ABa，求x的值 18已知复数 1 12zi ， 2 34zi，i为虚数单位 （1）若复数 12 zaz在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若 1 2 z
6、z z ，求z的共轭复数z 19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 222 coscoscos1 sinsinBCABC （1）求A； （2）若3a ，求ABC的面积的最大值 20在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量( 1,2)a ，点(8,0)A，( , )B n t，( sin , )C kt，R （1）若kt，30，求|aOC的最小值； （2）若向量AC与向量a共线，常数0k ，求( )sinft的值域 21如图，在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD，F为AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABCD，E为PC的中点 （1）求证
7、：/ /EF平面PAD； （2）求四棱锥PABCD的侧面积 22 如图， 在三棱锥PABC中，2PAPC，2 2ACBC，ACBC，D为棱AB上一点，3BDAD， 棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上 （1）证明：AB 平面PDE； （2）求三棱锥PAEF的体积 20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题模拟试题（一）（一） 一选择题一选择题 1已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则z A2i B2i C12i D12i 【答案】B 【解析】由 22 (2)|43 |4( 3)5i zi ， 得 22 55(
8、2)5(2) 2 2(2)(2)21 ii zi iii ， 故选 B 2已知复数z满足2 1 z i i ，则z A3i B3i C3i D3i 【答案】D 【解析】2 1 z i i ， 2 (2)(1)223ziiiiii ， 故选 D 3已知(12 )2zii，则复数z A1 Bi Ci D2i 【答案】C 【解析】(12 )2zii， 2(2)(12 ) 12(12 )(12 ) iii zi iii ， zi ， 故选 C 4已知( 2,1)A ，(3, 2)B两点，且4APPB，则点P的坐标为 A 7 (2, ) 5 B 7 ( ,2) 5 C 7 (2,) 5 D 7 (,2)
9、 5 【答案】C 【解析】设( , )P x y，则(2,1)APxy，(3, 2)PBxy ， 4APPB， (2x，1)4( 3yx ，2)y ，即(2x，1)(124yx，84 )y ， 故 2124 184 xx yy ， 解得2x ， 7 5 y ， 所以 7 (2,) 5 P 故选 C 5已知| | 3ab，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为 3 2 e，则a与b 的夹角为 A30 B60 C120 D150 【答案】B 【解析】根据题意，设a与b的夹角为， 若向量a在向量b上的投影向量为 3 2 e， 则 39 22 a be b，则有 1 cos 2|
10、 | a b ab ， 又0180剟，所以60， 故选 B 6已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为 BC 的中点，E点在边 AC 上，设 AD 与 BE 交于点P，则 BP BC A4 B6 C8 D10 【答案】C 【解析】因为ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点， 所以ADBC， 由数量积的几何意义可知|cos| 248BP BCBP BCPBCBD BC 故选 C 7已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点重合） ，则下列结论错 误的是 AABPQ B平面/ /BPQ平面 11 ADD A C四面体ABPQ的体积为
11、定值 D/ /AP平面 11 CDDC 【答案】C 【解析】P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点重合） ， 对于A，ABBC， 1 ABBB， 1 BCBBB，BC、 1 BB 平面 11 BCC B， AB平面 11 BCC B， PQ平面 11 BCC B，ABPQ，故A正确； 对于B，平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B，平面BPQ与平面 11 BCC B重合， 平面/ /BPQ平面 11 ADD A，故B正确； 对于C，A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值， BP的长不是定值，四面体ABPQ的体积不为
12、定值，故C错误； 对于D，平面 11/ / ABB A平面 11 CDDC，AB平面 11 ABB A， / /AP平面 11 CDDC，故D正确 故选 C 8所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A12 B18 C21 D39 【答案】C 【解析】由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心， 底面中心到顶点的距离为： 23 33 32 ；所以外接球的半径为： 22 321 ( 3)( ) 22 所以外接球的表面积为： 2 21 4 ()21 2 故选 C 二多选题二多选题 9已知向量(2,1)a ，( 3,1)b ，则
13、A()/ /aba B向量a在向量b上的投影向量为 1 2 b Ca与()ab的夹角余弦值为 2 5 5 D若 52 5 (,) 55 c ，则ac 【答案】BCD 【解析】对于A，向量(2,1)a ，( 3,1)b ，所以( 1,2)ab ，且1 1 2 250 ，所以ab与a 不平行，A错误； 对于B，向量a在向量b上的投影向量为 2 51 |cos 102| ba b abbb bb ，所以B正确； 对于C，因为(5,0)ab，所以cosa， ()102 5 5| |55 aab ab aab ，所以C正确； 对于C，因为 52 5 (,) 55 c ，所以 52 5 21 ()0 55
