1、物理二班 乔冬PB03203134 一个陀螺可以在地上稳定的转动,与障碍相碰后又很快恢复稳定,它的转动是稳定的。我们研究刚体的稳定性时就从以下两个方面研究:(1)外力距为0时,角速度 不随时间变化;(2)稳定转动的刚体的抗扰动能力。一.不受扰动时)(所以1)(jidtkdikdtj dkjikjidti dxyzxyzzyxrdtrd因为)(所以力矩2)()()(0213132321321zyxzyxzyxyzxxMIIIMIIIMIIIdtLdMkIjIiIL因为外力距为0,故:)(3)()()(213132321yxzxzyzyxIIIIIIIII 从这个方程可以看出,如果开始时转动主轴是
2、惯量主轴之一,转动可以稳定不变。为明确起见,不妨设t=0时刚体绕惯量主轴OzOz轴转动,即:)(4000|0|0|t ztyt x将上式代入(3)得 由(4),(5)可得)(500|0|0|tztytx)(6)(0)()(0tttzyx即 所以刚体稳定转动的必要条件有两个:外力距为零;初角速度沿惯量主轴的方向。k0 刚体转动稳定性所需考虑的还有其抗扰动的能力。若略有扰动刚体便失去平衡,那也算不得真正的稳定,因为小的干扰是不可避免的。下面我们讨论的是在满足上述稳定转动条件下,若刚体受到小的冲量距的干扰,使转动轴偏离原来的转动轴,这种偏离会不会变的越来越大,以至失去平衡。设刚体受干扰力矩作用后的角
3、速度为:的三个分量能否在任何时候均远小于 只有如此,转动才是稳定的。)(7)(0tk)(t0)得)代入(量。这样,将(阶小的乘积是可以忽略的二则小很多的条件满足,在任意时刻比若37,)(0zyxt从(8)的第三个方程得)(80)()(301320321zxyyxIIIIIII常数z将(8)的第一个方程对t求微商,并将第二个方程代入得:)(90)(20212313xxIIIIII212313)(IIIIIIk令如果k0,则(9)的解为 上式表明,只要扰动停止后 的值比 小很多,则 在以后的时刻里也可以保持很小。同理 若 ,可知 将随时间指数增加或线性增加,转动稳定性被破坏。)sin(0tkAxx0 x0kx 同理可讨论 所满足的方程为式中的 和(9)的相同,因此 和 的稳定性的条件相同。yxy020yykk 综上所述,若干扰停止时 均比 小得多,则当 时,即或时,转动是稳定的,否则就是不稳定的。换句话说,当原来的转动轴是最大或换句话说,当原来的转动轴是最大或最小惯量主轴时转动是稳定的。最小惯量主轴时转动是稳定的。zyx,和00k2313,IIII2313,IIII 关于刚体转动稳定性的讨论至此结束。谢谢观看。谢谢观看。参考书目:理论力学(金尚年,马永利 编著)