1、2.2.2椭圆的简单几何性质（椭圆的简单几何性质（3）怎么判断它们之间的位置关系？怎么判断它们之间的位置关系？问题问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？drd00=0几何法：几何法：代数法：代数法：问题问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题问题2：椭圆与直线的位置关系？：椭圆与直线的位置关系？不能！不能！所以只能用代数法所以只能用代数法-求解直线与二次曲线有关问题的通法求解直线与二次曲线有关问题的通法因为他们不像圆一样有统一的半径。因为他们不像圆一样有统一的半径。一.直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+
2、p=0（m 0）Ax+By+C=0由方程组：由方程组：0相交相交方程组有两解方程组有两解两个交点两个交点代数法代数法=n2-4mp22221xyab 这是求解直线与二这是求解直线与二次曲线有关问题的次曲线有关问题的通法通法。例例1.已知直线已知直线y=x-与椭圆与椭圆x2+4y2=2，判断它们，判断它们的位置关系。的位置关系。2112yxx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx=360，因为因为所以方程（）有两个根，所以方程（）有两个根，变式变式1：交点坐标是什么？：交点坐标是什么？弦长公式：弦长公式：则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)22121214
3、)kxxxx （2121|ABk xx 所以该直线与椭圆相交所以该直线与椭圆相交.变式变式2：相交所得的弦的弦长是多少？：相交所得的弦的弦长是多少？117(1,),(,)2510AB 由韦达定理由韦达定理12124515xxxx k表示弦的斜率，表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标表示弦的端点坐标题型一：公共点问题题型一：公共点问题256AB例例2：判断直线：判断直线kx-y+3=0与椭圆与椭圆 的的 位置关系位置关系141622yx题型一：公共点问题题型一：公共点问题时，相离，即时，相切或，即时，相交或即由解4545-0)3(45450)2(4545,0)1(51616020241414
4、163:22222kkkkkkkxxxyxkxy例例3：直线：直线y=kx+1(kR)与椭圆与椭圆 恒有公共点恒有公共点,求求m的取值范围。的取值范围。1522 myx题型一：公共点问题题型一：公共点问题221:15ykxxym解22(5)10550mkxkxm 22104(5)550kmkm（）（）22(51)0mkm51501515122mmmmmkmkm且所以且又恒成立得由即lmm题型一：公共点问题题型一：公共点问题 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考：最大的距离是多少？2214-5400.259 xylxyl例
5、3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线 的距离最小？最小距离是多少？max22402565414145d题型一：公共点问题题型一：公共点问题 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，两点，直线直线AB的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：知识点知识点2：弦长公式：弦长公式适用于任意二次曲线）（）（21221221221241141yyyykxxxxkAB例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线l过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长题型二：弦长问题题型二：弦长问题222:4,1,3.abc解 由椭圆
6、方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122(,),(,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85题型二：弦长问题题型二：弦长问题例例 2 2:已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 解解法法一一韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例1、已知椭圆、已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此
7、弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.141622yx点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例1、已知椭圆、已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.141622yx例例2、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点，AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2
8、 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b=4-4(abab1122(,),(,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22()4bbabab12,33ab ，求此椭圆方程。的横坐标为所得椭圆的弦的中点截直线的椭圆和、焦点分别为例212325,025,03xy明理由。的方程；若不存在，说出直线？若存在，求的距离等于与有公共点，且直线与椭圆，使得直线的直线）是否存在平行于（的方程；）求椭圆（为其右焦点，
9、且点经过点的椭圆已知中心在坐标原点福建、例llOACllOACFACO4210,23,2)2010(43、中点弦问题中点弦问题的两种处理方法：的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率（点差法（点差法）1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适用于任何二次曲线）（适用于任何二次曲线）21212411yyyyk ）（21221241
10、xxxxk ）（小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例1、已知椭圆、已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点
11、被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.141622yx知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出差构造出中点坐标中点坐标和和斜率斜率112200(,),(,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122(,),(,)A x yB xy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即
12、2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 练习练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0 B、x+2y-4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线，则弦长则弦长|
13、AB|=_ ,DC193622yx1522myx165练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点 的弦所在的直线方程的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的
14、右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122(,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得：（）（）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:59140 xy12:(2,0),
15、(2,0)FF解 椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000(1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求椭圆方程为：xy122yxbyxm 分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb 则两点的直线可设为：:2,yxmA B解 假设椭圆上存在关于直线对称的两点1122(,),(,)A x yB xy设两对称点121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由22:30y
16、xbxb消 得2224(3)3120bbb 22b 12xxb练习练习1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有有两个公共点两个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?练习练习2.无论无论k为何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点22194xy D题型一：直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆的位置关系6k366kk-3366-k0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxx x 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线
