1、 第 14 炼 函数的切线问题专项训练 1、求函数 32 x f xex在1x 处的切线方程 解、 1fe 切点坐标为1,e 33231 xxx fxexexe 14fe 切线方程为、4143yee xyexe 2、已知函数 ln2f xxx，则、 （1）在曲线 f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线420xy平行 （2）在曲线 f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线30xy垂直 解、 （1）思路、切点未知，考虑设切点坐标为 00 ,x y，再利用平行条件求出 0 x，进而求出切线方程 设切点坐标为 00 ,x y 0 0 1 2fx x 由切线与420xy平行可得、 00 0 11
2、24 2 fxx x 0 11 ln1 22 yf 切线方程为、 1 1ln244ln21 2 yxyx （2）设切点坐标 00 ,x y 0 0 1 2fx x ，直线30xy的斜率为1 00 0 11 21 3 fxx x 而 0 0,x 0 1 3 x 不在定义域中，舍去 不存在一点，使得该点处的切线与直线30xy垂直 3、函数 2 lnf xaxbx上一点 2,2Pf处的切线方程为32ln22yx ，求, a b的值 解、P在32ln22yx 上， 23 22ln222ln24f 2ln242ln24fab 又因为P处的切线斜率为3 2 a fxbx x 243 2 a fb ln24
3、2ln24 2 143 2 ab a a bb 4、曲线 x ye在点 2 2,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A. 2 e B. 2 2e C. 2 4e D. 2 2 e 解析、 x fxe 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 2 2fe所以切线方程为、 22 2yeex即 22 0e xye， 与两坐标轴的交点坐标为 2 1,00, e 2 2 1 1 22 e Se 答案、D 5、一点P在曲线 3 2 3 yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( ) A.0, 2 B. 3 0, 24 C. 3 , 4 D. 3 , 24
4、解析、倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。 2 31yx，对于曲线上任意一点P， 斜率的范围即为导函数的值域、 2 =311,yx ，所以倾斜角的范围是 3 0, 24 答案、B 6、求过点2,8A，且与曲线 3 f xx相切的直线方程 解、 （1）当2,8A为切点时 2 3fxx 212f 切线方程为、81221216yxyx （2）当2,8A不是切点时，设切点 00 ,P x y 0 2x ，切线斜率为k 3 00 2 0 0 0 3 8 2 yx kx y k x ，消去 0 , k y可得、 3 2 0 0 0 8 3 2 x x x 而 32 0000 8224xxxx
5、 0 2x 方程等价于、 222 00000 32420xxxxx 解得、 0 2x （舍） ， 0 1x 0 1,3yk 切线方程为13132yxyx 综上所述、切线方程为1216yx或32yx 7、设函数 32 910f xxaxxa，若曲线 yf x的斜率最小的切线与直线126xy平 行，求a的值 解、 2 22222 21111 3293939 39333 fxxaxxaaaxaa 2 min 11 9 33 fxfaa 直线126xy的斜率为12，依题意可得、 2 1 9123 3 aa 0a 3a 8、若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切,
6、则a等于( ) A.1或 25 64 B. 1或 21 4 C. 7 4 或 25 64 D. 7 4 或7 解析、本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 2 15 9 4 yaxx含有参数，所以考虑先从常系数的曲 线 3 yx入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线 2 15 9 4 yaxx求出a的值。设过1,0的直 线与曲线 3 yx切于点 3 00 ,x x ,切线方程为 32 000 3yxxxx，即 23 00 32yx xx，因为1,0在 切线上，所以解得、 0 0x 或 0 3 2 x ，即切点坐标为0,0或 3 27 , 28 .当切点0,0时，由0y 与 2 15 9 4 y
7、axx相切可得 2 1525 490 464 aa ，同理，切点为 3 27 , 28 解得1a 答案、A 9、已知函数 3 23f xxx，若过点1,Pt存在 3 条直线与曲线 yf x相切，求t的取值范围 解、设切点坐标 00 ,xy，切线斜率为k，则有、 3 000 2 00 23 63 yxx kfxx 切线方程为、 32 0000 2363yxxxxx 因为切线过1,Pt，所以将1,Pt代入直线方程可得、 32 0000 2363 1txxxx 23 0000 63 123txxxx 23332 0000000 636323463xxxxxxx 所以问题等价于方程 32 00 463
