1、2 开集、闭集、完备集开集、闭集、完备集定义定义.若点集若点集 E 的点都是它的的点都是它的内点内点,则称则称 E 为为开集开集。例如，在平面上例如，在平面上(,)0 x yxy41),(22yxyx开集开集 xyoxyo21 由定义可见由定义可见,点集点集 E 是开集的充要条件是是开集的充要条件是,E 中每一中每一点都存在一个邻域包含在点都存在一个邻域包含在E中中。由由E的内点全体所成的集称为的内点全体所成的集称为E的内部的内部,记为记为 .E显然显然E的内部的内部 是开集是开集.E此外此外,整个空间整个空间Rn与空集与空集 也是开集也是开集.E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的
2、的边界边界,记作记作 E;由闭集的定义不难看出：由闭集的定义不难看出：点集点集 E 为闭集的充要条件是为闭集的充要条件是E E.E为开集的充要条件是为开集的充要条件是 .EE无外壳者是开集无外壳者是开集有外壳者是闭集有外壳者是闭集(,)0 x yxy41),(22yxyx闭集闭集xyoxyo21例如，在平面上例如，在平面上包含包含E 的最小闭集称为的最小闭集称为E 的闭包的闭包,记为记为 。EEEE1:1,2,Enn可以证明可以证明E 例如，例如，R1的点集的点集E 01 11,02 2EE定理定理1.(1)恒为开集。恒为开集。E(2)整个空间整个空间Rn与空集与空集 是开集。是开集。定理定理
3、2.(1)恒为闭集。恒为闭集。,E E(2)整个空间整个空间Rn与空集与空集 是闭集。是闭集。证明：证明：只证明只证明(1)。若若E是有限集，则是有限集，则E没有聚点没有聚点,所以是闭集所以是闭集.若若E是无限集是无限集,设设x0是是E的一个聚点的一个聚点,则对于则对于x0的任的任意邻域意邻域N(x0),都含有都含有E中异于中异于x0 的点的点x,即即xN(x0)是是E的一个聚点的一个聚点,从而从而N(x0)含有含有E的无穷多个点的无穷多个点,因而因而x0也是也是E的一个聚点的一个聚点,所以所以x0 E。因此。因此E包含自己的导集，从包含自己的导集，从而而E是闭集是闭集.()EEE 因因 ,故
4、故EEE()EE EEEE这就证明了这就证明了 是闭集。是闭集。EQ.E.D.定理定理3.(1)E为开集的充要条件是为开集的充要条件是 E=Eo。充分性得证。充分性得证。(2)E为闭集的充要条件是为闭集的充要条件是 。EE证明：证明：(1)显然。显然。(2)若若 ,则由定理则由定理2知知,E为闭集。为闭集。EE若若E为闭集为闭集,则则E E,从而从而 EEEEEEQ.E.D.定理定理4.设设 E为空间为空间Rn的子集。则的子集。则E为闭集当且仅为闭集当且仅当当Ec=Rn-E为开集为开集.证明：证明：必要性。设必要性。设E为闭集。为闭集。任取任取 x0 Ec=Rn E,则则x0 E。又因。又因E
5、为闭集为闭集,所所以以x0不是不是E的聚点。从而存在的聚点。从而存在x0的一个邻域的一个邻域N(x0,)只含只含 有有E中有限个点：中有限个点：x1,x2,xk。因。因x0 E,故这故这k个点异个点异于于x0。01min(,)ii kx x 则则0。再由。再由的取法，的取法，N(x0,)E=,即即N(x0,)EcEc=Rn-E是开集是开集.令令 设设Ec 为开集为开集.则对任意则对任意 x0Ec,存在存在x0 的一个邻域的一个邻域N(x0,),使得使得N(x0,)Ec.即即N(x0,)中没有中没有E中的点中的点,因此因此x0 不是不是E 的聚点的聚点.这表明这表明E 的聚点全部在的聚点全部在E
6、 中中,即即E E.因此因此E为闭集为闭集.充分性。充分性。设设Ec=Rn-E为开集。为开集。定理定理5 (开集的基本性质开集的基本性质)开集具有如下的性质开集具有如下的性质:(i)任意个开集的并集是开集任意个开集的并集是开集.(ii)有限个开集的交集是开集有限个开集的交集是开集.证明证明:0 xA(i)设设 是任意一族开集是任意一族开集.任取任取,A证明存在证明存在x0的一个邻域的一个邻域 包含在包含在 中即可中即可.0(,)N xA01kiixA(ii)设设A1,A2,Ak 是是k个开集个开集.任取任取证明存在证明存在x0的一个邻域的一个邻域 包含在包含在 中即可中即可.0(,)N x1k
