1、B 张量 一、张量的阶 与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。n=0称为零阶张量（标量）n=1称为一阶张量（向量）n=2称为二阶张量 二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该角标须各值后相加）可写为：iiicx yiicx y2、克罗内克尔符号3、交变符号 四、张量定义 定义1：张量作为向量定义的推广 当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量 按下式变换则笛卡儿坐标系所确定的三向量组 叫张量 是张量 的向量分量。1,0,ijijij1,1,2,3,2,3,1,3,1,2
2、1,3,2,1,2,1,3,1,3,20 ijkijkijk任二下标相同时PijijpP123,P P P 123,P P P 五、张量运算五、张量运算 1、相加 2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为 原来张量的各个分量之积。定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。1 11 21 32 1222 33 13 23 3 ,jjab abababa ba b a ba ba b a ba bijijijcab(,1,2,3)ijkmnijkmnca bi j k m n4、内积：内积是外积的缩并。3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。112233iiaaaa5、张量场的微
3、分：1 12 23 3i ia bababab对张量的每个元素 取其 的导数(1,2,3)ix i 张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）三、向量微分算子（哈密顿算子）三、向量微分算子（哈密顿算子）哈密顿算子的符号是 ，有两种表示方法 微分形式：（运算）积分形式：含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念）1、叫梯度（标量场的最大变 化率和变化率的方向）ijkxyz 01limVsvnds ijkxyzgradijkxyzsvn2、微分形式和积分形式是否等价：证明：取 的二等值面和两二等值面之间的小圆柱,如图 沿柱面积分 ，该积分由三部分组成，即 sn dsl QQPPsQPP
4、PpQpn dsnwnww nlnnwlnw gradVgradn01limvsvn dsgrad所以：若定义一个向量场 ，则向量微分算子与它作用后分别得到：叫散度，标量，物理意义 叫旋度,F x y z01limsvFnFdsdivFV01limsVFnFdsrotFV01limsVFnFdsV张量场称为向量称为向量a a通过曲面通过曲面S S的通量。若的通量。若a a代表流速代表流速v v，通量即流量。，通量即流量。在直角坐标系中在直角坐标系中向量场的通量和散度向量场的通量和散度 物理量的散度可用来判别场是否有源。物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场通量：在向量场a a中向曲面
5、中向曲面S S的法向量为的法向量为n n，则，则曲面积分曲面积分S图0.4.1 通量lnaSnSSSaSQddnadSaaazayaxazyxdiv有源场和无源场有源场和无源场：散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若的通量。若diva0diva0，称该点有源；若，称该点有源；若diva0diva0，称该点有汇。，称该点有汇。|diva|diva|称为源或汇的强度。若称为源或汇的强度。若divadiva0 0（处处），称该物理（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。场为无源场，否则为有源场。()cc aac（常数）常数）散度
6、的基本运算公式：散度的基本运算公式：SV（2)()a bab()aaa(为标量）为标量）（3)散度anM散度的微分形式为：散度的微分形式为：yxzFFFFxyz旋度旋度定义定义：取微小圆柱体，取微小圆柱体，取为速度取为速度 ，法线方向为，法线方向为 ，对整个微元体进行以下积分对整个微元体进行以下积分 。和和的方向满足右手螺旋法则。的方向满足右手螺旋法则。定义：定义：环量环量定义定义：在向量场：在向量场a a沿有向封闭曲线沿有向封闭曲线l l的积分的积分 称为向量称为向量a a沿曲线沿曲线l l的环量。的环量。向量场的环量和旋度向量场的环量和旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。
7、物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。lla d01 limdnslr o tSanalavnn vds nv01 limsr o t vnvd s 01 lim2sr o t vnvd s 可证：可证：旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场，旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场，叫旋度场叫旋度场在直角坐标系中表达式：在直角坐标系中表达式：()()()yyxxzzvvvvvvrotvyzxzxyijkxyzvxyzvvv ijk引进哈密顿算子：引进哈密顿算子：旋度运算基本公式旋度运算基本公式()cc aa()abab()aaa()0()()()a bb