14、 a c ，所以ac，选项D正确 故选 BCD 10在ABC中，如下判断正确的是 A若sin2sin2AB，则ABC为等腰三角形 B若AB，则sinsinAB C若ABC为锐角三角形，则sincosAB D若sinsinAB，则AB 【答案】BCD 【解析】: sin2sin2AAB，A，(0, )B， 22AB或22180AB，AB或90AB， 则ABC为等腰或直角三角形 故A错误 :BAB，ab，2 sin2 sinrArB，sinsinAB，故B正确 :CABC 为锐角三角形，C为锐角， 2 AB ， 2 AB ，sinsin() 2 AB ，sincosAB， 故C正确 : sinsi
15、nDAB，2 sin2 sinrArB，ab，AB，故D正确 故选 BCD 11如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点P，Q分别是棱 1 BB， 1 DD上异于端点的两个动点，且 DQBP，则下列说法正确的是 A三棱锥DAPQ的体积为定值 B对于任意位置的点P，平面APQ与平面 1111 A BC D所成的交线均为平行关系 CPAQ的最小值为 3 D对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面 11 AC CA 【答案】BD 【解析】对于A， D APQP ADQ VV ，ADQ面积不定， 而P到平面ADQ的距离为定值AB， D APQ V 不是定值，故A错误； 对于B，由于/ /PQ
16、平面 1111 A BC D，则经过直线PQ的平面APQ与 1111 A BC D的所有交线均与PQ平行， 根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故B正确； 对于C，设正方体棱长为 1，(0,1)PBDQa， 则 2 1APAQa，2PQ ， 则 222 222 11211 cos1(0, ) 2(1)112 aaa PAQ aaa ， (,) 3 2 PAQ ，故C错误； 对于D，由题意得直线PQ与平面 11 AC CA垂直， 对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面 11 AC CA，故D正确 故选 BD 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 AB，
17、11 AD的中点，则 A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 【答案】BC 【解析】对于A， 11 / /BCAD， 1 ADB是BD与 1 B C所成角（或所成角）的补角， 11 ADBDAB， 1 60ADB，BD与 1 B C不垂直，故A错误； 对于B，取AD中点G，连接FG，EG，则/ /EGBD， 1 / /FGBB， EGFGG， 1 BDBBB，平面/ /EFG平面 1 DB B， EF 平面EFG，/ /EF平面 1 DB B，故B正确； 对于C， 1111 ACB
18、 D， 111 AAB D， 1111 ACAAA， 11 AC、 1 AA 平面 11 AAC， 11 B D平面 11 AAC， 1 AC 平面 11 AAC， 111 ACB D， 同理 11 ACBC， 1111 B DBCB， 11 B D、 1 BC 平面 11 B DC， 1 AC平面 11 B DC，故C正确； 对于D，取 11 A B中点H，连接FH、EH， 则 11 / /FHB D， 1 / /GFBB， FHGFF， 1111 B DBBB，平面/ /EHFG平面 11 BB D D， 1 BD 平面 11 BB D D，EF 平面EHFG， 过直线EF且与直线 1 B
19、D平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG， 2GF ， 11 442 22 GEBD， 过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 2S ，故D错误 故选 BC 三填空题三填空题 13己知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为 【答案】1 【解析】 1 1 | | i zi i ， 则z的虚部为1， 故答案为：1 14已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 【答案】2 5 【解析】/ /ab，230m，解得 3 2 m ，则 3 ( 3, ) 2 b ， 2( 4,2)ab ， 22 |2 |( 4)22 5ab
20、故答案为：2 5 15设m，nR，向量( ,1)am，( 1, )bn 若ab且| 2a ，则m n的值是 【答案】3 【解析】因为ab，所以0mn又因为| 2a ，所以 2 14m ， 2 3m 于是 2 3m nm 故答案为：3 16 如图， 在ABC中，8AB ，12BCAC，分别取三边的中点D，E，F，将B D E，ADF，CEF 分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥PDEF的外接球的体积最小时，其 外接球的半径为 ，三棱锥PDEF的体积为 【答案】 17 2 ； 8 3 【解析】由题意可知三棱锥PDEF的对棱分别相等，设2BCa，则122ACa， 将三棱锥PDE
21、F补成长方体，则面对角线长度分别为：a，6a，4， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体的长宽高分别为：x，y，z，则 222 xya， 222 (6)yza， 22 16xz 所以 2222 626xyzaa，所以外接球的半径为： 2222 626 22 xyzaa r ， 当3a 时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值， 此时 17 2 r ，解得2 2xz，1y ， 所以三棱锥的体积为： 118 2 22 2142 22 21 323 故答案为： 17 2 ； 8 3 四解答题四解答题 17已知 2 (3,34)axxx，(1,2)A，(3,2)B （1）若ABa，求x的
22、值； （2）若/ /ABa，求x的值 【答案】 （1）1； （2）1x 或 4 【解析】 （1）(2,0)AB ，所以有 2 32 1 340 x x xx ， （2） 2 340 xx即可，解得1x 或 4 18已知复数 1 12zi ， 2 34zi，i为虚数单位 （1）若复数 12 zaz在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若 1 2 z z z ，求z的共轭复数z 【答案】 （1） 1 ( 3 ， 1 ) 2 ； （2） 12 55 zi . 【解析】 （1）复数 1 12zi ， 2 34zi， 所以 12 (12 )(34 )(13 )(42)zaziaiaa
