1、3.1.3空间向量的数量积运算问题问题引航引航1.1.空间向量的夹角是如何定义的空间向量的夹角是如何定义的?空间向量的数量空间向量的数量积及性质有哪些积及性质有哪些?2.2.如何利用空间向量的数量积及性质解决空间几如何利用空间向量的数量积及性质解决空间几何中的线线、线面的位置关系问题何中的线线、线面的位置关系问题?1.1.空间向量的夹角空间向量的夹角非零非零AOB AOB 0,0,互相垂直互相垂直ab2.2.空间向量的数量积空间向量的数量积(1)(1)定义定义:已知两个非零向量已知两个非零向量a,b,则则_叫做叫做a与与b的数量积的数量积,记作记作ab.即即ab=_.=_.|a|b|cos|c
2、os|a|b|cos|cos(2)(2)数量积的运算律数量积的运算律:数乘向量与数数乘向量与数量积的结合律量积的结合律(a)b=_=_=a(_)(_)交换律交换律ab=_=_分配律分配律a(b+c)=_)=_abbbaab+ac(3)(3)空间两向量的数量积的性质空间两向量的数量积的性质向量数量向量数量积的性质积的性质垂直垂直若若a,b是非零向量是非零向量,则则abab=0.=0.共线共线同向同向:则则ab=|=|a|b|反向反向:则则ab=-|=-|a|b|模模aa=_=|=_=|a|2 2|a|=|=|ab|a|b|夹角夹角为为a,b的夹角的夹角,则则cos=_cos=_|a|a|cos|
3、cos a aa ba b1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”,错误的打错误的打“”)(1)(1)若若ab=0,=0,则则a=0或或b=0.(.()(2)(2)与与(a,b)(a,b)都表示直角坐标系下的点都表示直角坐标系下的点.(.()(3)(3)若若a,b均为非零向量均为非零向量,则则ab=|=|a|b|是是a与与b共线的充要条共线的充要条件件.(.()(4)(4)在在ABCABC中中,=B.(,=B.()ABBC ，【解析解析】(1)(1)错误错误.当两非零向量当两非零向量a,b的夹角为的夹角为9090时时,其数量积其数量积为为0.0.(2)(2)错误错误.表示的是空间向量表示的是
4、空间向量a,b之间的夹角之间的夹角,(a,b),(a,b)表示直表示直角坐标系下的点角坐标系下的点.(3)(3)错误错误.因因a,b均为非零向量均为非零向量,故故ab=|=|a|b|cos|cos =|=|a|b|,|,所以所以coscos=1,=1,故向量故向量a,b共线共线,反之当反之当a,b共线共线时时,ab=|=|a|b|cos|cos=|a|b|,|,故错误故错误.(4)(4)错误错误.在在ABCABC中中,向量向量 的夹角为的夹角为B,B,而向量而向量的夹角与向量的夹角与向量 的夹角互补的夹角互补,故此等式不正确故此等式不正确.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(
5、4)BA BC ，ABBC ，BA BC ，2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)若向量若向量a与与b满足满足|a|=1,|=1,|b|=2|=2且且a与与b的夹角为的夹角为 ,则则ab=.(2)(2)已知已知|a|=,|=,|b|=,|=,ab=-,=-,则则a与与b的夹角为的夹角为.(3)(3)已知已知a,b是空间两个向量是空间两个向量,若若|a|=2,|=2,|b|=2,|=2,|a-b|=,|=,则则coscos=.3222227【解析解析】(1)(1)ab=|=|a|b|cos|cosa，b=1=12 2 =1.=1.答案：答案：1 1(
6、2)(2)由由ab=|=|a|b|cos|cosa，b=coscosa，b 得得coscosa，b=故故a与与b的夹角为的夹角为135135.答案：答案：135135(3)(3)将将|ab|化为化为(ab)2 2=7=7，求得，求得ab 再由再由ab|a|b|cos|cosa，b求得求得coscosa，b答案：答案：1222222，22，712，1.818【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 空间向量的夹角空间向量的夹角1.1.空间向量夹角的两个关注点空间向量夹角的两个关注点(1)(1)作图作图:共起点共起点,作空间两个向量夹角时把两个向量起点放在作空间两个向量夹角时把两个向量起点放在一起一