7、iiAQ.E.D.定理定理7 (闭集的基本性质闭集的基本性质)闭集具有如下的性质闭集具有如下的性质:(i)任意个闭集的交集是闭集任意个闭集的交集是闭集.(ii)有限个闭集的并集是闭集有限个闭集的并集是闭集.由由De Morgan 公式公式,得得注意注意,任意个开集的交集不一定是开集任意个开集的交集不一定是开集.Q.E.D.定理定理9 若若E是是Rn中的开集中的开集,F是是Rn中的闭集中的闭集,则则E-F是开集是开集,F-E是闭集。是闭集。证明：证明：E-F=EF cF-E=FE cQ.E.D.定理定理10 (Borel有限覆盖定理有限覆盖定理)设设F是一有界闭集，是一有界闭集，被一族开集被一族
8、开集 所覆盖所覆盖(即即 ),则总可以从这则总可以从这族开集中选出有限多个开集族开集中选出有限多个开集U1,U2,Um,来覆盖来覆盖F，即，即 UFU1.miiFU证明：证明：略。略。Q.E.F.例：例：Cantor 集集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集Cantor(三分三分)集集.(1)第一次去掉的开区间是第一次去掉的开区间是(1)11 2(,)3 3J在闭区间在闭区间0,1中中20个开区间个开区间(2)第二次去掉的开区间是第二次去掉的开区间是(1)22212(,),33J22(2)222227832 31(,)(,)3333J-21个开区
9、间个开区间(3)第三次去掉的开区间是第三次去掉的开区间是(1)(2)3333331278(,),(,),3333JJ.33(3)(4)3333333318 1925 2632 31(,),(,)(,)333333JJ-22个开区间个开区间(n)第第n次去掉的开区间是次去掉的开区间是(1)(2)1278(,),(,),3333nnnnnnJJ1(2)332 31(,)33nnnnnJ-2n-1个开区间个开区间记记(1)(1)(2)(1)(2)(3)(4)1223333()()GJJJJJJJ1(1)(2)(2)()nnnnJJJ-则则Cantor 集集0,10,1,cEGG-.cGRG-其中开集
10、开集132232323123nn-闭集闭集G的长度的长度21231222()3333nnL G-1E的长度的长度()(0,1)()1 10L ELL G-注：注：第一次次去掉开区间第一次次去掉开区间 后剩下的闭区间后剩下的闭区间(1)11 2(,)3 3J(1)110,3I(1)2210,3I21个闭区间个闭区间(2)12,13I第二次去掉开区间第二次去掉开区间 后剩下的闭区间后剩下的闭区间(1)(2)2222221278(,),(,)3333JJ(2)22223,33I(3)22267,33I(4)228,1,3I22个闭区间个闭区间记记(1)(2)111120,133EII(1)(2)(3
11、)(4)22222EIIII222212 12 780,13333 33()11()3kL I每个闭区间长度每个闭区间长度()221()3kL I每个闭区间长度每个闭区间长度则则E也可表示为也可表示为 1kkEE1o Cantor 集集E是一非空闭集是一非空闭集,即即E E.结论结论:2o Cantor 集集E是一自密集是一自密集,即即E E.3o Cantor 集集E是一完备集是一完备集,即即E=E.一个集合一个集合A,如果它的闭包不包含任何邻域如果它的闭包不包含任何邻域,则称为则称为是是无处稠密的无处稠密的(这时也称这时也称A为为疏朗集疏朗集、离散集离散集)。4o Cantor 集集E是一
12、是一疏朗疏朗集集.5o Cantor 集集E具有连续统基数具有连续统基数,即它是不可即它是不可 数的数的.6o Cantor 集集E是一是一零测度集零测度集.一个集合一个集合A是疏朗集当且仅当其内部是疏朗集当且仅当其内部Ao=。证明：证明：1o 前已证前已证.2o 由由Cantor 集的定义集的定义,在第在第n次删除次删除2n-1个开区间后个开区间后,(1)(2)(2),nnnnIII13n其长度都为其长度都为 .剩下的剩下的2n个闭区间个闭区间于是于是00()01,0,3knnxEnxI 存在自然数使得且 属于某个000()()(12).(,).nkknnkIN xIE 从而 因的两个端点都
