1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力解决具体问题的能力重点：重点：用函数知识解决实际问题用函数知识解决实际问题难点：难点：如何建立二次函数模型如何建立二次函数模型教学目标：教学目标：知识点知识点1 1 利用二次函数求图形面积的最值问题利用二次函数求图形面积的最值问题（重点）（重点）例例1.1.已知矩形周长为已知矩形周长为6 6，设矩形的一边长为，设矩形的一边长为x x，它的面积为它的面积为y y。（1 1）求出
2、）求出y y关于关于x x的函数解析式，并写出自变量的函数解析式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（2 2）当）当x x为何值时矩形的面积最大？并求出其最为何值时矩形的面积最大？并求出其最大值。大值。【提示：【提示：y=-xy=-x2 2+3x(0+3x(0 x x3)3)00 x x3,3,当当x=x=时，矩形的面积最大，其最大值为时，矩形的面积最大，其最大值为 】2 23 34 49 9知识点知识点2 2 利用二次函数求最大利润的问题（重利用二次函数求最大利润的问题（重点）点）例例2.2.某商品的进价为每件某商品的进价为每件4040元，当售价为每件元，当售价为每件6060元时，每
3、星期可卖出元时，每星期可卖出300300件。现需降价处理，件。现需降价处理，且经市场调查：每降价且经市场调查：每降价1 1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出2020件。在确保盈利的前提下，解答下列问题：件。在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1 1）若设每件降价）若设每件降价x x元，每星期售出商品的利润元，每星期售出商品的利润为为y y元，请写出元，请写出y y关于关于x x的函数解析式，并求出自的函数解析式，并求出自变量变量x x的取值范围；的取值范围；（2 2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？大利润是多少？（3 3）请画出上述函数
4、的大致图像。）请画出上述函数的大致图像。知识点知识点3 3 利用二次函数解决抛物线形建筑物问利用二次函数解决抛物线形建筑物问题题 例例3.3.如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面常水位时，水面ABAB的宽度为的宽度为20m,20m,如果水位上升如果水位上升3m3m时，水面时，水面CDCD的宽度为的宽度为10m10m。(1)(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；线的解析式；（2 2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥需经过
5、此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km,(280km,(桥长忽略不计桥长忽略不计)。货车正以。货车正以40km/h40km/h的速的速度开往乙地，当行驶了度开往乙地，当行驶了1 1小时后，突然接到紧急小时后，突然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以通知：前方连降暴雨，造成水位以0.25m/h0.25m/h的速的速度持续上涨，（货车接到通知时，水位在度持续上涨，（货车接到通知时，水位在CDCD处，处，当水位涨到拱桥最高处当水位涨到拱桥最高处O O时，禁止车辆通行）。时，禁止车辆通行）。问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能
6、，要使货车此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？x xy yoAB BCD D知识点知识点4 4 利用二次函数解决动点问题（难点）利用二次函数解决动点问题（难点）例例4.4.如图所示，抛物线如图所示，抛物线 与与y y轴交于点轴交于点A,A,过点过点A A的直线与抛物线交于另一点的直线与抛物线交于另一点B B，过点，过点B B作作BCxBCx轴，垂足为轴，垂足为C C（3,0)3,0)。（1 1）求直线）求直线ABAB的函数解析式；的函数解析式；（2 2）动点）动点P P在线段在线段OCOC上从原点出发以每秒一个
7、单上从原点出发以每秒一个单位的速度向位的速度向C C移动，过点移动，过点P P作作PNxPNx轴，交直线轴，交直线ABAB于于点点M,M,交抛物线于点交抛物线于点N N。设点。设点P P移动的时间为移动的时间为t t秒，秒，MNMN的长度为的长度为S S个单位，求个单位，求S S关于关于t t的函数解析式，并写的函数解析式，并写出出t t的取值范围。的取值范围。（3 3）设在（）设在（2 2）的条件下（不考虑点）的条件下（不考虑点P P与点与点O O、点、点C C重合的情况），连接重合的情况），连接CMCM、BNBN，当，当t t为何值时，四边为何值时，四边形形BCMNBCMN为平行四边形？问