7、起.(2)(2)非负性非负性:两向量夹角为从同一个顶点出发的两个向量所构成两向量夹角为从同一个顶点出发的两个向量所构成的较小的非负角的较小的非负角.2.2.空间向量的夹角与向量位置关系空间向量的夹角与向量位置关系(1)(1)=0=0时时,向量向量a,b方向相同方向相同.(2)(2)=时时,向量向量a,b方向相反方向相反.(3)(3)=时时,向量向量ab.2【微思考微思考】(1)(1)与与 相等吗相等吗?若两个非零向量垂直若两个非零向量垂直,两向量对应夹两向量对应夹角是多少角是多少?提示提示:与与 分别表示向量分别表示向量a,b与与b,a的夹角的夹角,根据空间向根据空间向量夹角的定义量夹角的定义
8、,与与 相等相等,若两个非零向量垂直若两个非零向量垂直,两向两向量对应的夹角是量对应的夹角是 .2(2)(2)说出式子说出式子 表示的含义，并指出表示的含义，并指出它们之间有什么关系？它们之间有什么关系？提示：提示：表示向量表示向量 的夹角；的夹角；表示向量表示向量 的夹角的夹角.相互关系为相互关系为OA OBOAOB ，OA OB ，OA OB ，OAOB，OAOB，OA OBOAOB.，【即时练即时练】空间四面体空间四面体O-ABCO-ABC中，中，OB=OCOB=OC，AOB=AOC=AOB=AOC=则则 的值是的值是()()【解析解析】选选D.D.3，cosOA BC ，121A B.
9、C.D.0222OA OC OBOA BCcosOA BCOA BCOA BC ，|OA OC cosOA OB cos330.OA BC|知识点知识点2 2 空间向量的数量积空间向量的数量积1.1.对空间向量的数量积的三点说明对空间向量的数量积的三点说明(1)(1)运算结果运算结果:空间向量数量积的结果是个实数空间向量数量积的结果是个实数,而不是向量而不是向量,它它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积.(2)(2)运算符运算符“”:其中其中ab中的圆点是数量积运算的符号中的圆点是数量积运算的符号,不不能省略也不能用能省略也不能用“”代替代替.(
10、3)(3)注意点注意点:数量积的符号由夹角的余弦值决定数量积的符号由夹角的余弦值决定.数量积不满足结合律数量积不满足结合律,即即(ab)ca(bc).).当当a0时由时由ab=0=0可得可得ab或或b=0.空间向量没有除法运算空间向量没有除法运算:即若即若ab=k,=k,则没有则没有a=.=.kb2.2.对空间向量数量积性质的三点说明对空间向量数量积性质的三点说明(1)(1)向量模的应用向量模的应用:|a|=:|=:该式子可以解决有关空间长度问题该式子可以解决有关空间长度问题.(2)(2)向量夹角的应用向量夹角的应用:空间中两条直线空间中两条直线(特别是两条异面直线特别是两条异面直线)的夹角的
11、夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得可以通过求出这两个向量的夹角而求得.(3)(3)数量积的应用数量积的应用:两非零向量两非零向量a,b,若若ab=0=0则两向量对应的直则两向量对应的直线相互垂直线相互垂直.a a【知识拓展知识拓展】空间向量数量积的几何意义空间向量数量积的几何意义类比平面向量投影的概念类比平面向量投影的概念,借助图形借助图形,叙述作出向量叙述作出向量 在轴在轴l上上投影投影(空间中称为射影空间中称为射影)的过程的过程.AB 已知图中向量已知图中向量 =a,l为轴为轴,向量向量e是是l上与上与l轴同方向的单位向量轴同方向的单位向量,作点作点A A在在l上的射影上的射影A,A
12、,作点作点B B在在l上的射影上的射影B,B,则则 称为向量称为向量 在轴在轴l上或在上或在e的方向上的正射影的方向上的正射影;可以证明可以证明AB=AB=|cos|cos=ae.注意注意:轴轴l上的正射影上的正射影 对应的数值对应的数值ABAB是一个可正可负是一个可正可负可零的实数可零的实数,它的符号代表向量它的符号代表向量 与与l的方向的相对关系的方向的相对关系,大小大小代表在代表在l上射影的长度上射影的长度.AB AB AB A B A B AB【微思考微思考】(1)(1)利用数量积怎样证明两个向量垂直利用数量积怎样证明两个向量垂直?提示提示:要证明两个非零向量垂直要证明两个非零向量垂直
13、,即即=,=,只需证明只需证明ab=0=0即可即可.(2)(2)两向量运算满足多项式的运算法则吗两向量运算满足多项式的运算法则吗?提示提示:两向量运算满足多项式的运算法则两向量运算满足多项式的运算法则,如常见的数量积运如常见的数量积运算算(a+b)()(a-b)=)=a2 2-b2 2,(ab)2 2=(=(ab)()(ab)=)=a2 22 2ab+b2 2.2【即时练即时练】若若a,b,c为任意向量为任意向量,下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是()A.A.若若|a|=|=|b|,|,则则a=bB.B.若若ab=ac,则则b=cC.(C.(ab)c=a(bc)=()=(ac)bD.D.
