1、二次函数的基本概念 在一个变化过程中在一个变化过程中,如果有两个如果有两个变量变量x x与与y,y,并且对于并且对于x x的每一个确定的的每一个确定的值值,y,y都有唯一确定的值与其对应都有唯一确定的值与其对应,那么那么就说就说y y是是x x的函数的函数,x,x是是自变量自变量.函数函数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+by=kx+b(k0)(k0)(正比例函数正比例函数)y=kxy=kx (k0)(k0)y=(k0)y=(k0)k kx x函数函数:正方体六个面正方体六个面是全等的正方形是全等的正方形,设正设正方形棱长为方形棱长为 x,x,表面积为表面积为 y,y,则则 y y
2、 关于关于x x 的关系式的关系式为为.问题问题1:1:y=6xy=6x2 2 此式表示了正方体的表面此式表示了正方体的表面积积y y与棱长与棱长x x之间的关系之间的关系,对于对于x x的每一个值的每一个值,y,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y y是是x x的函数的函数.此式表示了多边形此式表示了多边形的对角线数的对角线数d d与与 边数边数n n之间的关系之间的关系,对于对于n n的的每一个值每一个值,d,d都有一个对应值都有一个对应值,即即d d是是n n的函数的函数.多边形的对角线数多边形的对角线数 d d 与边数与边数 n n 有什有什么关系？么关系？n n边形有个顶点边形有个
3、顶点,从从一个顶点出发一个顶点出发,连接与这点不连接与这点不相邻的各顶点相邻的各顶点,可作条可作条对角线对角线.因此因此,n,n边形的对角线边形的对角线总数总数 d=d=.n n(n(n3)3)问题问题2:2:n(nn(n3)3)1 12 2d=nd=n2 2 n n1 12 23 32 2即即:某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020件件,计划今后两年增加产量计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量如果每年都比上一年的产量增加增加x x倍倍,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定将随计划所定的的x x的值而确定的值而确定,y,y与与x
4、 x之间的关系怎样表示之间的关系怎样表示?问题问题3:3:这种产品的原产量是这种产品的原产量是2020件件,一年后的产量一年后的产量是是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即两年后的产量为即两年后的产量为:.y=20(1+x)y=20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 此式表示了两年后的产量此式表示了两年后的产量y y与计划与计划增产的倍数增产的倍数x x之间的关系之间的关系,对于对于x x的每一的每一个值个值,y,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y y是是x x的
5、函数的函数.即即:y=6xy=6x2 2y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20d=nd=n2 2 n n1 12 23 32 2观察下列函数有什么共同点观察下列函数有什么共同点:一般地一般地,形如形如 的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x,x是自变量是自变量,a a,b b,c c分别是函数表达式分别是函数表达式的的二次项系数二次项系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项.y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 函数都是用自变量函数都是用自变量的二次式表示的的二次式表示的.(a,b,c都是常数都是常数,且且a0)一般地一般地,形如形如的函数的函数,
6、叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项和常数项.(1)(1)等号左边是函数等号左边是函数y y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x x的的(3)(3)等式右边的最高次数为等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和，可以没有一次项和 常数项，但常数项，但不能没有二次项不能没有二次项.注意注意:(2)a,b,c(2)a,b,c为常数，且为常数，且(4)(4)自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是 整式整式a0.a0.2 2任意实数任意实数y=axy=ax2 2+b
7、x+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)二次函数的一般形式二次函数的一般形式:二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，时，y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时，y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时，y yaxax2 2y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)例例1 1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项常数项.(1)y=3(x (1)y=3(x1)
8、1)+1 (2)y=x+1 (2)y=x+(3)s=3 (3)s=32t2t (4)y=(x+3)(4)y=(x+3)x x (5)y=(5)y=x (6)v=r x (6)v=r 1x_x1_(7)y=x(7)y=x+x+25+x+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x(是是)(否否)(是是)(否否)(否否)(是是)(否否)(否否)(9)y=mx(9)y=mx+nx+p(m,n,p+nx+p(m,n,p为常数）为常数）3例例2.y=(m+3)x 2.y=(m+3)x (1)m(1)m取什么值时取什么值时,此函数是正比例函数此函数是正比例函数?(2)m(2)m取什么值时取什么值时,此函数是反