8、对于所求的为平行四边形？问对于所求的t t值，值，1 1+x x4 41717+x x4 45 5-=y y2 2平行四边形平行四边形BCMNBCMN是不是菱形？请说明理由。是不是菱形？请说明理由。A(0A(0，1)1)B(3,)B(3,)C(3C(3，0)0)P PM MN Nx xy yO O2 25 5例例5.5.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2-5x+c(a0)-5x+c(a0)的图像如图的图像如图所示。所示。（1 1）求这个二次函数的解析式和它的顶点坐标。）求这个二次函数的解析式和它的顶点坐标。（2 2）观察图像回答：何时）观察图像回答：何时y y值随值随x x的增大而
9、增大？的增大而增大？何时何时y y的值随的值随x x的增大而减小？的增大而减小？（3 3）如果将图中抛物线向左平移）如果将图中抛物线向左平移3 3个单位长度，个单位长度，再向下平移再向下平移4 4个单位长度，试确定所得到的抛物个单位长度，试确定所得到的抛物线的解析式。线的解析式。（4 4）设（）设（3 3）中抛物线与）中抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点，试两点，试在在x x轴下方的抛物线上确定一点轴下方的抛物线上确定一点P,P,使使PABPAB的面积的面积最大。最大。【提示：（【提示：（1 1）y=xy=x2 2-5x+4,-5x+4,顶点坐标（顶点坐标（）（3 3）(4)S(4)
10、SPABPAB=】4 49 9-，2 25 54 42525-)2 21 1+(x(x=y y2 28 8125125x xy yo o(1,0)(1,0)(4,0)(4,0)利用二次函数解决生活中的实际问题利用二次函数解决生活中的实际问题 例例5.5.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为距离称为“刹车距离刹车距离”。为了测定某种型号汽车。为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过的刹车性能（车速不超过140km/h140km/h），对这种汽），对这种汽车进行测试，测得数
11、据如下表：车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（刹车时车速（km/hkm/h）0 0 1010 20 3020 30 40 50 40 50 6060 刹车距离（刹车距离（m m）0 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.80.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8(1)(1)以车速为以车速为x x轴，以刹车距离为轴，以刹车距离为y y轴，在平面直轴，在平面直直角坐标系内描出这些数据所表示的点，并用平直角坐标系内描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图像。滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图像。（2 2）观察图像，估计函数的类型，并确定一个）观察图像，
12、估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式。满足这些数据的函数解析式。（3 3）该型号汽车在国道上发生了一起交通事故，）该型号汽车在国道上发生了一起交通事故，现场测得刹车距离为现场测得刹车距离为46.5m46.5m，请推测刹车时的速，请推测刹车时的速度是多少？在事故发生时，汽车是超速行驶还是度是多少？在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？正常行驶？10103030 40406060505020200.30.31.01.02.12.13.63.65.55.57.87.8y yx xO O【提示：（【提示：（1 1）如）如左图。左图。（2 2）y=0.002xy=0.002x2 2+0
13、,01x(0+0,01x(0 x140),x140),经检验，经检验，表中其它各组数据表中其它各组数据也符合此解析式。也符合此解析式。(3)(3)将将y=46.5y=46.5代入代入上式，得：上式，得：x x1 1=150,=150,x x2 2=-155(=-155(舍去舍去)，所，所以，推测汽车刹车以，推测汽车刹车时的速度为时的速度为150km/h,150km/h,超速行驶】超速行驶】一次函数与二次函数在利润问题中的综合运用一次函数与二次函数在利润问题中的综合运用 例例6.6.商场对某种商品进行市场调查，商场对某种商品进行市场调查，1 1至至6 6月月份该种商品的销售情况如下：份该种商品的
14、销售情况如下：销售成本（销售成本（p p元元/千克）与销售月份千克）与销售月份x x的关系的关系如图所示；如图所示；销售收入销售收入q(q(元元/千克千克)与销售月份与销售月份x x满足满足 销售量销售量m m（千克）与销售月份（千克）与销售月份x x满足满足m=100 x+200.m=100 x+200.试解决以下问题：试解决以下问题：（1 1）根据图形，求）根据图形，求p p关于关于x x的函数关系式；的函数关系式；（2 2）求该种商品每月的销售利润）求该种商品每月的销售利润y(y(元元)与销售与销售1515+x x2 23 3-=q q月份月份x x的函数解析式，并求出哪个月的销售利润的