14、若若|a|=|b|,且且a,b夹角为夹角为4545,则则(a-b)b2【解析解析】选选D.D.对于对于A,A,模相等的向量不一定是相等向量模相等的向量不一定是相等向量,不成立不成立;对于对于B,B,当当a=0时时,则不一定成立则不一定成立;对于对于C,C,因为因为ab,bc,ac仅仅表示实数所以不成立表示实数所以不成立;对于对于D,D,因因(a-b)b=ab-b2 2=|a|b|cos45|cos45-|-|b|2 2=0,=0,故成立故成立.【题型示范题型示范】类型一类型一 数量积的计算数量积的计算【典例典例1 1】(1)(1)已知四边形已知四边形ABCDABCD为矩形为矩形,PA,PA平面
15、平面ABCD,ABCD,连接连接AC,BD,AC,BD,PB,PC,PD,PB,PC,PD,则下列各组向量中则下列各组向量中,数量积不为零的是数量积不为零的是()A.PCBDB.DAPBC.PDABD.PACD 与与与与(2)(2)已知长方体已知长方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=AA,AB=AA1 1=2,AD=4,E=2,AD=4,E为侧面为侧面AAAA1 1B B1 1B B的中心的中心,F,F为为A A1 1D D1 1的中点的中点.求下列向量的数量积求下列向量的数量积:11BC EDBF AB.；【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(
16、1)观察图形中直线观察图形中直线PCPC与直线与直线BD,BD,直线直线DADA与与直线直线PB,PB,直线直线PDPD与直线与直线AB,AB,直线直线PAPA与直线与直线CDCD是否垂直是否垂直?2.2.题题(2)(2)中长方体中向量中长方体中向量 用向量用向量 如何表示如何表示?【探究提示探究提示】1.1.因直线因直线BDBD与与ACAC是否垂直不确定是否垂直不确定,故直线故直线PCPC与与直线直线BDBD不一定垂直不一定垂直,DA,DA与与PBPB垂直垂直,PD,PD与与ABAB垂直垂直,PA,PA与与CDCD垂直垂直.2.2.1ED 1ABAD AA ，111111EDEAA DAAA
17、BAD.2 【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.由图分析可知由图分析可知,选项选项B,C,DB,C,D中两向量的中两向量的夹角均为夹角均为9090,所以数量积都为所以数量积都为0.0.(2)(2)如图所示如图所示,设设 =a,=,=b,=,=c,则则|a|=|=|c|=2,|=2,|b|=4,|=4,ab=bc=ca=0.=0.=|=|b|2 2=4=42 2=16.=16.=|=|c|2 2-|-|a|2 2=2=22 2-2-22 2=0.=0.AB AD 1AA 11111BC EDBC EAA D()2 bcab1111BF AB(BAA F)ABAA 1()()2 cabac
18、【延伸探究延伸探究】若题若题(2)(2)的条件不变，结论改为计算的条件不变，结论改为计算则结果如何？则结果如何？【解析解析】1EF FC，1111EF FC(222 cabba)2211()()22112.24 abcbaab【方法技巧方法技巧】1.1.空间向量运算的两种方法空间向量运算的两种方法(1)(1)利用定义：利用利用定义：利用ab=|=|a|b|cos|cosa，b并结合运算律进并结合运算律进行计算行计算.(2)(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算一顶点，利用图形寻
19、找夹角，再代入数量积公式进行运算2.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积向量的数量积(3)(3)代入代入ab=|=|a|b|cos|cosa，b求解求解【变式训练变式训练】已知正方体已知正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1(棱长为棱长为1),A1),A1 1C C1 1BB1 1D D1 1=O,=O,
20、求求 OA OB.【解析解析】11OA(AAA O)11111111(AAADAB)22OB(BBB O)11(BBBABC)2211(BBABAD)2211(AAABAD)22 ，所以所以111111OA OB(AAADAB)(AAABAD)2222 21111221111AAAB AAAA ADAD AA22211111AD ABADAB AAABAB AD442441111.44 【补偿训练补偿训练】已知正方体已知正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,则则 =.【解析解析】连接向量连接向量,=a=a a acos60cos60=a