23、i； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以 130 420 a a ， 解得 11 32 a， 所以实数a的取值范围是 1 ( 3 ， 1 ) 2 ； （2）化简 1 22 2 12(12 )(34 )5 1012 343(4 )2555 ziiii zi zii ， z的共轭复数 12 55 zi 19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 222 coscoscos1 sinsinBCABC （1）求A； （2）若3a ，求ABC的面积的最大值 【答案】 （1） 6 A ； （2） 23 4 . 【解析】 （1）因为 222 coscoscos1 sinsinBCABC
24、， 所以 222 1 sin1 sin(1 sin)1 sinsinBCABC 即 222 sin3sinsinBsin Csin ABC， 由正弦定理得 222 3bcabc， 由余弦定理 222 3 cos 22 bca A bc ， 由A为三角形内角得 6 A ； （2） 3 2 sinsinsin3 2 bca BCA ， 故2sinbB，2sincC， 115 sin4sinsinsinsin() 246 ABC SbcABCBB ， 2 13 sincos 22 BBsin B， 131cos2 sin2 422 B B ， 133 sin2cos2 444 BB， 13 sin(
25、2) 234 B ， 因为 5 0 6 B ， 所以 4 2 333 B ， 故 3 sin(2) 1 23 B ， 所以 1323 0sin(2) 2344 B 故ABC的面积的最大值 23 4 20在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量( 1,2)a ，点(8,0)A，( , )B n t，( sin , )C kt，R （1）若kt，30，求|aOC的最小值； （2）若向量AC与向量a共线，常数0k ，求( )sinft的值域 【答案】 （1） 4 5 5 ； （2）当4k 时( )f的值域为 32 216,k k ；04k 时( )f的值域为 216k， 216k 【解析】 （1）
26、( , ),( 1,2) 22 kk OCk aOCk ， 2222 55616 |(1)(2)35() 24455 k aOCkkkk， 6 5 k 时，|aOC取最小值为 4 5 5 ； （2）( sin8, )ACkt，向量AC与向量a共线，常数0k ， 2 sin16tk ， 22 432 ( )sin2 sin16sin2 (sin)ftkk kk ， 当 4 01 k 即4k 时，当 4 sin k 时，( )sinft取得最大值 32 k ；sin1 时，( )sinft取得 最小值216k，此时函数( )f的值域为 32 216,k k 当 4 1 k 即04k 时，当sin1
27、时，( )sinft取得最大值216k；sin1 时，( )sinft取 得最小值216k，此时函数( )f的值域为 216k，216k 综上所述，当4k 时( )f的值域为 32 216,k k ；04k 时( )f的值域为 216k，216k 21如图，在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD，F为AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABCD，E为PC的中点 （1）求证：/ /EF平面PAD； （2）求四棱锥PABCD的侧面积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 4 21 2 【解析】 （1）证明：取CD的中点为H，连结EH，FH， 因为E为PC的中
28、点，所以/ /EHPD， 又因为PD平面PAD，EH 平面PAD，所以/ /EH平面PAD， 又因为1CD ，/ /ABDC， 1 2 AF ，所以/ /DHAF， 1 2 DHAF， 所以四边形AFHD是平行四边形，所以/ /FHAD， 又因为AD 平面PAD，FH 平面PAD，所以/ /FH平面PAD， 又EHFHH，EH，FH 平面EFH，所以平面/ /PAD平面EFH， 又因为EF 平面EFH，所以/ /EF平面PAD； （2）解：因为90BCD，所以CDBC， 又因为PD 平面ABCD，所以PDBC， 又PDCDD，PD，CD 平面PDC，所以BC 平面PDC， 又PC 平面PDC，
29、所以PCBC， 所以PDC，PDA，PCB为直角三角形， 因为2AB ，1DCBC，/ /ABDC，90BCD， 所以2,2,3,3PCADPAPB， 所以 212 ,2 222 PBCPDCPDAPAB SSSS ， 所以四棱锥PABCD的侧面积为 2124 21 2 2222 22 如图， 在三棱锥PABC中，2PAPC，2 2ACBC，ACBC，D为棱AB上一点，3BDAD， 棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上 （1）证明：AB 平面PDE； （2）求三棱锥PAEF的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 9 【解析】 （1）证明：如图，取AB的中点H，连接CH，
30、3BDAD，D为AH的中点，则/ /DECH， ACBC，CHAB，则EDAB， 又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，EF平面PAB， 而AB平面PAB，EFAB， EFEDE，EF、DE 平面PDE， AB平面PDE； （2）解：AB 平面PDE，PE 平面PDE，ABPE， 点E为棱AC的中点，PAPC，PEAC， 又ACABA，AC、AB平面ABC，PE平面ABC， 而DE 平面ABC，PEDE， 2PAPC，2 2ACBC，ACBC， 2PE，1DE ，3PD ， 在Rt PDE中，由Rt DEFRt DPE，得 3 3 DF ， 3PDDF，即2PFFD， 2213 13 3323 PAFPAD SS ， 11362 33339 P AEFE PAFPAF VVSEF 三棱锥PAEF的体积为 2 9