15、函数解析式，并求出哪个月的销售利润最大。最大。9 94 41 16 6x xy yo o【提示：（【提示：（1 1）p=-p=-x+10(0 x6,xN)x+10(0 x6,xN)(2)(2)依题意，得：依题意，得：y=(q-p)my=(q-p)m即：即：y=-50(x-4)y=-50(x-4)2 2+1800+1800】人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件方案设计问题方案设计问题 例例7.7.某小区有一长某小区有一长100m,100m,宽宽80m80m的空地，现将其的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。阴影区域为建成花园
16、广场，设计图案如图所示。阴影区域为绿化区域（四块绿化区域为全等矩形），空白区绿化区域（四块绿化区域为全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50m,50m,不大于不大于60m60m，预计活动区域每平方米造价，预计活动区域每平方米造价6060元，绿化区域每平方米造价元，绿化区域每平方米造价5050元。元。（1 1）设其中一块绿化区域的长边长为）设其中一块绿化区域的长边长为xm,xm,写出工写出工程总造价程总造价y y（元）关于（元）关于x x（m m）的函数关系式（写）的函数关系式（写出出x x的取值范围）。的取值范围）。（2 2）如
17、果小区投资）如果小区投资46.946.9万元，问能否完成工程万元，问能否完成工程任务？若能，请写出任务？若能，请写出x x为整数的所有工程方案；为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。（若不能，请说明理由。（）1.7321.7323 3人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件100m100m80m80mxmxm【提示：【提示：（1 1）因为出）因为出口宽为（口宽为（100-2x100-2x）m,m,所以短边长为所以短边长为10）m10）m-（x（x=2x）2x）-（100（100-80802 21 1y=50y=504x(x-4x(
18、x-10)+6010)+608000-4x(x-8000-4x(x-10)=200 x10)=200 x2 2-2000 x+480000-2000 x+480000-240 x240 x2 2+2400 x+2400 xy=-y=-40 x2+400 x+480000(2040 x2+400 x+480000(20 x25)x25)（2 2）够了。长边）够了。长边23m,23m,短短13m13m；长边；长边24m24m，短，短14m14m；长边；长边25m25m，短，短15m15m。】。】舍去）舍去）3 31010-22.32(负值522.32(负值53 31010+5 5=x x人教版九年
19、级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件开放型题目开放型题目 例例8.8.（1 1）如图所示，求抛物线的解析式及抛）如图所示，求抛物线的解析式及抛物线顶点物线顶点M M的坐标。的坐标。(2)(2)若点若点N N为线段为线段BMBM上一点，过点上一点，过点N N作作x x轴的垂线，轴的垂线，垂足为点垂足为点Q,Q,当点当点N N在线段在线段BMBM上运动时（点上运动时（点N N不与点不与点B B、点、点M M重合），设重合），设OQOQ的长为的长为t,t,四边形四边形NQACNQAC的面积的面积为为S S，求，求S S关于关于t t的函数解析式及
20、自变量的函数解析式及自变量t t的取值范的取值范围。围。（3 3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点）在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P,P,使使PACPAC为直角三角形？若存在，求出所有符合为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点条件的点P P的坐标；若不存在，请说明理由。的坐标；若不存在，请说明理由。人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件2 23 34 4-1-1-2-2-3-3-1-1-2-2-3-31 12 24 43 3M MC CA AB BN NQ Qx xy yo oP P人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二
21、次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件【天利【天利3838套】如图，抛物线套】如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx-5(a0)+bx-5(a0)经经过点过点A(4A(4，-5)-5)，与，与x x轴的负半轴交于点轴的负半轴交于点B B，与，与y y轴轴交于点交于点C C，且，且OC=5OB,OC=5OB,抛物线的顶点为点抛物线的顶点为点D D。（1 1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2 2）连接）连接ABAB，BCBC，CDCD，DADA，求四边形，求四边形ABCDABCD的面的面积；积；（3 3）如果点）如果点E E在在y y轴的正半轴上，且轴的正
