1、4.2 指数函数及其性质（一）指数函数及其性质（一）问题问题1：某种细胞分裂时某种细胞分裂时,由由1个分裂为个分裂为2个个,2个分为个分为4个个,一个这样的细胞分裂一个这样的细胞分裂x次后次后，得到的细胞的个得到的细胞的个数数y与与x的函数关系的函数关系式式是是什么？什么？xy2问题问题2:有一根有一根1米长的绳子米长的绳子,第一次剪去绳长一半第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半第二次再剪去剩余绳子的一半,剪了剪了x次后绳次后绳子剩余的长度为子剩余的长度为y米米,试写出试写出y与与x之间的函数关系之间的函数关系.xy)21(以上两个实例得到的函数：以上两个实例得到的函数：(1)2xy
2、 1(2)()2xy 定义域：定义域：*|x xN 定义域：定义域：*|x xN 两个的共同形式：两个的共同形式：xya 思考：思考：对于怎样的对于怎样的,xaya 是一个函数是一个函数,且定义域且定义域R.阅读教材第阅读教材第55页，页，指数函数是如何定义的？指数函数是如何定义的？一、一、定义定义:函数函数 叫指数函数叫指数函数，其中其中x是自变量，是自变量，函数的定义域是函数的定义域是R.；恒等于0 xa.无意义xaxya)(01aa ，且且.01可以是任意实数的前提下，所以在底数到有理数和无理数，因为指数概念已经扩充定义域：）（xa 说明：说明：(2)想一想：想一想：为什么要规定底数为什
3、么要规定底数 a 0 且且 a1 呢？呢？如果如果 a=0，当当x0时，时，当当x0时，时，.2141)4(0数值不存在等等，在实数范围内函，这时对于，例如若xxyax.111有研究的必要是一个常量，则对它没，若xya.10aa且，所以规定为了避免上述各种情况(3)(01).xyaaa指指数数函函数数严严格格限限定定，且且这这一一结结构构答答:(1)，(5)，(9)是指数函数；是指数函数；11(8)().44x是是指指数数函函数数与与的的和和 1(9)(21)(,1).2xyaaa 且且问下列函数是指数函数吗？问下列函数是指数函数吗？4(1)4;(2);(3)4;(4)(4);xxxyyxyy
4、 211(5);(6)4;(7);(8)();44xxxxyyyxy 解：解：2.a y=(a23a+3)ax是指数函数，是指数函数，2331aa01aa且且 例例1.函数函数y(a23a3)ax是指数函数，是指数函数，求求a的值，并写出这个指数函数的值，并写出这个指数函数0,1aa且且12aa或或即即故所求故所求指数函数为：指数函数为：2.xy (01)xyaaa指指数数函函数数且且的的图图象象和和性性质质12().2xxyy先先画画出出函函数数，的的图图象象下面研究：下面研究：2xy 2xy .1()2xy 12xy 13().3xxyy再再画画出出函函数数，的的图图象象2xy 1()2x
5、y 1()3xy 3xy 2xy 1.6xy 0.7xy 1.60.7.xxyy同同样样还还可可以以画画出出函函数数，等等的的图图象象3xy 1()2xy 1()3xy (01)xyaaa指指数数函函数数且且的的图图象象和和性性质质下面研究：下面研究：2xy 1.6xy 0.7xy 3xy 1()2xy 1()3xy （5）当）当 x0 时，时，y1；当当 x0 时，时，0y0 时，时，0y1；当当 x1.（2）值域：）值域：(0,+)(7)底数底数 a 越大，函数图象在越大，函数图象在 y 轴右侧部分越远离轴右侧部分越远离 x 轴正轴正半轴半轴.即即12.xxaa 当当 a1a2,x0 时，
6、时，2xy 1.6xy 0.7xy 3xy 1()2xy 1()3xy 思考思考 如图如图B1例例2比较下列各题中两个值的大小：比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.71.7，；0.10.2(2)0.80.8 ，；0.810.92107(3)()()107，；0.33.1(4)1.70.9.，解：解：(1)1.71，是增函数，xy7.12.53 又又2.531.71.7.(2)00.81 ，是减函数，xy8.00.20.1 又又0.10.20.80.8 0.10.20.80.8.0.810.92107(3)()()107，；解：解：0.810.81107()()107 ，1017 且且
7、，.)710(是增函数xy 92.081.0又0.810.921010()()77，0.810.92107()().107 即即0.33.1(4)1.70.9.，解：解：由指数函数的性质知由指数函数的性质知3.07.107.1，11.39.009.0，1.9.07.11.33.0利用指数函数性质比较幂的大小要注意三点：利用指数函数性质比较幂的大小要注意三点：说说 明：明：或利用性质：底数或利用性质：底数 a 越大，函数图象在越大，函数图象在 y 轴右侧部分越远离轴右侧部分越远离 x 轴正轴正半轴半轴.1133521(1)3,9,();3 解：解：1135(1)3,9 253,321()3 125(3)323,235231 又又，是增函数是增函数xy3 123352333,113352139().3 即即10.20.732(2)1.5,1.3,().3 例例1比较下列各题中两个值的大小：比较下列各题中两个值的大小：10.20.732(2)1.5,1.3,().3 2()3xyR 函函数数在在上上是是减减函函数数，1.1.10.20.732()1.51.3.3 故故0.2(2)1.5 0.232（）1523（），11035又又，113522()()3302()301.30.71.3又又