21、=a2 2.答案答案:a a2 211A B B C 111111111A D A B B CA B A DA B A D cosA BA D ，22类型二类型二 利用数量积求夹角或模利用数量积求夹角或模【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014洛阳高二检测洛阳高二检测)已知空间四面体已知空间四面体OABCOABC各边及对角线各边及对角线长都相等长都相等,E,F,E,F分别为分别为AB,OCAB,OC的中点的中点,则向量则向量 与向量与向量 所成所成角的余弦值为角的余弦值为.OE BF(2)(2)在如图平行四边形在如图平行四边形ABCDABCD中，中，|4 4，|3 3，D D6060
22、，PAPA平面平面ABCDABCD，|6 6，则向量，则向量 的模为多少？的模为多少？AD CD PA PC【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中 可用哪些向量表示？可用哪些向量表示？的模怎么求？的模怎么求？2.2.题题(2)(2)中向量中向量 模长的计算公式是什么？模长的计算公式是什么？【探究提示探究提示】1.1.用用 表示向量表示向量 借助正三角借助正三角形形OABOAB，BOCBOC求求 与与 的模的模.2.2.OE BF ，OE BF ，PC OA OBOC ，OE BF ，；OE BF2PCPC.【自主解答自主解答】(1)(1)设设 =a，=b，=c且且|a|b|c|1 1
23、，易知易知AOBAOBBOCBOCAOCAOC则则abbcca因为因为 (ab)，OAOB OC 3，1.2121OE(OAOB)2 11BFOFOBOCOB223OEBF2 ，cb所以所以设设 与与 所成的角为所成的角为，所以向量所以向量 与向量与向量 所成角的余弦值为所成角的余弦值为答案：答案：11OE BF()()22 abcb211111.44222a cb ca bbOE BFOE BFcos|OE|BF|122.33322 OE BF2.323(2)(2)因为因为所以所以所以所以|=7.|=7.PCPAADDC ，222PCPCPAADDC 222222PAADDC2PA AD2P
24、A DC2AD DC6432 AD DC cos 12061 1249 ，PC【延伸探究延伸探究】若把题若把题(1)(1)中的结论中的结论“向量向量 与向量与向量 所成角所成角的余弦值的余弦值”改为改为“求异面直线求异面直线OEOE与与BFBF所成角的余弦值所成角的余弦值”结果结果如何？如何？【解析解析】如上题如上题(1)(1)所求设所求设 与与 所成的角为所成的角为，又因异面直线所成角为锐角或直角，又因异面直线所成角为锐角或直角，所以所以OEOE与与BFBF所成角的余弦值为所成角的余弦值为OE BF1OE BF22cos.3|OE|BF|3322 2.3OE BF【方法技巧方法技巧】两个非零
25、向量夹角求法的两个途径两个非零向量夹角求法的两个途径(1)(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解解三角形的知识求解.(2)(2)利用数量积求夹角的余弦值利用数量积求夹角的余弦值【变式训练变式训练】(2014(2014济南高二检测济南高二检测)如图所示如图所示,已知线段已知线段ABAB在在平面平面内内,线段线段AC,AC,线段线段BDAB,BDAB,线段线段DDDD于于D,D,如果如果DBD=30DBD=30,AB=a,AC=BD=b,AB=a,AC=BD=b,求求CDCD的长的长.【解析解析】由由ACAC，可
26、知，可知ACAB.ACAB.由由DBDDBD3030，可知可知 6060，所以，所以b b2 2a a2 2b b2 22(02(0b b2 2cos 60cos 600)0)a a2 23b3b2 2，所以所以 即即CDCDCA BD ，2CDCD CD 2222CAABBDCAABBD2(CA ABCA BDAB BD)22CDa3b，22a3b.【补偿训练补偿训练】如图如图,在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求求 与与 夹角夹角的大小的大小1BC AC【解析解析】不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为1 1，又因为又因为所以所以因为