22、半轴上，且BED=ABC,BED=ABC,求点求点E E的坐标。的坐标。x xy yO OA AB BC CD Dy=xy=x2 2-4x-5-4x-5人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件【天利【天利3838套】在平面直角坐标系中，设二次函数套】在平面直角坐标系中，设二次函数y y1 1=(x+a)(x-a-1)=(x+a)(x-a-1)，其中，其中a0a0。（1 1）若函数）若函数y y1 1的图像经过点（的图像经过点（1 1，-2-2），求函数），求函数y y1 1的表达式；的表达式；（2 2）若一次函数）若一次函数y y2
23、2=ax+b=ax+b的图像与的图像与y y1 1的图像经过的图像经过x x轴上同一点，探究实数轴上同一点，探究实数a a，b b满足的关系式；满足的关系式；（3 3）已知点）已知点P(xP(x0 0,m),m)和和Q(1Q(1，n)n)在函数在函数y y1 1的图像上，的图像上，若若m mn,n,求求x x0 0的取值范围。的取值范围。人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件【天利【天利3838套】已知点套】已知点A(-1A(-1，1)1)，B(4B(4，6)6)在抛物在抛物线线y=axy=ax2 2+bx+bx上。上。（1 1）求
24、抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）如图）如图1 1，点，点F F的坐标为（的坐标为（0 0，m m）（）（m m2 2），），直线直线AFAF交抛物线与另一点交抛物线与另一点G G，过点，过点G G作作x x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为H H，设抛物线与，设抛物线与x x轴正半轴交于点轴正半轴交于点E E，连接，连接FHFH，AE,AE,求证：求证：FHAEFHAE；（3 3）如图）如图2 2，直线，直线ABAB分别交分别交x x轴、轴、y y轴于轴于C C、D D两点两点，点，点P P从点从点C C出发，沿射线出发，沿射线CDCD方向匀速运动，速度方向匀速运动，速度为每秒为每
25、秒 个单位长度，同时，点个单位长度，同时，点Q Q从原点从原点O O出发，出发，沿沿x x轴正方向匀速运动，速度为每秒轴正方向匀速运动，速度为每秒1 1个单位长度，个单位长度，点点M M是直线是直线PQPQ与抛物线的一个交点，当运动到与抛物线的一个交点，当运动到t t秒时，秒时，QM=2PM,QM=2PM,直接写出直接写出t t的值。的值。2 2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件G GA AF Fx xH HE EO Oy y图图1 1A AB BC CD Dx xy yO O图图2 2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次
26、函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件【2017.2017.广安】（宝典广安】（宝典AP31AP31页第页第1414题）题）如图，已知抛物线如图，已知抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c与与y y轴相交于点轴相交于点A(0A(0，3)3)，与，与x x轴正半轴相交于点轴正半轴相交于点B B，对称轴是，对称轴是x=1x=1。（1 1）求此抛物线的解析式以及点）求此抛物线的解析式以及点B B点坐标；点坐标；（2 2）动点）动点M M从点从点O O出发，以每秒出发，以每秒2 2个单位长度的速个单位长度的速度沿度沿x x轴正方向运动，同时动点轴正方向运动，同时动点N N
27、从点从点O O出发，以出发，以每秒每秒3 3个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿y y轴正方向运动，当轴正方向运动，当N N点到达点到达A A点时，点时，M M、N N同时停止运动。过动点同时停止运动。过动点M M作作x x轴的垂线交线段轴的垂线交线段ABAB于点于点Q,Q,交抛物线于点交抛物线于点P,P,设运动设运动的时间为的时间为t t秒。秒。当当t t为何值时，四边形为何值时，四边形OMPNOMPN为矩形？为矩形？当当t t0 0时，时，BOQBOQ能否为等腰三角形？若能，能否为等腰三角形？若能，求出求出t t的值；若不能，请说明理由。的值；若不能，请说明理由。人教版九年级上册数学二次函
