1、 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（第第2课时）课时）重点、难点：重点、难点：垂径定理及其推论的应用垂径定理及其推论的应用垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.老师提示老师提示:垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为垂足为E若若
2、AB=8，AO=5则，则，OE=，DE=。思路指导：思路指导：求圆中有关线段的长度时求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定常借助垂径定理转化为直角三角形理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题从而利用勾股定理来解决问题.BCOAED.例例1、BCOAED.如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E若若AB=16，OE=6则，则，AO=，DE=。变式变式1：如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E若若OE=5，AO=13则，则，AB=，DE=。BCOAED.变式变式2：C如图，如图，AB
3、是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E若若DE=8，AO=20则，则，OE=，AB=。BCOAED.变式变式3：如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为垂足为E若若OE=9，DE=6则，则，AO=，AB=。BCOAED.变式变式4：如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E若若AB=40，DE=10，则，则OE=，AO=。BCOAED.变式变式5：小结：在圆的半径，弦长，小结：在圆的半径，弦长，弦心距及拱高四个量中，只弦心距及拱高四个量中，只要已知两个量，我们
4、就可以要已知两个量，我们就可以借助勾股定理求出另外的两借助勾股定理求出另外的两个量。个量。E例例2已知：如图，在以已知：如图，在以O为为圆心的两个同心圆中，大圆的圆心的两个同心圆中，大圆的弦弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。.ACDBO垂径定理的应用垂径定理的应用讲解讲解图图解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连结半径连结半径；过过圆心作一条与弦垂直的线段圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。方法归纳：方法归纳：变式变式1：如图：如图：OA=OB，AC=BD吗？为什么？吗？为什么？.ACDBO图图如图
5、：如图：OA=OB，AC=BD吗？为什么？吗？为什么？ACDBO图图已知已知O O的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，则，则ABAB和和CDCD的距离为的距离为 2 2或或1414提高练习提高练习:.O.OADCBABCD解：解：（1）AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已知）OC AB(如果圆的直径平分弧，那么这如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）条直径垂直这条弧所对的弦）ADO=90 OAB+AOC=90 OAB=90-35=55 例一例一 、如图所示，如图所示，C是是AB的中点，的中点，OC交交AB于点于点D，
6、AOC=35 ,AD=16cm 求（求（1）OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABCDO(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦这条弧所对的弦)解：解：（2）AC=CB，CD经过圆心经过圆心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cm 例一例一 、如图所示，如图所示，O是圆心是圆心,C是是AB的中点，的中点，OC交交AB于点于点D，AOC=35 ,AD=16cm 求（求（1）OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABCDO达标检测达标检测一、填空一、填空1、已知、已知AB、CD是是 O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且A
7、B把把CD分成分成3cm和和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为的两部分，则弦和圆心的距离为_cm.2、已知、已知 O的半径为的半径为10cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则则弦弦MN和和EF之间的距离为之间的距离为_3、已知、已知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的，则此圆的半径为半径为_4、在半径为、在半径为25cm的的 O中，弦中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是中点的距离是_5、O的直径的直径AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=_14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm挑战自我挑战自我 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题用方程的思想来解决问题.随堂练习随堂练习n3、对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、n 圆半径圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要已知其中，这四个量中，只要已知其中n 任意两个量，就可以求出另外两个量，有：任意两个量，就可以求出另外两个量，有：d+h=r222)2(adr
