1、华东师大版华东师大版数学数学 九年级（上）九年级（上）第第2828章章 圆圆28.1 28.1 圆的认识圆的认识第三课时第三课时垂径定理垂径定理圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.AM=BM,垂径定理垂径定理 AB是是 O的一条弦的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什
2、么其对称轴是什么?n图中有图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理 如图如图,理由是理由是:连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理：定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平
3、分弦，并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.提醒提醒:垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.三种语言指：三种语言指：文字语言文字语言、图形语言图形语言和和几何语言几何语言 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足
4、为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半径为在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是=，OABOAB的余弦值的余弦值=。OABP0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法命题（命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB
5、是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：，求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBC命题（命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）求证：）求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB.OAEBDC推
6、论（推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧弦，并且平分弦所对和的另一条弧垂径定理的推论垂径定理的推论 垂径定理的推论垂径定理的推论 如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行，那么这，那么这两条弦所夹的弧两条弦所夹的弧相等相等提示提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OAB
7、CD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.推论（推论（2）填一填填一填 1、判断：、判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一
8、定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）画一画画一画1 1、如图、如图,M,M为为O O内的一点内的一点,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM2、平分弧AB 画法：连结画法：连结ABAB；画；画ABAB的中垂线，交弧的中垂线，交弧ABAB于点于点E E。点点E E就是所求的分点。就是所求的分点。1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE
9、答：答：O的半径为的半径为5cm.118422AEAB在在Rt AOE 中中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.例例1 1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心
10、的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一上的一点点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为船能过拱桥吗船能过拱桥吗例例2.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱拱顶高出水面顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘
11、宽3米、船舱顶部为长方形米、船舱顶部为长方形并高出水面并高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过此货船能顺利通过这座拱桥吗？这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2 R在在RtO
12、AD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的垂径定理的逆应用逆应用在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度.BAO600 650DC归纳归纳 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问
13、题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题用方程的思想来解决问题.n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：两个量，如图有：d+h=r222)2(adrhda2O小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的图式讲练册讲练册P P9696“趁热打铁趁热打铁”1 11111全体做全体做1212、1313部分做部分做