8、txx ，令 32 463g xxx 即直线yt与 32 463g xxx 有三个不同交点 2 1212121gxxxx x 令 0gx 解得01x 所以 g x在 ,0 , 1,单调递减，在0,1单调递增 11,03g xgg xg 极大值极小值 所以若有三个交点，则3, 1t 所以当3, 1t 时，过点1,Pt存在 3 条直线与曲线 yf x相切 10、已知曲线 2 :C xy，点P在抛物线上且P的横坐标为1，过P作斜率为0k k 的直线交C于 另一点Q，交x轴于M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直 线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理
9、由。 解、由P在抛物线上，且P的横坐标为 1 可解得1,1P 设:11PQ yk x 化简可得、1ykxk 1,0k M k 2 1 yx ykxk 消去y、 2 10xkxk 12 1,1xxk 2 1,1Q kk 设直线 21 :11QNykxk k 即 21 11ykxk k 联立方程、 2 21 11 yx ykxk k 2 11 110xxkk kk 11 111 QNN xxkkxk kk 2 11 1,1Nkk kk 由 2 yx可得、 2yx 切线MN的斜率 1 |21 N MNxx kyk k 2 111 :1211MNykkxk kkk 代入 1 ,0 k M k 得、 2
10、 1111 12111kkk kkkk 2 1 1210kkkk k 15 2 k 11、设函数 2 fxg xx，曲线 yg x在点 1,1g处的切线方程为21yx，则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为_ 答案、4yx 解析、由切线过 1,1g可得、 13g，所以 2 1114fg，另一方面， 12g，且 2fxg xx，所以 1124fg，从而切线方程为、4414yxyx 12、已知直线1ykx与曲线 3 yxaxb切于点(1,3)，则b的值为_ 答案、3b 解析、代入(1,3)可得、2k ， 2 3fxxa，所以有 113 132 fab fa ，解得 1 3 a b 13、若曲
11、线 2 1 xyC：与曲线 x aeyC： 2 存在公切线，则a的最值情况为（ ） A最大值为 2 8 e B最大值为 2 4 e C最小值为 2 8 e D最小值为 2 4 e 答案、B 解析、设公切线与曲线 1 C切于点 2 11 ,x x，与曲线 2 C切于点 2 2, x x ae，由 2 x yx yae 可得、 2 2 2 1 1 21 2 x x aex xae xx ， 所 以 有 2 2 11 112 21 1 2 222 2 x xx xxx xx xae ， 所 以 2 2 44 x aex， 即 2 2 41 x x a e ，设 41 x x f x e ，则 4 2
12、 x x fx e 。可知 f x在1,2单调递增，在2, 单调递减，所以 max 2 4 2af e 14、已知曲线lnyxx在点1,1处的切线与曲线 2 21yaxax相切，则a _ 答案、8 解 析 、 1 1y x ， 所 以 1 |2 x y ， 切 线 方 程 为12121yxyx， 联 立 方 程 2 2 21 20 21 yx axax yaxax ，从而由相切可得、 2 808aaa 15、设曲线 x ye在点0,1处的切线与曲线 1 0yx x 上点P处的切线垂直，则P的坐标为 _ 答案、1,1 解析、 x ye的导数 x ye， 所以 0 |1 x ky ， 故P处的切线
13、斜率为1， 设切点 00 ,P x y， 由 1 y x 的导数 2 1 y x ，可得、 0 2 0 1 11x x ，则 0 0 1 1y x ，即P点坐标1,1 16、曲线 5 2 x ye在点0,3处的切线方程为_ 答案、53yx 解析、 5 5 x ye ，所以 0 |5 x y ，则切线方程为、3553yxyx 17、若曲线 x ye上点P处的切线平行于直线210xy ，则点P的坐标为_ 答案、ln2,2 解析、 x ye ，因切点坐标未知，故设 00 ,P x y，由切线与210xy 平行可知切线斜率为2， 即 0 0 | 2 x x x ye ，解得、 0 ln2x ，所以 l
14、n2 0 2ye ，即P点坐标ln2,2 18、已知函数 lnx f x x ，则过原点且与函数 f x图像相切的直线方程为_ 答案、 1 2 yx e 解析、设切点坐标为 00 ,x y，切线的斜率为k，因为 2 1ln x fx x 0 20 02 0 00 000 22 000 20 00 0 1ln 1ln ln1ln ln ln x k x kx x xx ykxxe xxx k x yx x 1 2 k e 所以切线方程为、 1 2 yx e 19、已知函数 2 1 2 x fxexax aR，若函数 f x的图像在0x 处的切线方程为 2yxb，则a _,b_ 答案、1,1ab 解析、将0x 代入到直线方程可得切点坐标为0,b 01bf 直线方程为21yx x fxexa 0121faa 1,1ab