28、数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件A AB BO OP PM MQ Q N Nx=1x=1y yx x人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件【2016.2016.茂名中考】如图，抛物线茂名中考】如图，抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经经过过A(-1A(-1，0),B(30),B(3，0)0)两点，且与两点，且与y y轴交于点轴交于点C C，点，点D D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DEDE交交x x轴于点轴于点E E，连接，连接BDBD。（1 1）
29、求经过）求经过ABCABC三点的抛物线的函数表达式；三点的抛物线的函数表达式；（2 2）点）点P P是是BDBD上一点，当上一点，当PE=PCPE=PC时，求点时，求点P P的坐标；的坐标；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，过点）的条件下，过点P P作作PFxPFx轴于点轴于点F F，G G为抛物线上一动点，为抛物线上一动点，M M为为x x轴上一动点，轴上一动点，N N为直线为直线PFPF上一动点，当以上一动点，当以FMGNFMGN为顶点的四边形是正方形为顶点的四边形是正方形时，请求出点时，请求出点M M的坐标。的坐标。人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数
30、学二次函数实际问题与二次函数课件 D Dx xy yB(3,0)B(3,0)A AO OC C P PE Ex=2x=2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件关于关于x x的方程的方程 的解为正数，且关于的解为正数，且关于y y的不等式组的不等式组 有解，则符合题意的有解，则符合题意的所有整数和为（所有整数和为（）1 1=x x-1 1m m+1 1-x xx x-3 32）2）+2（m2（mm m-y ym m2 2-y yA.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.6【提示【提示】原方程有正数解，原方程有正数解，x
31、x0 0，即：，即：mm4 4，又，又x1x1，m2m2；又；又不等式组有不等式组有解，所以解，所以m+23m+4m+23m+4，m-1m-1。符合题意的整符合题意的整数有：数有：-1,0,1,3.-1,0,1,3.它们的和为它们的和为3.3.故选故选A A。002 2m m-2 2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件若若x x1 1,x,x2 2是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个根，则方程的两个根的两个根，则方程的两个根x x1 1,x,x2 2和系数和
32、系数a,b,ca,b,c有有如下关系：如下关系：。我们把它们称为根与系。我们把它们称为根与系数关系定理。数关系定理。如果设二次函数如果设二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图像与的图像与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A(xA(x1 1,0),B,0),B（x x2 2，0 0）。利用根与）。利用根与系数的关系定理我们又可以得到系数的关系定理我们又可以得到ABAB两个交点的距两个交点的距离为：离为：AB=xAB=x1 1-x-x2 2=请你参考以上定理和结论，解答下列问题：请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数设二次函数y=axy=ax2 2+bx+
33、c(a+bx+c(a0)0)的图像与的图像与x x轴的轴的两个交点为两个交点为A(xA(x1 1,0),B,0),B（x x2 2,0,0）,抛物线的顶点为抛物线的顶点为C,C,显然显然ABCABC为等腰三角形。为等腰三角形。a ac c=x x x x,a ab b-=x x+x x2 21 12 21 12 2x x4x4x-）x x+（x（x1 12 22 21 1a a4ac4ac-b b=a a4ac4ac-b b=a a4c4c-）a ab b-（2 22 22 22 2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件（1 1）当
34、）当ABCABC为等腰直角三角形时，直接写出为等腰直角三角形时，直接写出b b2 2-4ac-4ac的值；的值；（2 2）当）当ABCABC为等腰三角形，且为等腰三角形，且ACB=120ACB=120时，时，直接写出直接写出b2-4acb2-4ac的值；的值；（3 3）设抛物线）设抛物线y=x2+mx+5y=x2+mx+5与与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A A、B,B,顶点为顶点为C C，且，且ACB=90ACB=90，试问如何平移此抛，试问如何平移此抛物线，才能使物线，才能使ACB=120ACB=120？4 43 34 4向上平移向上平移 个单位长度个单位长度3 32 2人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件人教版九年级上册数学二次函数实际问题与二次函数课件