9、比例函数此函数是反比例函数?(3)m (3)m取什么值时取什么值时,此函数是二次函数此函数是二次函数?mm2 27 7看谁算得快看谁算得快!1.函数函数 是一次函数，求是一次函数，求k的值。的值。122)21(kkxky02.函数函数 是二次函数，是二次函数，求求m的值。的值。1)1(2mxxmymm23.函数函数 是二次函数，是二次函数，求求m的值的值mmxmmy2)(22例例3 3、用总长为、用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，场地的篱笆围成矩形场地，场地 面积面积S(mS(m)与矩形一边长与矩形一边长a(m)a(m)之间的关系是什之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？么？是
10、函数关系吗？是哪一种函数？解解:S是是 a 的二次函数。的二次函数。6022aSa(30)aa230aa a例例4.4.某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树但是如果多种树,那那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根根据经验估计据经验估计,每多种一棵树每多种一棵树,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子.(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x
11、 x棵橙子树棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子那么果园共有多少棵橙子 树树?这时平均每棵树结多少个橙子这时平均每棵树结多少个橙子?(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之之 间的关系式间的关系式.果园共有果园共有(100+x)(100+x)棵树棵树,平均每棵树结平均每棵树结(600(6005x)5x)个橙子个橙子y=(100+x)(600y=(100+x)(6005x)=5x)=5x5x+100 x+60000+100 x+60000练习练习:1.1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它 的表面积的表
12、面积 s s 与半径与半径 r r 之间的关系式之间的关系式.2.n2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行 一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 mm与球与球 队数队数 n n 之间的关系式之间的关系式.3.3.函数函数 y=(my=(mn)xn)x2 2+mx+n+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()()(A)m,n(A)m,n是常数是常数,且且m0 (B)m,nm0 (B)m,n是常数是常数,且且n0 n0 (C)m,n(C)m,n是常数是常数,且且mn (D)m,nmn (D)m,n为任何实数为任何实数4.4.圆的半径是圆的半径是1c
13、m,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm.(1).(1)写出写出y y与与x x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式；(2)(2)当圆的半径分别增加当圆的半径分别增加1cm,1cm,，2cm2cm时时,圆的面圆的面积增加多少积增加多少?2cm2cm如果函数如果函数y=+kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_如果函数如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_ 2 2k k-3 3k k+2 2x x02 2k k-3 3k k+2 2x x0或或3如果函数如果函数y=(k-3)+k
14、x+1 (x0)是一次是一次 函数函数,则则k的值一定是的值一定是_2 2k k-3 3k k+2 2x x3或或1或或2253或拓展与提高拓展与提高回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.其中其中,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),
15、a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+cax+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最高次的最高次数是二次数是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.在一个变化过程中在一个变化过程中,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y,y,并且并且对于对于x x的每一个
16、确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一确定的值与其对应都有唯一确定的值与其对应,那么就说那么就说y y是是x x的函数的函数,x,x是自变量是自变量.二次函数二次函数函数函数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+by=kx+b(k0)(k0)(正比例函数正比例函数)y=kxy=kx (k0)(k0)y=(k0)y=(k0)k kx x函数函数:函数及函数的类型函数及函数的类型:y=ax+bx+c 1、将进货单价为、将进货单价为40元的商品按元的商品按50元卖出时元卖出时,就就能卖出能卖出500个个,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1元元,其销售量其销售量就会减少就会减少10个个,设售价定为设售价定为X元元(x50)时的利时的利润为润为Y元。试求出元。试求出Y与与X的函数关系式，并按的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为所求的函数关系式计算出售定价为80元时所元时所得利润得利润、二次函数 ，当x=0时，y=-2；当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。2yaxc课后巩固课后巩固