8、aab()0 a小总结小总结梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了 向量场。向量场。散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。四、几个重要公式四、几个重要公式 1、2、3、4、2div grad
9、0div rotaa 0rot grad 2rot rotaaaagrad divaa 拉普拉斯算子2aaa 总乘总乘叉乘叉乘五、几个积分定理五、几个积分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的证明：对 应用散度定理：vsdvn dsvsadvn ads vsadvnadsscna dsa dc旋度经过S的通量环量avsa dvna ds（体积分与面积分之关系（体积分与面积分之关系)由公式 知左端积分为零，而右端积分的表面应是包围V的整个曲面，即S加由C所包围的底面所以，由标量三重积公式 可以写成：，故右端为：，对向量 应用散度定理，有：其中 是曲线C的
10、外法线向量，是 的外法线向量，二者相互垂直，由标量三重积公式可得：所以：0div rotaa csna dsna ds nanana cna dsnacccna dsnna dcccnnaa nna dcscna dsa dccnnccStokesStokes公式联系了面公式联系了面积积分和线积分之间的关系。分和线积分之间的关系。六、一般正交曲线坐标六、一般正交曲线坐标 为什么？实际需要 1、一般曲线坐标系 若任一点的坐标位置(x,y,z)可用其它三个独立变量 表示，即存在关系式或123,q q q123,xx q q q123,yy q q q123,zz q q q112233,qqx y
11、 zqqx y zqqx y z即每一组 必有一组 与之对应，反之亦然（其雅可比行列式不为零2、正交曲线坐标系 若空间任意一点，三个坐标线的切线都是正交的，称此坐标系为正交曲线坐标系。沿着坐标线的切线方向的单位向量以 表示。3、正交曲线坐标系与笛卡儿坐标的区别 1）在笛卡儿坐标中，沿坐标轴的单位向量是不变的，在正交曲线坐标系中，的方向，一般说，随点的位置而变化。2）在笛卡儿坐标中，坐标线上的微分增量是dxi,与坐标值的增量是一致的，在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量是dsi,与坐标值的增量dqi则不一定相等。iqix123,e e e 123,e e e 4、坐标线的切线方向的单位向量 的
12、正交性式中 为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即iiidsH dq123,e e e ijije e ijkeee1,0,ijijij如何确定Hi？象在笛卡儿坐标中一样，在空间某一点A，沿三个坐标轴为棱边作一微分六面体，由于其边长分别为 ，,设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是由于dq1的变化而引起的数，故所以22H dq33H dq11
13、H dq22H dq33H dq222112221111H dqdxdydzxyzdqqqq2221111xyzHqqq11H dq2222222xyzHqqq2223333xyzHqqq同理：进而可写出弧元素：11 122 233 3drH dq eH dq eH dq e微元面积：微元体积：12323dH H dq dq21313dH H dq dq31212dH H dq dq123123dvH H H dq dq dq6、梯度、散度、旋度在正交曲线坐标系中的表示：1）梯度 2）散度 3）旋度 123112223111eeeHqHqHq2313121231231231H H FH H F
14、H H FFH H Hqqq1 12 23 31231231122331H eH eH erotFFH H HqqqH FH FH F 22313123111222213331H HH HH H HqHqqHqH HqHq4）拉普拉斯算子5）算子a312112233aaaaHqHqHq 该算子作用的函数在该算子作用的函数在 方向的微分方向的微分增量的增量的 倍倍aa22313123111222213331H HH HH H HqHqqHqH HqHq4）拉普拉斯算子5）算子a312112233aaaaHqHqHq 柱坐标及球坐标下的柱坐标及球坐标下的拉梅系数及常用微分算式拉梅系数及常用微分算式球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系(,)rz 1rH Hr1zH(,)r 1RH Hr，sinHr柱坐标的微分算子柱坐标的微分算子球坐标下的微分算子球坐标下的微分算子rrz 哈密顿算子哈密顿算子222222221rr rrz 拉普拉斯算子拉普拉斯算子1sinrrr 哈密顿算子哈密顿算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子222222222221121+sinctgrrrrrr
