1、课前篇自主预习课堂篇探究学习首页-1-1.4 充分条件与必要条件课前篇自主预习课堂篇探究学习首页课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二一、充分条件与必要条件1.(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?提示:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作pq.(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?提示:说明由条件p不能推出结论q,记作p q.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二(3)观察如下电路图,条件p:“开关A闭合”,结论q:“灯泡B亮”.当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗?说明了什么?如果“灯泡B
2、不亮”,“开关A可以闭合”吗?提示:一定会亮.说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就足够了.如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二(4)下面电路中,条件p:“开关A闭合”成立,结论q:“灯泡B亮”成立吗?提示:不成立.也就是说“若p,则q”为假命题.2.填空一般地,“若p则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.3.做一做用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的,q是p的.(2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的,q是p的.答案:(1)充分条件必要条件(2)必要条件充分条
3、件课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二二、充要条件1.(1)我们知道,当“x1”成立时,能推出“x0”.那么“x0”的充分条件是否只能是“x1”?提示:不是.使结论“x0”成立的条件并不唯一,如“x1.2”,“30”是“x1”的必要条件.那么“x1”的必要条件是否只能是“x0”?提示:不是.例如“x1”还能推出“x-1”“x ”等,这些都是“x1”成立的必要条件.(3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:pq,qp.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条件,q也是p的必要条件.课前篇自主预习课堂篇探究学习
4、首页一二(4)从命题“若p,则q”及其逆命题的真假角度,说一说p是q成立条件的所有情况.提示:课前篇自主预习课堂篇探究学习首页一二2.填空如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.3.做一做实数a,b,c不全为0的一个充要条件是()A.实数a,b,c均不为0B.实数a,b,c中至多有一个为0C.实数a,b,c中至少有一个为0D.实数a,b,c中至少有一个不为0答案:D课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断例
5、1(1)对于任意的x,yR,“xy=0”是“x2+y2=0”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(3)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”“x2+y2=0”.(
6、2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;但“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件.(3)AB=AAB,“AB=A”是“AB”的充要条件.答案:(1)A(2)A(3)C课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练延伸探究 例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“ACBD”的充要条件.变式训练1设A、B为两个互不相同的集合.命题p:xAB;命题q:xA或xB.则p是q的()条件.A.充分必要
7、B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要解析:若命题p:xAB成立,命题q:xA或xB一定成立;若命题q:xA或xB成立,但是x不一定是AB中的元素,所以p是q的充分不必要条件.答案:B课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练探究二充要条件的证明例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.分析:第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“0a0对一切实数x都成立”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论
8、条件”;再证充分性:“条件结论”.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练反思感悟 充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练变式训练2求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:(必要性
9、)关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,x=1满足方程ax2+bx+c=0.a12+b1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)a+b+c=0,c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练1.“a=-3”是“|a|=3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.“x2”是“x1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.
10、充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练3.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的条件.解析:a0且b0a+b0且ab0;a+b0且ab0a0且b0,故为充要条件.答案:充要课前篇自主预习课堂篇探究学习首页探究一探究二随堂演练4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明:充分性:因为ac0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=0,即ac0,综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.