13、是 的(,).N xxExEEE-点，故 因此 所以。3o 由由1o和和2o即得即得.4o 为证为证E是疏朗集是疏朗集,只需证明只需证明Eo=.001,0,3nxEn 设取自然数足够大 使得。由000123nnnEx于是个互不相交的长度为的闭区间的并，故 的0-(,)(,)nN xxxE-邻域必含有不属于的点。于是(,)N xExE更加快含有不属于 的点。因此,不是 的内点。,EEo这就表明所以 是疏朗集。5o Cantor 集集E具有连续统基数具有连续统基数,不证。可参看不证。可参看那那汤松著实变函数论汤松著实变函数论.6o Cantor 集集E是一是一零测度集零测度集.构造构造Cantor
14、 集集E时从时从0,1中去掉的那些开区间的长中去掉的那些开区间的长度之和为度之和为1.Q.E.D.我们已知我们已知,任意个开集的并集是开集任意个开集的并集是开集,但任意个开但任意个开集的交集未必是开集集的交集未必是开集;任意个闭集的交集是闭集任意个闭集的交集是闭集,但任意但任意个闭集的并集是未必是闭集。于是我们给出如下定义个闭集的并集是未必是闭集。于是我们给出如下定义定义定义 可数个闭集的并集可数个闭集的并集,称为称为F-型集型集.可数个开集的交集可数个开集的交集,称为称为G-型集型集.注：注：F-型集未必是闭集型集未必是闭集,G-型集未必是开集型集未必是开集.Borel集集 开集和闭集是开集
15、和闭集是Rn中的常见的集中的常见的集.但但Rn中有一些中有一些常见的集常见的集,它们既不是开集它们既不是开集,也不是闭集也不是闭集.例如例如,可数个开集可数个开集的交不一定是开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集可数个闭集的并不一定是闭集.下面我下面我们要考虑的们要考虑的Borel 集就包含了这类集集就包含了这类集,并且并且Borel 集类对一集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭切有限或可数并、交、余和差运算都封闭.定义定义.以开集、闭集为对象以开集、闭集为对象,作至多可数次并或交的运算作至多可数次并或交的运算所得到的集统称为所得到的集统称为Borel集集Rn中所有中所有Bo
16、rel集所成之集类为集所成之集类为Bn。今后当没有必要指明空间维数或空间维数不指即明时，今后当没有必要指明空间维数或空间维数不指即明时，Bn 也可简记为也可简记为B定理定理11.Rn中的中的Borel集类是一个集类是一个-代数。代数。为为Rn中的中的开方体开方体(或或开区间开区间),记为记为(a,b).类似可定义类似可定义Rn中的其它类型的方体中的其它类型的方体.在直线在直线R1和平和平面面R2中方体分别就是区间和矩形中方体分别就是区间和矩形.定理定理12 Rn中所有的开集中所有的开集,闭集闭集,有限集或可数集有限集或可数集,各种类型的方体都是各种类型的方体都是Borel 集集.证明证明 由定
17、义即知开集是由定义即知开集是Borel 集集.由于由于Borel 集类对集类对余运算封闭余运算封闭,而闭集是开集的余集而闭集是开集的余集,故故闭集是闭集是Borel集集.因因为单点集为单点集a是闭集是闭集,所以所以单点集是单点集是Borel集集.由于有限集由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并,而而Borel 集类对有限并或可数并封闭集类对有限并或可数并封闭,所以所以有限集或可数集是有限集或可数集是Borel 集集.由于开方体是开集由于开方体是开集,闭方体是闭集闭方体是闭集,因此因此开方体开方体和闭方体是和闭方体是Borel 集集.往证半开半
18、闭方体是往证半开半闭方体是Borel 集集.为为简单计简单计,不妨只考虑直线上的情形不妨只考虑直线上的情形.由于等式由于等式 和和Borel 集类对可数交运算的封闭性集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间即知半开半闭区间(a,b是是Borel 集集.类似可证明其它类型的半开半闭区间都类似可证明其它类型的半开半闭区间都是是Borel 集集.注：注：特别地特别地,由于有理数集是可数集由于有理数集是可数集,而无理数集是而无理数集是有理数集的余集有理数集的余集,由定理由定理12 知道知道,有理数集和无理数集有理数集和无理数集都是都是Borel 集集.显然型集和型集都是显然型集和型集都是Borel 集集.
