1、 第 1 页 共 4 页 28.2.2 应用举例应用举例 第第 3 课时课时 利用方位角、坡度解直角三角形利用方位角、坡度解直角三角形 1知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题(难点) 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度如图，坡面的铅 垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 ih l. 坡度通常写成 1m 的形式，如 i16.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，有 i h ltan.显然， 坡度越大， 坡角 就越大， 坡面就越陡 我们这节
2、课就解决这方面的问题 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A、B 两城市相距 200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即 线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30和 B 城市的北偏西 45的方向 上已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 31.732， 21.414) 解析： 过点 P 作 PCAB， C 是垂足 AC 与 BC 都可以根据三角函数用 PC 表示出来 根 据 AB 的长得到一个关于 PC 的方程，
3、求出 PC 的长从而可判断出这条高速公路会不会穿 越保护区 解：过点 P 作 PCAB，C 是垂足则APC30，BPC45，ACPC tan30， 第 2 页 共 4 页 BCPC tan45.ACBCAB，PCtan30PC tan45200，即 3 3 PCPC200， 解得 PC126.8km100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区 方法总结： 解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题， 解决的方法就是 作高线 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐如
4、图所示， C 村村民欲修建一条水泥公路， 将 C 村与区级公路相连 在公路 A 处测得 C 村在北偏东 60 方向，沿区级公路前进 500m，在 B 处测得 C 村在北偏东 30方向为节约资源，要求所修 公路长度最短画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度(结果保留整数) 解析： 作 CDAB 于 D， 在 RtACD 中， 据题意有CAD30， 求得 AD.在 RtCBD 中，据题意有CBD60，求得 BD.又由 ADBD500，从而解得 CD. 解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足落在 AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长 度即为公路长度 在 RtACD 中， 据题意有CAD
5、30， tanCADCD AD， AD CD tan30 3CD.在 RtCBD 中，据题意有CBD60，tanCBDCD BD，BD CD tan60 3 3 CD.又ADBD500， 3CD 3 3 CD500，解得 CD433(m) 答：所修公路长度约为 433m. 方法总结： 在解决有关方位角的问题中， 一般要根据题意理清图形中各角的关系， 有时所给的方位角并不一定在直角三角形中， 需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余 角等知识转化为所需要的角 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题 探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题 如图
6、，某水库大坝的横截面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC3 米，坝高为 2 米，背水 坡 AB 的坡度 i11，迎水坡 CD 的坡角ADC 为 30.求坝底 AD 的长度 第 3 页 共 4 页 解析：首先过 B、C 作 BEAD、CFAD，可得四边形 BEFC 是矩形，又由背水坡 AB 的坡度 i11，迎水坡 CD 的坡角ADC 为 30，根据坡度的定义，即可求解 解：分别过 B、C 作 BEAD、CFAD，垂足为 E、F，可得 BECF，又BCAD， BCEF，BECF.由题意，得 EFBC3，BECE2.背水坡 AB 的坡度 i11， BAE45，AE BE tan452，DF CF tan3
7、02 3，ADAEEFDF232 3 52 3(m) 答：坝底 AD 的长度为(52 3)m. 方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡 AB，它的坡度为 i12，斜坡 AB 的长为 6 5 m，斜坡的高度为 AH(AHBC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 14(图中的 ACB14) (1)求车库的高度 AH； (2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m， 参考数据： sin140.24， cos140.97，
8、 tan140.25) 解析：(1)利用坡度为 i12，得出 AHBH12，进而利用勾股定理求出 AH 的长； (2)利用 tan14 6 BC12，求出 BC 的长即可 解：(1)由题意可得 AHBH12，设 AHx，则 BH2x，故 x2(2x)2(6 5)2，解 得 x6，故车库的高度 AH 为 6m； (2)AH6m， BH2AH12m， CHBCBHBC12m.在 RtAHC 中， AHC 90，故 tanACBAH CH，又ACB14，tan14 6 BC12，即 0.25 6 BC12， 解得 BC12m. 答：点 B 与点 C 之间的距离是 12m. 方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正 切值是解题的关键 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 1方位角的意义； 2坡度、坡比的意义； 第 4 页 共 4 页 3应用方位角、坡度、坡比解决实际问题 将解直角三角形应用到实际生活中， 有利于培养学生的空间想象能力， 即要求学生通过 对实物的观察或根据文字语言中的某些条件， 画出适合他们的图形 这一方面在教学过程应 由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动 地学习.