27、因为0 0 180180，所以所以 6060.所以所以 与与 夹角的大小为夹角的大小为6060.11121122BC AC(BCCC)(ABBC)(ADAA)(ABAD)AD ABADAA ABAA AD0 AD0 0 AD1 ，1BC2 AC2 ，111BC AC11cosBC AC.222BC AC ，1BC AC ，1BC AC ，1BC AC 类型三类型三 利用数量积解决垂直问题利用数量积解决垂直问题【典例典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量a，b是平面是平面内的两个不相等的非零向量，非零内的两个不相等的非零向量，非零向量向量c是直线是直线l的一个方向向量，则的一个方向向量，则ca
28、0 0且且cb0 0是是l的的()()A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必要不充分条件必要不充分条件C C充要条件充要条件 D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2)已知在空间四面体已知在空间四面体OACBOACB中，中，OBOBOCOC，ABABACAC，求证：，求证：OABC.OABC.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中向量中向量a，b是否共线，要证线面垂直，是否共线，要证线面垂直，需满足的条件有哪些？需满足的条件有哪些？2.2.题题(2)(2)中向量中向量 能否用向量能否用向量 表示？若要用向量证明表示？若要用向量证明直线直线OABCOABC，需证明的
29、结论是什么？，需证明的结论是什么？【探究提示探究提示】1.1.不能确定向量不能确定向量a，b是否共线，需要进行讨论，是否共线，需要进行讨论，要证线面垂直，需满足的条件有直线与平面内的两条相交直要证线面垂直，需满足的条件有直线与平面内的两条相交直线垂直线垂直.2.2.需证明的结论是需证明的结论是 =0.=0.BC OBOC ，BCOC OB.OA BC 【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.当当a与与b不共线时，由不共线时，由ca0 0，cb0 0，可推出可推出l；当；当a与与b为共线向量时，由为共线向量时，由ca0 0，cb0 0，不能够推出不能够推出l；l一定有一定有ca0 0且且cb
30、0.0.(2)(2)因为因为OBOBOCOC，ABABACAC，OAOAOAOA，所以所以OACOACOAB.OAB.所以所以AOCAOCAOB.AOB.因为因为所以所以 所以所以OABC.OABC.OA BCOA(OCOB)OA OCOA OBOA OC cos AOCOA OB cos AOB0 ，OABC，【方法技巧方法技巧】利用空间向量解决垂直问题的方法利用空间向量解决垂直问题的方法(1)(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法证明线线垂直关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量证明线线垂直关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为积是否为0 0判断两直线是否垂直判断两直线
31、是否垂直.(2)(2)证明与空间向量证明与空间向量a，b，c有关的向量有关的向量m，n垂直的方法垂直的方法.先用向量先用向量a，b，c表示向量表示向量m，n，再求解向量，再求解向量m，n的数量积的数量积判断是否为判断是否为0.0.【变式训练变式训练】已知已知|a|b|4 4，mab，nab，a，b135135，mn，则，则_【解题指南解题指南】利用利用mn可得可得mn=0=0进而建立与向量进而建立与向量a，b有关有关的等量关系，利用等量关系求字母的值的等量关系，利用等量关系求字母的值.3 2，【解析解析】由由mn，得，得(ab)(ab)0 0，所以所以a2 2(1(1)abb2 20 0，所以
32、所以1818(1)1)4cos 1354cos 13516160 0，即即446 60 0，所以，所以答案：答案：3 23.232【补偿训练补偿训练】如图，已知如图，已知ABCABC在平面在平面内，内，A A9090，DADA平面平面，则直线，则直线CACA与与DBDB的位置关系是的位置关系是_._.【解题指南解题指南】先找出与先找出与CACA，DBDB对应的空间向量，再利用向量对应的空间向量，再利用向量间的关系判断两直线的位置关系间的关系判断两直线的位置关系.【解析解析】因为因为所以所以CADB.CADB.答案：答案：垂直垂直CA DB CA(DA AB)CA DA CA AB 0 0 0.
33、【拓展类型拓展类型】数量积的应用数量积的应用【备选例题备选例题】(1)(2014(1)(2014临沂高二检测临沂高二检测)设设A A，B B，C C，D D是空间是空间不共面的四点，且满足不共面的四点，且满足则则BCDBCD是是()()A A钝角三角形钝角三角形 B B锐角三角形锐角三角形C C直角三角形直角三角形 D.D.不确定不确定AB AC 0 AC AD 0 AB AD 0 ，(2)(2)如图所示，如果直线如图所示，如果直线ABAB与平面与平面交于点交于点B B，且与平面，且与平面内的内的经过点经过点B B的三条直线的三条直线BCBC，BDBD，BEBE所成的角相等求证：所成的角相等求
34、证：ABAB平平面面.【解析解析】(1)(1)选选B.B.如图所示，如图所示，设设所以所以 (ab)(cb)acbcabb2 2b2 20.0.同理同理所以所以BCDBCD的各内角均为锐角，即的各内角均为锐角，即BCDBCD为锐角三角形为锐角三角形ABACAD ，abcCB CD BC BD 0 DB DC 0.，(2)(2)在直线在直线BCBC，BDBD，BEBE上取上取因为因为 与与 所成的角相等，所成的角相等，所以所以所以所以BCBDBE.AB BC BD BE ，AB BCAB BDAB BE ，AB BCBD0AB BEBD0 ，即即所以所以ABDCABDC，ABDE.ABDE.又又
35、DCDEDCDED D，所以所以ABAB平面平面.AB DC0AB DE0 ，【方法技巧方法技巧】1.1.判断三角形的形状判断三角形的形状利用数量积的符号可以判断两向量夹角是钝角、锐角还是直角，利用数量积的符号可以判断两向量夹角是钝角、锐角还是直角，进而能够判断对应三角形的形状进而能够判断对应三角形的形状.2.2.证明垂直证明垂直利用两向量数量积是否等于利用两向量数量积是否等于0 0，判断两向量是否垂直，进而可，判断两向量是否垂直，进而可判断与垂直有关的几何问题判断与垂直有关的几何问题.【规范解答规范解答】利用向量的数量积求异面直线所成的角利用向量的数量积求异面直线所成的角【典例典例】(12(
36、12分分)如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,ABC=90,ABC=90,AB=BC=1,AAAB=BC=1,AA1 1=,=,求异面直线求异面直线BABA1 1与与ACAC所成角的余弦值所成角的余弦值.2【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时若忽视条件解题时若忽视条件ABCABC9090，即得不出处的，即得不出处的结论，则本例基本不得分结论，则本例基本不得分.失分点失分点2 2：解题时若忽视直三棱柱的条件，则不能得出处结解题时若忽视直三
37、棱柱的条件，则不能得出处结论论 则实际的考试中最多得则实际的考试中最多得2 2分分.失分点失分点3 3：解题时若忽视异面直线所成角的范围，导致处结解题时若忽视异面直线所成角的范围，导致处结果写为果写为 则实际的考试中至少会扣掉则实际的考试中至少会扣掉2 2分分.11BB BA BB BC 0 ，66，【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.关注两种意识关注两种意识(1)(1)范围意识：对于异面直线所成角，要注意其所成角的范围范围意识：对于异面直线所成角，要注意其所成角的范围为为 余弦值的范围为余弦值的范围为0 0，1).1).(2)(2)转化意识：把异面直线所成角与直线方向向量所成角进
38、行转化意识：把异面直线所成角与直线方向向量所成角进行合理转化合理转化.(02，2.2.关注向量表示关注向量表示在运用向量进行计算时注意，找部分夹角特殊，长度特殊的向在运用向量进行计算时注意，找部分夹角特殊，长度特殊的向量用这样的向量表示直线的方向向量，如本例中用量用这样的向量表示直线的方向向量，如本例中用表示所求解的向量表示所求解的向量.3.3.利用向量法求两异面直线的夹角的关注点利用向量法求两异面直线的夹角的关注点利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或者是其补角直线所成的角或者是其补角(注意异面直线所成角的范
39、围注意异面直线所成角的范围)如如本例中两异面直线所成角的余弦值为正数，而非负数本例中两异面直线所成角的余弦值为正数，而非负数.1BA BC BB ，【类题试解类题试解】已知在正方体中，已知在正方体中，M M，N N分别为棱分别为棱BCBC和棱和棱CCCC1 1的中的中点，求异面直线点，求异面直线ACAC和和MNMN所成的角所成的角【解析解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为2.2.所以所以又又 即即所以所以所以所以 =60=60，即异面直线即异面直线ACAC和和MNMN所成的角为所成的角为6060.11MN AC(BCCC)(ABBC)2 1121111BC ABBC BCCC ABCC BC222210BC0022 ，222AC2 2 MNNCCM2 ，MN2.MN AC21cosMN AC.222 2|MN|AC ，MN AC ，
